7-2动量矩定理解析.ppt

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1、7.2 动量矩定理动量矩定理质系中各质点对点质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和（矩心）的动量矩的矢量和称为称为质系对点质系对点O的的动量矩动量矩，也称，也称角动量角动量（Angular Momentum）动量矩是一个向量，它与矩心动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。的选择有关。质系的动量矩质系的动量矩质量均为质量均为m的两小球的两小球C和和D用长为用长为2l的无质量刚性杆连的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与上，杆与AB轴之间的轴之间的夹角为夹角为 ，轴，轴AB转动角速度为转动角速度为 ，角加速度为，角加速度为 ，A、B轴承间的距离为轴承

2、间的距离为h，求系统对求系统对O点的动量矩。点的动量矩。例例1ACoDB 解解CD杆的角速度向量杆的角速度向量两小球对两小球对O点的向径点的向径小球的速度小球的速度由质系的动量矩的定义可得由质系的动量矩的定义可得以两个小球为研究对象，建立固连坐标系以两个小球为研究对象，建立固连坐标系Oxyz定轴转动圆盘对圆心的动量矩定轴转动圆盘对圆心的动量矩r rOri 问题问题:如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？质系对质心的动量矩等于质系相对质系对质心的动量矩等于质系相对质心平动系质心平动系质心平动系质心平动系的的动量矩，质心速度没有贡献。动量矩，质心速度没有贡献。质点的绝

3、对速度质点的绝对速度质系对质心的动量矩质系对质心的动量矩 相对质心平动系速度相对质心平动系速度平面运动圆盘对质心的动量矩平面运动圆盘对质心的动量矩v vo oO Or r v vo oO ri可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？mivirixyzAOrA 对两点动量矩对两点动量矩之间的关系之间的关系例例2一半径为一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。

4、已知圆盘对质心的转动惯量为已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，角速度为，试求，试求圆盘对水平面上圆盘对水平面上O1点的动量矩。点的动量矩。解：解：对任意点对任意点的动量矩定理的动量矩定理质质系系动动量矩的量矩的变变化化仅仅取决取决于外力主矩，内力不能改于外力主矩，内力不能改变质变质系的系的动动量矩。量矩。下面介下面介绍绍两种常用的特殊情况：两种常用的特殊情况：mivirixyzAOrA对对固定点的动量矩定理固定点的动量矩定理质质系系对对固固定定点点A的的动动量量矩矩的的变变化化率率等等于于作用在质系上的外力系对作用在质系上的外力系对A点的主矩。点的主矩。刚体对定轴刚体对定轴z的动量矩：的

5、动量矩：质系对定轴质系对定轴z的动量矩定理：的动量矩定理：刚体定轴转动运动微分方程刚体定轴转动运动微分方程给定给定MOz用此方程求解刚体转动规律。用此方程求解刚体转动规律。给定刚体转动规律不能用此方程求给定刚体转动规律不能用此方程求解约束反力。可用刚体一般运动的解约束反力。可用刚体一般运动的动力学方程动力学方程(6个个)求解。求解。质质量量均均为为m的的A和和B两两人人同同时时从从静静止止开开始始爬爬绳绳。已已知知A的的体体质质比比B的的体体质质好好，因因此此A相相对对于于绳绳的的速速率率u1大大于于B相相对对于于绳绳的的速速率率u2。试试问问谁谁先先到到达达顶顶端端并并求求绳绳子子的的移移动

6、速率动速率u。例例3解解取滑轮与取滑轮与A和和B两人为研究对象，两人为研究对象，系统对系统对O点动量矩守恒：点动量矩守恒：设绳子移动的速率为设绳子移动的速率为u解解动量矩动量矩守恒守恒当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变。点的动量矩保持不变。当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变。该轴的动量矩保持不变。实例分析实例分析通过改变转动惯量来控制角速度。通过改变转动惯量来控制角速度。卫星展开太阳能帆板有一定消旋作用。卫星展开太阳能帆板有一定消旋作用。实例分析实例

