数学建模通识课大作业题目.pdf

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1、数学建模通识课大作业题目数学建模通识课大作业题目注意事项注意事项:(1)大型作业由学生组队完成,每队不超过 3 人；(2)在 17 个题目中任选一题完成；(3)答卷包括问题复述、建模假设与建立、模型求解与计算等部分组成，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出；(4)答卷必须具有原创性，如发现抄袭和雷同，成绩计 0 分；(5)答卷以电子版的形式发给各任课老师指定的邮箱，交卷截止时间为 2012 年 12 月 20日晚上 9：30。题 1：地下管线A 地和 B 地之间准备修建一条地下管线，B 地位于 A 地正南面 20k

2、m 和正东 30km交汇处，它们之间有东西走向岩石带。地下管线造价与地质特点有关，图1 给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为三条沿东西方向的地质带。AR沙土沙石岩石沙石S沙土C1B图 1PC1C2C3C2你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线 AB 显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径 ARSB过岩石和沙石的路径最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型进一步适合于下面两个限制条件的情况呢？1当管线转弯时，角度至少为 140。2管线必须通过一个已知地点（如 P）。题 2：电子游戏中的数学近年来，随着电子游戏的日益普及，电子

3、游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的 47 张牌中再次随机分配。玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。下面是一份典型的奖金分配表：牌型同花大顺（10 到 A）同花顺四张相同点数的牌满堂红（三张同点加一对）同花顺子三张相同点数的牌两对一对高分对（J 及以上）其它奖金（元）80050258543210在上表中，玩家的牌型属于某一类型且不属于任何更高的类型，则赢得该牌型相

4、应的奖金。1、若某玩家采取以下策略，当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。根据上述游戏规则和策略，分析各类牌型出现的可能性，计算采取该策略能获得的期望奖金金额。2、对上述策略进行评价。3、是否存在更好的策略。若有，请与上述策略进行比较。题 3：确定学术论文重要性排序随着现代科学技术的发展，每年都有大量的学术论文发表。如何衡量学术论文的重要性，成为学术界和科技部门普遍关心的一个问题。有一种确定学术论文重要性的方法AB是考虑论文被引用的状况，包括被引用的次数以及引用论文的重要性程度。假如我们用有向图来

5、表示论文引用关系，“A 引用 B”可用下图表示：现在有 A、B、C、D、E、F 六篇学术论文，它们的引用关系如下：要求：ACDE排得的结果。2）将算法推广到任意 N 篇论文的情况。题题 4 4：补考日程编排问题补考日程编排问题BF1）设计一个依据上述引用关系排出六篇论文重要性顺序的算法，并给出用该算法每年开学初，我校都要安排学生补考。一方面，补考涉及人数较多，专业广泛，因此科目繁多；另一方面，参加同一门课程补考的学生来自全校各个专业，而且有些学生同时有多门课程需要补考。补考不同于平常的期末考试，只能利用周末进行，并且考试周期不能拖得太长，假如由你来负责编排补考日程，请你建立相关模型，设计一种补

6、考日程编排方案，使得任何一个学生的不同补考科目在时间上都不冲突，并且使整个补考周期尽可能短。1假如同一个时间段可供使用的考场个数没有限制，问如何编排考试日程表才能使整个考试过程在最短的时间内完成？2假若能同时使用的考场数目是有限的（比如只有 10 个教室），问如何编排考试日程表才能使整个考试过程在最短的时间内完成？3附件中是今年考试的部分考生信息，请你利用附件中的数据编制考试日程表。题题 5:5:两种房贷还款方式有无好坏之分两种房贷还款方式有无好坏之分最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式引起了社会各界的关注。银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款

7、法。有人认为一笔 20 万元、20 年的房贷，两种还款方式的差额有 1 万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。1请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有好坏之分；2是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论；3给报社写一篇稿子，介绍你的研究成果。题 6:高校教师升职加薪问题某民办大学教师的职称分为助教、讲师、副教授、教授四个级别，其中助教从在读博士生中聘用，当取得博士学位后自动升为讲师，而讲师、副教授均需

