传热学大作业.pdf

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1、传热学第四章大作业传热学第四章大作业二维稳态导热问题二维稳态导热问题的数值解法的数值解法姓名：班级：学号：第一题：第一题：如图所示，一个无限长矩形柱体，其横截面的边长分别为L1和L2，常物性。该问题可视为二维稳态导热问题，边界条件如图中所示，其中L1=0.6m，Tw1=60，Tw2=20，L2=0.4m，200W/mK。1）2 2）编写程序求解二维导热方程。绘制x=L1/2 和 y=L2/2 处的温度场，并与解析解进行比较。已shy/L1shL2/L1知矩形内的温度场的解析解为：tx,yTw1Tw2sinx/L1解：(1)建立控制方程及定解条件2t2t控制方程：220 xy定解条件：x0 xL

2、1y0yL2t Tw1Tw2sinx/L1t Tw1t Tw1t Tw1（2）区域离散化（确立节点）将矩形区域分为 M*N 个网格，其中 x 方向上的步长x XDIF 1L1;yM方向的步长y YDIF L2。设节点为（m,n）。N（3）建立节点离散方程对节点（m,n）有：内节点:tm1,ntm,ntm1,ntm,ntm,n1tm,ntm,n1tm,nyyxx0 xxyy化简得tm,n边界节点：yxtm1,n yyxxxtm1,ntm,n1tm,n1/22xyyy xt1,nTw1n1 NtM,nTw1n1 Ntm,1Tw1m1 Mtm,NTw1Tw2sinx/L1m1 M（4）编程求解，程序

3、见附录取 M=N=50 得到矩形区域各节点温度（见附件一），为方便在这里仅给出 M=N=10 时温度分布数据，如下表：60606060606060606060606060606060606066.1803460.4486560.9277461.4716862.1241862.9474564.040365.5775967.9025871.7557160.8287961.7095862.6990863.8641265.2883667.0806369.3828172.3668976.1803461.0919262.2468163.5315465.0208666.8012268.9736471.653

4、7874.9651379.0211361.213462.491963.9036665.5227667.4319169.7243172.5045275.8878880261.1883862.4371863.8092365.3720867.2002769.377471.998275.1709179.0211361.0274162.1051763.285564.6243966.1835168.0322470.2500872.9295576.1803460.7531461.5423662.4050263.381264.5150965.856667.4632869.4027471.7557160.397

5、7360.8142761.2691261.7831862.3795363.0843163.9277664.9455366.18034606060606060606060M=N=50 时矩形区域节点温度分布图如图：温 度 分 布807570T656055604020y010020 x305040M=N=50 时 x=L1/2 处数值解与解析解温度场分布如下：X=L1/2处 温 度 分 布80787674727068666462600510152025y3035404550数 值 解解 析 解T3M=N=10 时将数值解与理论解进行比较，如下表所示：y数值解理论解相对误差00.4/90.4/9*2

6、0.4/9*30.4/9*40.4/9*50.4/9*60.4/9*70.4/9*80.46061.213462.491963.9036665.5227667.4319169.7243172.5045275.88788806061.1744762.4128263.7824465.3578167.2246469.4844972.2602975.703038000.064%0.127%0.190%0.252%0.308%0.345%0.338%0.244%0M=N=50 时 y=L2/2 处数值解与解析解温度场分布如下图：Y=L2/2处 温 度 分 布67数 值 解解 析 解666564T6362

7、61600510152025x30354045504M=N=10 时将数值解与理论解进行比较，如下表所示：x数值解理论解相对误差00.6/90.6/9*20.6/9*30.6/9*40.6/9*50.6/9*60.6/9*70.6/9*80.66062.1241863.8641265.0208665.5227665.3720864.6243963.381261.78318606062.1372464.016765.4116966.1539566.1539565.4116964.016762.137246000.021%0.238%0.598%0.954%1.182%1.204%0.993%0.

8、569%0第二题：第二题：将第一题中y L2处的边界条件变为t Tw2，其他条件不变。1)编写程序求解二维导热方程并计算从 y=0 处导入的热量2。2)当L2 L1时，该二维导热问题可简化为一维导热问题。在一维的近似下，试计算从 y=0 处导入的热量1，并比较不同 L2/L1下21的比值。由该问题的解析解可知：L2/L1210.0070.99870.010.99120.050.9560.080.930.10.912解：编程得到 M=N=50 温度分布数据见附件二，得到温度分布图如下：5改 变 边 界 条 件 后 温 度 分 布6050T403020604020y010020 x305040这里

9、也仅给出 M=N=10 时温度分布数据，见下表：606060606060606060206058.9248457.7692256.4364854.7896252.605149.4740244.5750836.12615206058.0307555.9369353.5797550.7889647.3399742.925737.1376829.52601206057.4169254.697251.6986548.2692444.2467239.4683433.8034827.23313206057.1105154.0848350.78747.0839942.854238.0055132.50667