7、分析芭蕾舞演员芭蕾舞演员花样滑冰运动员花样滑冰运动员起旋、加速、减速、停止的分析起旋、加速、减速、停止的分析质系对质系对质心平动系各轴质心平动系各轴质心平动系各轴质心平动系各轴的动量矩的变化率等于的动量矩的变化率等于外力对相同坐标轴的合力矩。外力对相同坐标轴的合力矩。Cxyz为质心平动系。为质心平动系。质质系系对对质质心心C的的动动量量矩矩的的变变化化率率等等于于作作用在质系上的外力对同点的主矩。用在质系上的外力对同点的主矩。对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理质量均为质量均为m的两小球的两小球C和和D用长为用长为2l的无质量刚性杆连的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴接，并以其中点固定

8、在铅垂轴AB上，杆与上，杆与AB轴之间轴之间的夹角为的夹角为 ，轴，轴AB转动的角速度为转动的角速度为，角加速度为零角加速度为零，A、B轴承间距离为轴承间距离为h，求作用轴上的力矩及，求作用轴上的力矩及 A、B轴轴承的约束反力。承的约束反力。例例4ACoDB由质系的质心运动定理得由质系的质心运动定理得外力对外力对O点的主矩为点的主矩为质系对定点的动量矩定理：质系对定点的动量矩定理：解解利用例利用例1的结果的结果讨论讨论：设设作用作用轴轴AB上主上主动动力矩力矩为为M(t)，求，求约约束反力。束反力。对质心的动量矩守恒对质心的动量矩守恒当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于质心的当外力系对质心的

9、主矩等于零时，质系对于质心的动量矩保持不变。动量矩保持不变。当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时，当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变。质系对于该轴的动量矩保持不变。实例分析实例分析花样滑冰：起旋、加速花样滑冰：起旋、加速实例分析实例分析卫星姿态控制：动量矩交换讨论讨论p问题：动量轮的安装必须通过卫星质心吗？问题：动量轮的安装必须通过卫星质心吗？实例分析实例分析p猫下落翻身：猫下落翻身：1/8秒，翻身秒，翻身180度度跳水运动空翻空翻转体“旋”实例分析实例分析体育健身器材体育健身器材问题：绕竖方向动量矩守恒吗？问题：绕竖方向动量矩守恒吗？刚体平面运动微分方

10、程刚体平面运动微分方程刚体相对质心的动量矩刚体相对质心的动量矩应用质心运动定理和应用质心运动定理和对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程ABO例例6长长为为l质质量量为为m的的均均质质细细杆杆AB位位于于铅铅垂垂平平面面内内。开开始始时时杆杆AB直直立立于于墙墙面面，受受微微小小干干扰扰后后B端端由由静静止止状状态态开开始始沿沿水水平平面面滑滑动动。求求杆杆在在任任意意位位置置受受到到墙墙的的约约束束反反力力（表示为（表示为 的函数形式，不计摩擦）。的函数形式，不计摩擦）。刚体平面运动微分方程：刚体平面运动微分方程：(a)(b)(c)CPABO解解取取 为

11、广义坐标为广义坐标解解杆脱离墙的条件：杆脱离墙的条件：XA=0将式将式(a)和和(b)代入代入(c)：(a)(b)(c)习题习题4-30 抽抽屉宽屉宽d，长长b，与，与侧侧面面导轨导轨之摩擦系数均之摩擦系数均为为f。因抽。因抽屉较屉较大，在距两大，在距两侧侧面面为为l处处装置了两个拉手，如装置了两个拉手，如图图所所示。示。为为了在使用一个拉手了在使用一个拉手时时抽抽屉屉也能也能顺顺利抽出，各利抽出，各尺寸尺寸应应如何如何选择选择？从从动动力学角度研究一下？力学角度研究一下？例7半径为半径为r、质量为质量为 m的均质圆柱体，在半径为的均质圆柱体，在半径为 R 的刚的刚性圆槽内作纯滚动性圆槽内作纯