8、至少任职7 年才可申请晋升上一级职称。所有教师每年领取 10 个月（每年 9 月至次年 6 月）工资（年薪），助教为 27000 美元，讲师为 32000 美元，副教授为 40000 美元，教授为 52000 美元。每年教师的工资都会增加，涨工资总是在9 月初生效。若教师职称得到及时晋升，则应增部分等于未晋升而连续工作 7 年每年应增部分的总合。得到及时晋升且工作满 25年以上的教授退休时的工资为 64000 美元。同样职称但具有更多经验的教师应比经验较少的教师工资高一点，但工资增长随任职年数增加而逐年下降。外校调入教师的在外校的教龄可折算为本校教龄，但最多只能按7 年计。试分别考虑生活费用有

9、无增加两种情况，设计一个公平合理的加薪规则。题 7:适当换车真的省钱吗？上海市出租车收费制度在 1998 年进行了调整，由原来5 公里起步价 14.4 元、每公里车费 1.8 元变为 3 公里起步价 10 元、每公里 2 元，并且 10 公里以上每公里增收 50%、特殊时段（23：006：00）每公里增收 30%。制度改变后，一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。可现在，这种乘客越来越少见了。请问适当换车真的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。题题 8:8:银行准备金问题银行准备金问题银行各储蓄所每天都需要有一定的现金作为准备金，以供人们前来取款。如果储蓄所准

10、备金太多，则对于银行来说是一种损失（本来这部分现金可以贷款出去以赚去贷款利息），如果储蓄所准备金太少，则到时候有人要取钱时不够了，则要损害银行信誉，此时银行可以到附近其他银行的网点拆借，但是拆借的利息比较高。当然没有还有人来存款，存款的钱可以作为取款人取的钱。存款人与取款人的人数以及金额都是相互独立的。所以对于银行来说，合适的银行准备金是银行必须考虑的一个问题。下面以某个储蓄所为例，考虑该储蓄所每天该如何准备现金。假设每5 分钟内前来取款的人数服从参数为 1 的 possion 分布，取款金额服从参数为（1500，550）的正态分布，存款的人数服从参数为 0.2 的 possion 分布，存款

11、金额服从参数为（2000，670）的正态分布。存款人和取款人的到来相互独立。银行的存款利率 r1，贷款利率是 r2，拆借利率是 r3，r3r2r1。要考虑的问题是：1、该储蓄所的最佳准备金是多少？2、为了使至少 95%的顾客都能取到钱，每天至少该准备多少现金？3、如果银行要求取钱金额超过 5 万必须提前一天预定，那样准备金又该如何准备？题 9:导弹发射问题1、我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机，经分析确认是一架敌机后，即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射 I 型空对空追踪导弹将其击毁（追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向）。假定雷达发现敌机时，该机正位于我防空指

12、挥部正东 N 公里高空处，并欲在同一高度上向位于其正北方向 M 公里处的安全区逃窜（由于电子干扰的作用,敌机一旦进入安全区后.导弹将失去追踪目标，无法将其击毁）。在适当的假设下，确定导弹追踪敌机的轨迹及发射 I 型空对空导弹击毁敌机的条件。2、若当时命令设在防空指挥部的地面导弹基地发射 II 型地对空追踪导弹截击敌机，假定敌机始终距地面高度为 h 公里飞行，其他假定同情况 1 中所述，重新确定此时 II型地对空导弹追踪敌机的轨迹及击毁敌机的条件。3、若敌机的飞行速度 v、其位置 N 和追踪导弹速度 u 均为给定的常数；针对情况 1 中敌机被导弹击中的条件下，给出一个计算机编程的算法及相关程序，