10、26.43148206057.1105154.0848350.78747.0839942.854238.0055132.5066726.43148206057.4169254.697251.6986548.2692444.2467239.4683433.8034827.23313206058.0307555.9369353.5797550.7889647.3399742.925737.1376829.52601206058.9248457.7692256.4364854.7896252.605149.4740244.5750836.126152060606060606060606020从 y=

11、0处导入的热量2可以近似看作从y=0向 y=0.4/9处传递的热量，y=0.4/9 处的温度分别为：x0T0.6/90.6/9*20.6/9*30.6/9*40.6/9*5 0.6/9*6 0.6/9*7 0.6/9*8 0.66058.9248458.0307557.4169257.1105157.1105157.4169258.0307558.92484606xxxyyy则tttttt6,26,1x7,27,1x8,28,1xyyy2=t2,2t2,1t3,2t3,1t4,2t4,1t5,2t5,1yx整理得2=t2,2t3,2t4,2t5,2t6,2t7,2+t8,2t2,1t3,1t4

12、,1t5,1t6,1t7,1t8,1yxx0.61.5y0.42=1.5(t2,2t3,2t4,2t5,2t6,2t7,2+t8,2t2,1t3,1t4,1t5,1t6,1t7,1t8,1)5110.188当L2 L1时，该二维导热问题可简化为一维导热问题。M 1 L2M 2Tw1tm,21m2L2当L2/L1 0.007时，令 M=N=100，得M 1 L2M 2Tw1tm,21=1129571.429m2L2看作一维导热时1Tw2Tw16020 2001142857.143L20.007L1不同L2/L1下2/1比值如下表：L2/L121210.0070.010.0515281216000

13、00.95510.9560.08928901000000.92890.930.172908800000.91140.9121129571.4297895401142857.1438000000.98840.99870.98690.99122解析解17附录Matlab 程序：第一题：function chuanredazuoyeclearclcL1=0.6;%矩形长度L2=0.4;%矩形宽度Tw1=60;Tw2=20;global M N%设置网格数M=input(请输入将区间0,L1等分的个数 M:);N=input(请输入将区间0,L2等分的个数 N:);XDIF=L1/M;YDIF=L2/

14、N;axis(0,M,0,N);grid%设置网格U=initial(M,N,Tw1,Tw2,L1,XDIF);AIM=YDIF/XDIF;AIP=YDIF/XDIF;AJM=XDIF/YDIF;AJP=XDIF/YDIF;8%x 方向上的步长%y 方向上的步长AP=2*YDIF/XDIF+2*XDIF/YDIF;CON=0;%离散方程系数T=rechuandao(U,M,N,AIM,AIP,AJM,AJP,AP);A=flipud(T);mesh(A);title(温度分布)xlabel(x)ylabel(y)zlabel(T)function U=rechuandao(U,M,N,AIM,

15、AIP,AJM,AJP,AP)while 1temp=U;for i=2:M-1for j=2:N-1U(i,j)=(AIM*U(i,j-1)+AIP*U(i,j+1)+AJM*U(i-1,j)+AJP*U(i+1,j)/AP;%设置迭代条件endendeps=abs(U-temp);if max(max(eps)1e-8break;%限制迭代次数9endendfunction U=initial(M,N,Tw1,Tw2,L1,XDIF)U=zeros(M,N);%赋温度矩阵初值U(:,1)=Tw1;U(:,M)=Tw1;U(N,:)=Tw1;for i=1:MU(1,i)=Tw1+Tw2*s

16、in(pi*i*XDIF/L1);end%初始和边界条件的设定第二题：function gaibianjietiaojianclearclcL1=0.6;%矩形长度L2=0.4;%矩形宽度Tw1=60;Tw2=20;global M N%设置网格数M=input(请输入将区间0,L1等分的个数 M:);N=input(请输入将区间0,L2等分的个数 N:);XDIF=L1/M;10%x 方向上的步长YDIF=L2/N;%y 方向上的步长axis(0,M,0,N);grid%设置网格U=initial(M,N,Tw1,Tw2);AIM=YDIF/XDIF;AIP=YDIF/XDIF;AJM=XD

17、IF/YDIF;AJP=XDIF/YDIF;AP=2*YDIF/XDIF+2*XDIF/YDIF;CON=0;%离散方程系数T=rechuandao(U,M,N,AIM,AIP,AJM,AJP,AP);A=flipud(T);mesh(A);title(改变边界条件后温度分布)xlabel(x)ylabel(y)zlabel(T)function U=rechuandao(U,M,N,AIM,AIP,AJM,AJP,AP)while 1temp=U;for i=2:M-1for j=2:N-111U(i,j)=(AIM*U(i,j-1)+AIP*U(i,j+1)+AJM*U(i-1,j)+AJP*U(i+1,j)/AP;%设置迭代条件endendeps=abs(U-temp);if max(max(eps)1e-8break;%限制迭代次数endendfunction U=initial(M,N,Tw1,Tw2)U=zeros(M,N);%赋温度矩阵初值U(:,1)=Tw1;U(:,M)=Tw1;U(N,:)=Tw1;U(1,:)=Tw2;%初始和边界条件的设定12