12、滚动。在初始位置。在初始位置 ，由静止，由静止向下滚动。向下滚动。求：求：1.圆柱体的运动微分方程；圆柱体的运动微分方程；2.圆槽对圆柱体的约束力；圆槽对圆柱体的约束力；3.微振动周期。微振动周期。RC O 1.圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程圆柱体作平面运动，由刚圆柱体作平面运动，由刚体平面运动微分方程得：体平面运动微分方程得：RC Om mg gF FN NC*圆柱体在圆槽上作大幅摆圆柱体在圆槽上作大幅摆动的非线性运动微分方程动的非线性运动微分方程解解2.圆槽对圆柱体的约束力圆槽对圆柱体的约束力3.微振动的周期微振动的周期均均质质杆杆AB长长为为l，质质量量为为m，用用两两根根细细

13、绳绳悬悬挂挂。当当把把B绳突然剪断时，求杆绳突然剪断时，求杆AB角加速度和角加速度和A绳中张力。绳中张力。例例8解解AB杆的动力学方程：杆的动力学方程：需补充方程后求解需补充方程后求解ABoyxC联立求解联立求解ABoyxC讨论讨论当突然把当突然把绳绳AB剪断剪断时时，如何，如何补补充运充运动动学方程？学方程？OABl例例9质量为质量为m、半径为、半径为R的均质圆盘沿倾角为的均质圆盘沿倾角为 的斜面上的斜面上只滚不滑，如图所示。试求圆盘的质心加速度和斜只滚不滑，如图所示。试求圆盘的质心加速度和斜面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。解解取取x为广义坐标为广义坐标讨论讨

14、论p圆盘在自身平面内沿水平地面作纯滚动，如果初始时刻轮圆盘在自身平面内沿水平地面作纯滚动，如果初始时刻轮心速度心速度(角速度角速度)为常数，则接触点速度为零，加速度的水为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动趋势，滑动摩擦力为零。在水平方向没有主动力作用滑动趋势，滑动摩擦力为零。在水平方向没有主动力作用情况下，保持这种纯滚动无需摩擦力，完全光滑的接触也情况下，保持这种纯滚动无需摩擦力，完全光滑的接触也可以。可以。p圆盘在自身平面内沿斜面作纯滚动，如果初始时刻轮心速圆盘在自身平面内沿斜面作纯滚动，

15、如果初始时刻轮心速度度(角速度角速度)为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动趋势，滑动摩擦力为零。如果此后仍然没有摩擦力，这种趋势，滑动摩擦力为零。如果此后仍然没有摩擦力，这种纯滚动则无法保持，因为重力会使质心加速，但没有力矩纯滚动则无法保持，因为重力会使质心加速，但没有力矩使转动加快。如果有摩擦力，它既可以加速转动又可以减使转动加快。如果有摩擦力，它既可以加速转动又可以减缓质心加速，从而保持纯滚动。缓质心加速，从而保持纯滚动。讨论讨论圆盘在斜面上不打滑

16、的条件圆盘在斜面上不打滑的条件若圆盘将又滚又滑，则补充方程为若圆盘将又滚又滑，则补充方程为讨论p对对瞬心瞬心A点的点的动动量矩定理量矩定理由对由对A点的动量矩定理：点的动量矩定理：CPABO在例在例6中，对瞬心中，对瞬心D的动量矩为：的动量矩为：D由对由对D点的动量矩定理：点的动量矩定理：讨论p对对瞬心瞬心A点的点的动动量矩定理量矩定理CAFNxyxOmg如果瞬心A到质心C的距离保持不变：杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前。求完成这种运不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前。求完成这种运动所需的条件动所需的条件?(设开始时盘心速度为设开始时盘心速度为 ，盘角速度为，盘角速度为 ，求，求 与与 应该满足的关系应该满足的关系)例例11长为长为 的均匀杆的均匀杆AB，以铰固连于，以铰固连于A点，如果初始时点，如果初始时杆自水平位置无初速度的开始运动，杆自水平位置无初速度的开始运动，当杆通过铅直当杆通过铅直位置时去掉铰使杆成为自由体。试分析杆的运动，位置时去掉铰使杆成为自由体。试分析杆的运动，并求去掉铰以后，杆质心下降并求去掉铰以后，杆质心下降h时，杆转了多少圈时，杆转了多少圈?例例12