13、以计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机的位置。据此，在 v=1 马赫数，N=100 公里,u=2马赫数 时，利用上述的程序算出具体敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置。4、若追踪轨迹确定时，导弹击毁敌机还存在随机性，导弹飞行的路程越长，其击毁敌机的概率越小，试重新讨论情况 1 中的问题。题 10:考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体（像冰淇淋的形状，见图）。如果球体的半径限定为正好 6 英尺，设计的水箱表面积为 450 平方英尺，x1为直圆锥的高，x2为球冠的高，请确定 x1，x2的尺寸，使水箱容积最大，并讨论模型的敏感性。r=6 英尺x2x1题

14、 11:总部位于俄亥俄州阿克伦城的 Firestone 公司在南卡罗来纳州佛罗伦萨有一座工厂，生产两种类型的轮胎（SUV225 和 SUV205）。由于最近轮胎市场回暖，需求量很大。每批 100 个 SUV225 轮胎需要 100 加仑的复合塑料和 5 磅的橡胶，每批 100 个SUV205 轮胎需要 60 加仑的复合塑料和 2.5 磅的橡胶。每种类型的每个轮胎需要 1 美元的劳动成本。该制造商每周有 660 加仑的复合塑料、750 美元的资金、300 磅的橡胶。公司估计每个 SUV225 轮胎的利润是 3 美元，每个 SUV205 轮胎的利润是 2 美元。a)为了最大化利润，公司每周每种轮胎

15、分别应该生产多少？b)假设该制造商有机会与一个轮胎销售商签订一份供货合同，向销售商提供至少500 个 SUV225 轮胎和至少 300 个 SUV205 轮胎，该制造商是否应该签这份合同？请给出支持你的建议的理由。c)如果该制造商可以以 50 美元的总成本额外获得 1000 加仑的复合塑料，他是否应该购买这些复合塑料？请给出支持你的建议的理由。题 12:社会学家发现了一种被称为社会流传的现象，指的是一条信息、一种技术创新或一种文化时尚在人群中的传播。这样的人群可以分为两类：一类接受到该信息，另一类没有。在一个人口数量已知的固定人群中，有理由假设流传率与已接收到信息的人数和待接收的人数的乘积成正

16、比。若 X 表示 N 个人的居民中已接收到信息的人数，那么关于社会流传的数学模型为 dX/dt=kX(N-X)，其中 t 表示时间，k 是正常数。a)解这个模型，并证明它的解是一条 Logistic 曲线。b)什么时候此信息传播最快？c)最终会有多少人接受到此信息？题 13:云翔公司生产并直接向客户销售个人电脑。公司通过电话或公司的网站接受订单。云翔公司在最近几个月内将推出多种新款手提电脑模型。管理层意识到公司需要发展专长于新的手提电脑系统的技术支持人员。一个选择是雇用新的员工并培训3个月，另一个选择是让现有的客户服务专家接受 2 个月的培训。云翔公司估计 59 月对手提电脑专家的需求将从零增

17、加到 100 名，每个月的需求如下：5 月20,6 月30,7 月85,8月85，9 月100。9 月以后，云翔公司认为保持 100 名专家便足以保证服务。无论是雇用新员工或是让新员工代替参加培训的现有员工，一名新员工的年薪大约是 27000 美元。云翔公司认为现有员工参加培训的，年薪大约是 36000 美元。3 个月的培训费用是每人 1500 美元，而2 个月的培训费用是每人 1000 美元。需要注意的是：培训的持续时间意味着雇用和新的专家不能即时提供服务。并且现有员工中能够参加培训的人数是有限的。云翔公司估计近几个月可用的专家数如下：3 月15,4 月20,5 月0,6 月5，7 月10。

