初三数学一模试题分类汇编——平行四边形综合附答案.pdf
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1、初三数学一模试题分类汇编平行四边形综合附答案 一、平行四边形 1(1)、动手操作:如图:将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点处,折痕为 EF,若 ABE20,那么的度数为 .(2)、观察发现:小明将三角形纸片 ABC(ABAC)沿过点 A 的直线折叠,使得 AC 落在 AB 边上,折痕为AD,展开纸片(如图);再次折叠该三角形纸片,使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF,展平纸片后得到 AEF(如图)小明认为 AEF 是等腰三角形,你同意吗?请说明理由 (3)、实践与运用:将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作:将纸片对折得折痕 EF,折痕与 AD 边交于点 E,
2、与 BC边交于点 F;将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠,使点 A、点 D 都与点 F重合,展开纸片,此时恰好有 MPMNPQ(如图),求 MNF 的大小.【答案】(1)125;(2)同意;(3)60【解析】试题分析:(1)根据直角三角形的两个锐角互余求得 AEB=70,根据折叠重合的角相等,得 BEF=DEF=55,根据平行线的性质得到 EFC=125,再根据折叠的性质得到 EFC=EFC=125;(2)根据第一次折叠,得 BAD=CAD;根据第二次折叠,得 EF 垂直平分 AD,根据等角的余角相等,得 AEG=AFG,则 AEF 是等腰三角形;(3)由题意
3、得出:NMF=AMN=MNF,MF=NF,由对称性可知,MF=PF,进而得出 MNF MPF,得出 3 MNF=180求出即可 试题解析:(1)、在直角三角形 ABE 中,ABE=20,AEB=70,BED=110,根据折叠重合的角相等,得 BEF=DEF=55 AD BC,EFC=125,再根据折叠的性质得到 EFC=EFC=125;(2)、同意,如图,设 AD 与 EF 交于点 G 由折叠知,AD 平分 BAC,所以 BAD=CAD 由折叠知,AGE=DGE=90,所以 AGE=AGF=90,所以 AEF=AFE 所以 AE=AF,即 AEF 为等腰三角形(3)、由题意得出:NMF AMN
4、 MNF,MFNF,由折叠可知,MFPF,NFPF,而由题意得出:MPMN,又 MFMF,MNF MPF,PMF NMF,而 PMF NMF MNF180,即 3 MNF180,MNF60.考点:1.折叠的性质;2.等边三角形的性质;3.全等三角形的判定和性质;4.等腰三角形的判定 2已知,在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=b,动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动 (1)如图 1,当 b=2a,点 M 运动到边 AD 的中点时,请证明 BMC=90;(2)如图 2,当 b2a 时,点 M 在运动的过程中,是否存在 BMC=90,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;(3)
5、如图 3,当 b2a 时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由【答案】(1)见解析;(2)存在,理由见解析;(3)不成立理由如下见解析.【解析】试题分析:(1)由 b=2a,点 M 是 AD 的中点,可得 AB=AM=MD=DC=a,又由四边形 ABCD是矩形,即可求得 AMB=DMC=45,则可求得 BMC=90;(2)由 BMC=90,易证得 ABM DMC,设 AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2bx+a2=0,由 b2a,a0,b0,即可判定 0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;(3)由(2),当 b2a,a0,b0,判定方程 x2bx
6、+a2=0 的根的情况,即可求得答案 试题解析:(1)b=2a,点 M 是 AD 的中点,AB=AM=MD=DC=a,又 在矩形 ABCD 中,A=D=90,AMB=DMC=45,BMC=90(2)存在,理由:若 BMC=90,则 AMB+DMC=90,又 AMB+ABM=90,ABM=DMC,又 A=D=90,ABM DMC,AMABCDDM,设 AM=x,则xaabx,整理得:x2bx+a2=0,b2a,a0,b0,=b24a20,方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意,当 b2a 时,存在 BMC=90,(3)不成立 理由:若 BMC=90,由(2)可知 x2bx+a2=0,
7、b2a,a0,b0,=b24a20,方程没有实数根,当 b2a 时,不存在 BMC=90,即(2)中的结论不成立 考点:1、相似三角形的判定与性质;2、根的判别式;3、矩形的性质 3如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4,过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB,CD 边于点E,F(1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形;(2)当四边形 BEDF 是菱形时,求 EF 的长 【答案】(1)证明见解析;(2)4 133【解析】分析:(1)根据平行四边形 ABCD 的性质,判定 BOE DOF(ASA),得出四边形BEDF 的对角线互相平分,进而得出结论;(2)在 Rt ADE 中,由勾
8、股定理得出方程,解方程求出 BE,由勾股定理求出 BD,得出OB,再由勾股定理求出 EO,即可得出 EF 的长.详解:(1)证明:四边形 ABCD 是矩形,O 是 BD 的中点,A=90,AD=BC=4,AB DC,OB=OD,OBE=ODF,在 BOE 和 DOF 中,OBEODFOBODBOEDOF BOE DOF(ASA),EO=FO,四边形 BEDF 是平行四边形;(2)当四边形 BEDF 是菱形时,BDEF,设 BE=x,则 DE=x,AE=6-x,在 Rt ADE 中,DE2=AD2+AE2,x2=42+(6-x)2,解得:x=133,BD=22ADAB=213,OB=12BD=1
9、3,BDEF,EO=22BEOB=2 133,EF=2EO=4 133 点睛:本题主要考查了矩形的性质,菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的性质和勾股定理,证明三角形全等是解决问的关键 4如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,AO=CO,BO=DO,且 ABC+ADC=180(1)求证:四边形 ABCD 是矩形(2)若 ADF:FDC=3:2,DFAC,求 BDF 的度数 【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形,求出 ABC=90,根据矩形的判定得出即可;(2)求出 FDC
10、的度数,根据三角形内角和定理求出 DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出 CDO,即可求出答案【详解】(1)证明:AO=CO,BO=DO 四边形 ABCD 是平行四边形,ABC=ADC,ABC+ADC=180,ABC=ADC=90,四边形 ABCD 是矩形;(2)解:ADC=90,ADF:FDC=3:2,FDC=36,DFAC,DCO=9036=54,四边形 ABCD 是矩形,OC=OD,ODC=54 BDF=ODC FDC=18【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定,矩形的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键,注意:矩形的对角线相等,有一个角是直角的平行四边形是矩形
11、5如图,四边形 ABCD 中,BCD=D=90,E 是边 AB 的中点.已知 AD=1,AB=2.(1)设 BC=x,CD=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域;(2)当 B=70时,求 AEC 的度数;(3)当 ACE 为直角三角形时,求边 BC 的长.【答案】(1)22303yxxx;(2)AEC=105;(3)边 BC 的长为2 或1172.【解析】试题分析:(1)过 A 作 AHBC 于 H,得到四边形 ADCH 为矩形在 BAH 中,由勾股定理即可得出结论(2)取 CD 中点 T,连接 TE,则 TE 是梯形中位线,得 ET AD,ETCD,AET=B=70 又 AD=A
12、E=1,得到 AED=ADE=DET=35由 ET 垂直平分 CD,得 CET=DET=35,即可得到结论 (3)分两种情况讨论:当 AEC=90时,易知 CBE CAE CAD,得 BCE=30,解 ABH 即可得到结论 当 CAE=90时,易知 CDA BCA,由相似三角形对应边成比例即可得到结论 试题解析:解:(1)过 A 作 AHBC 于 H由 D=BCD=90,得四边形 ADCH 为矩形 在 BAH 中,AB=2,BHA=90,AH=y,HB=1x,22221yx,则22303yxxx(2)取 CD 中点 T,联结 TE,则 TE 是梯形中位线,得 ET AD,ETCD,AET=B=
13、70 又 AD=AE=1,AED=ADE=DET=35由 ET 垂直平分 CD,得 CET=DET=35,AEC=7035=105 (3)分两种情况讨论:当 AEC=90时,易知 CBE CAE CAD,得 BCE=30,则在 ABH 中,B=60,AHB=90,AB=2,得 BH=1,于是 BC=2 当 CAE=90时,易知 CDA BCA,又2224ACBCABx,则221411724ADCAxxACCBxx(舍负)易知 ACE90,所以边 BC 的长为1172 综上所述:边 BC 的长为 2 或1172 点睛:本题是四边形综合题考查了梯形中位线,相似三角形的判定与性质解题的关键是掌握梯形