18、培训中心每个月均可开设新的 3 个月及 2 个月的培训班。但是，每月开始培训的学员人数（新雇用的和现有的）不得超过 25 人。云翔公司需要确定每个月开始 3 个月训练的新雇员以及开始 2 个月训练的现有员工数。其目标是为了尽可能低的总费用满足59 月的员工需求。即：使固定花费和总训练费用最少。现在是 1 月份。云翔公司要制定一份雇用新员工的计划，并确定在训练中新员工与现有员工如何混合安排。文中需包含并分析了下面几项：a)与雇用新员工以及将其训练成手提电脑专家相关的固定工资与训练费用。b)与让现有员工参加训练相关的固定费用与训练费用。要注意的是，当该员工参加训练时，必须雇用新手来代替他。c)对雇

19、用及训练计划提出建议，以使 28 月期间的工资和训练费用最少。同时回答问题：为新手提电脑模型提供技术支持的总花费是多少？9 月份支付的总费用比 1 月份高多少？题 14:你志愿参加了和平组织，被派往卢旺达进行人道主义援助。你和世界卫生组织的官员一起发现了一种新的杀手病毒汉坦病毒。如果只有一个病毒复制进入人体，它就能迅速复制繁殖。事实上，该病毒的数目每小时翻番。人体免疫系统可能是相当有效的，但是这种病毒隐藏在正常的细胞里。结果是，当有1 百万个病毒复制在身体里漂浮时人体免疫响应才开始。免疫系统的第一个响应是体温升高，因此把病毒的复制率降低到每小时 150%。发烧以及随后的类似流感那样的症状是这种

20、病的第一个迹象。某些带有这种病毒的人只有流感或重感冒的症状。假设是这样的话，会导致致命的后果，因为单靠免疫响应是不足以抗击这种致命的病毒的。在最大的响应下，仅靠免疫系统每小时只能杀死 200 000 个病毒复制。对一个已经感染一个病毒复制的志愿者（在使用抗生素前）疾病的初始阶段进行建模。a)要多长时间该病毒复制能启动免疫系统的免疫响应？b)如果病毒复制的数目达到了 10 亿个，那么病毒就不会停止复制。确定什么时间会发生这种情形。c)当病毒复制的数目达到了 1 万亿个时，人就会死亡。确定什么时间会出现这种情形。为了充分抗击这种病毒，受感染的患者需要每隔一个小时注射一定剂量的抗生素。单独的抗生素并

21、不影响到病毒的复制速率（发烧使得病毒的复制速率保持在 150%的水平），但是免疫系统和抗生素一起每小时就能杀死 500 000 000 个病毒复制。d)对（使用了抗生素后的）病毒发展的第二阶段进行建模。确定为了挽救病人而能够最晚使用抗生素的时间。分析你的模型，并讨论其优缺点。题 15：估计动物数量估计一个有限封闭区域内生物数量，例如湖里的鱼或森林里的松鼠，一种方法是抓到一些个体并给它们做上标记或系上标签，再放回原处。设想抓到了 x 只动物，做好标记后释放回去，过一段时间后，抓到了n 只这类动物并发现其中有 y 只有标记。我们可以怎样估计这一地区该类动物的总数量 N 呢？估计出的数量准确度如何？

22、建立一个模拟模型来检查你的答案。对于 x 和 n 值的选取你有什么建议？若考虑动物的自然增长，如何校正你的估计？题 16:杭州地铁票如何定价是合理的杭州地铁已开通，而关于地铁票价该如何制定一直是大家讨论的热点，现有的定价是否合理也值得探讨，请根据你所查阅的资料，给地铁定价提出一个方案并说明其合理性，以及用你提出的方案给杭州地铁定价。题 17:计划生育下我国人口年龄分布结构的预测人口年龄分布结构是关系到国计民生的大事，老龄化已成为社会讨论的热点，很多人觉得老龄化的出现主要是由于计划生育的原因。请自行查询数据资料，预测我国未来20，如果一直实行现行的计划生育不变，那么我国人口年龄分布的结构将如何变化，是否真的会进入老龄社会。