14、中常见的辅助线作法 6在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,且 EAF=CEF=45.(1)将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到 ABG(如图),求证:AEG AEF;(2)若直线 EF 与 AB,AD 的延长线分别交于点 M,N(如图),求证:EF2=ME2+NF2;(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图),请你直接写出线段 EF,BE,DF 之间的数量关系.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质可知 AF=AG,EAF=GAE=45,故可证 AEG AEF;(
15、2)将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到 ABG,连结 GM由(1)知 AEG AEF,则 EG=EF再由 BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明 GME=90,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明 EF2=ME2+NF2;(3)将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到 ABG,根据旋转的性质可以得到 ADF ABG,则 DF=BG,再证明 AEG AEF,得出 EG=EF,由 EG=BG+BE,等量代换得到 EF=BE+DF 试题解析:(1)ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到 ABG
16、,AF=AG,FAG=90,EAF=45,GAE=45,在 AGE 与 AFE 中,AGE AFE(SAS);(2)设正方形 ABCD 的边长为 a 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到 ABG,连结 GM 则 ADF ABG,DF=BG 由(1)知 AEG AEF,EG=EF CEF=45,BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形,CE=CF,BE=BM,NF=DF,aBE=aDF,BE=DF,BE=BM=DF=BG,BMG=45,GME=45+45=90,EG2=ME2+MG2,EG=EF,MG=BM=DF=NF,EF2=ME2+NF2;(3)EF2=2BE2+2DF2 如图所
17、示,延长 EF 交 AB 延长线于 M 点,交 AD 延长线于 N 点,将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到 AGH,连结 HM,HE 由(1)知 AEH AEF,则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+(BMGM)2=EH2 又 EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BEGH)2=EF2,即 2(DF2+BE2)=EF2 考点:四边形综合题 7如图,ABCD 是正方形,点 G 是 BC 上的任意一点,DEAG 于 E,BF DE,交 AG 于F 求证:AF=BF+EF 【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形 ABCD 为
18、正方形,可得出 BAD 为 90,AB=AD,进而得到 BAG 与 EAD 互余,又 DE 垂直于 AG,得到 EAD 与 ADE 互余,根据同角的余角相等可得出 ADE=BAF,利用 AAS 可得出 ABF DAE;利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE,由 AF-AE=EF,等量代换可得证.【详解】ABCD 是正方形,AD=AB,BAD=90 DEAG,DEG=AED=90 ADE+DAE=90 又 BAF+DAE=BAD=90,ADE=BAF BF DE,AFB=DEG=AED 在 ABF 与 DAE 中,AFBAEDADEBAFADAB ,ABF DAE(AAS)BF=AE AF=
19、AE+EF,AF=BF+EF 点睛:此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键 8(感知)如图,四边形 ABCD、CEFG 均为正方形可知 BE=DG(拓展)如图,四边形 ABCD、CEFG 均为菱形,且 A=F求证:BE=DG(应用)如图,四边形 ABCD、CEFG 均为菱形,点 E 在边 AD 上,点 G 在 AD 延长线上若 AE=2ED,A=F,EBC 的面积为 8,菱形 CEFG 的面积是_(只填结果)【答案】见解析【解析】试题分析:探究:由四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形,利用 SAS 易证得 BCE DCG,则可
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