土木工程制图(第二章).pptx

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1、图工土程木制第 2 页目录页04 曲面立体及其轴测投影绪论02 投影基础03 平面立体及其轴测投影01 制图的基本知识与技能05 工程形体的表达方法第 3 页目录页10 道路、桥梁及涵洞工程图06 标高投影08 结构施工图09 建筑给水排水工程图07 房屋建筑施工图第 4 页目录页04 曲面立体及其轴测投影绪论02 投影基础03 平面立体及其轴测投影01 制图的基本知识与技能05 工程形体的表达方法第 5 页本章导读本章导读工程图样是通过投影图来表达工程形体或建筑物的结构形状的。要看懂这些图样，就必须理解并掌握与投影有关的基础知识。为此，本章重点介绍三面投影图的形成和投影规律，空间点、线、面的

2、投影和画法，以及用换面法求空间直线和平面的实际形状、尺寸及与投影面的夹角等，以初步培养学生的空间想象能力，从而为学好后面的知识打下坚实的基础。第 6 页技能目标u了解投影的基本知识，掌握正投 影的基本特性。u掌握三面投影图的形成过程、投影 规律及物体的6个方位关系。u掌握点的投影规律和点的投影与直 角坐标系之间的关系。u掌握直线和平面的投影规律，能够 熟练地在三面投影图和立体图上分 析相应点、直线、平面的投影，并 能判断点、直线和平面的空间位置。u能利用换面法求空间点、直线和平面 之间的距离或角度。技能目标第 7 页第二章 投影基础第一节 投影的基本知识一、投影的概念及分类在日常生活中，物体在

3、灯光或日光的照射下，在墙面或地面上就会显现出影子，通过影子能看出物体的外轮廓形状。但影子仅是一个黑影，它不能清楚地反映物体的完整结构，如图2-1（a）所示。（a）影子图2-1物体的影子和投影第 8 页第二章 投影基础人们对自然界的这一物理现象加以科学的抽象和概括，把光线抽象为投射线，把物体抽象为形体（只研究其形状、大小、位置，不考虑其物理性质和化学性质），把地面和墙面抽象为投影面。即假设光线能穿透物体，而将物体表面上的各个点和线都在承接影子的平面上落下它们的影子，从而使得这些点、线的影子组成了能够反映物体形状的“线框图”，如图2-1（b）所示。（b）投影图2-1物体的影子和投影第 9 页第二章

4、 投影基础我们把这样形成的“线框图”称为投影。把能够产生光线的光源称为投影中心，光线称为投影线或投射线，承接影子的平面称为投影面。这种把空间形体转化为平面图形的方法称为投影法。要得到物体的投影，必须具备投射线、物体和投影面3个条件。其中，投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线。这样，可将投影分为中心投影和平行投影。第 10 页第二章 投影基础当光源S距离投影面为有限远时，所有投射线都交汇于一点（即投影中心），这种投影法称为中心投影法，用中心投影法所得到的投影称为中心投影。如图2-2所示，H面上的abc就是空间ABC的中心投影。若改变空间ABC对投射中心S的距离，则所得投影ab

5、c的大小将发生变化，即中心投影不能反映空间几何形体的实形。（一）中心投影图2-2中心投影法第 11 页第二章 投影基础当光源S距离投影面无穷远时，所有投射线都变得几乎平行，这种所有投射线都相互平行地经过空间物体，并在投影面上得到投影的方法称为平行投影法。（二）平行投影第 12 页第二章 投影基础（a）斜投影（b）正投影图2-3平行投影法在平行投影中，若投射线与投影面倾斜，则为斜投影法，所得到的投影图称为斜投影或斜投影图；若投射线与投影面垂直，则为正投影法，所得到的投影图称为正投影或正投影图，也可简称为投影，如图2-3所示。平行投影的投射线相互平行，所得投影的大小与物体离投影中心和投影面的距离无

6、关。第 13 页第二章 投影基础二、工程中常用的投影图用图样表达形体空间形状的方法，称为图示法。用图示法表达工程形体时，根据表达的目的和被表达对象的特性不同，往往需要采用不同的图示方法。工程中常用的图示法有透视投影图、轴测投影图、正投影图和标高投影图。第 14 页第二章 投影基础用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得到的图形称为透视图，如图2-4（a）所示。透视图与照相原理相似，相当于将相机放在投影中心所拍的照片一样，具有形象、逼真、立体感较强、符合人“近大远小”的视觉特点。但作图较繁琐，且建筑物各部分的确切形状和大小不能在图中度量，常用作建筑设计方案比较、展览或绘制建筑物的效果表现图。（一

7、）透视投影图（a）透视图图2-4透视图和轴测图第 15 页第二章 投影基础轴测投影图是用平行投影法（正投影法或斜投影法）将物体投射到单一投影面上所得到的图形。根据投射线与投影面的角度不同，轴测图可分为正轴测投影和斜轴测投影，如图2-4（b）和（c）所示。（二）轴测投影图（b）正轴测投影（c）斜轴测投影图2-4透视图和轴测图轴测投影图具有一定的立体感，能反映出物体的长、宽、高，但不能完整地表达物体的形状，一般只能用作工程辅助图样。第 16 页第二章 投影基础用正投影法将物体向两个或两个以上相互垂直的投影面投影，再按一定规律将投影面展开到一个平面上所得到的投影图，称为正投影图，工程上最常用的是三面

8、正投影图。图2-4所示形体的三面正投影图如图2-5所示。（三）正投影图图2-5三面正投影图正投影图作图简便，度量性好，可反映物体的真实形状和大小，常用于绘制建筑施工图和建筑结构图等。但正投影图的立体感差，只有具备制图知识的人才能看懂。第 17 页第二章 投影基础标高投影图是一种带有高度数字标记的单面正投影图，如图2-6所示。作图时，需将间隔相等而高程不同的等高线投影到水平投影面上，并标出等高线的高程。标高投影图常用来绘制地形图、建筑总平面图和道路等方面的平面布置图样。（四）标高投影图（a）透视图（b）标高投影图图2-6标高投影图第 18 页第二章 投影基础三、正投影的基本性质正投影的形成条件是

9、投射线相互平行且垂直于投影面。因此，正投影图具有以下几个特性。实形性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）。如图2-7（a）中，平行于V面的平面P和形成平面P的所有棱线在该投影面上的投影反映其实形。（a）实形性图2-7正投影的基本特性第 19 页第二章 投影基础积聚性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）。如图2-7（b）中，垂直于V面的平面Q在该投影面上的投影积聚为一条直线，棱线BC积聚成b（c）点。（b）积聚性（c）类似性图2-7正投影的基本特性第 20 页第二章 投影基础类似性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面倾斜时，

10、其投影与该平面（或棱边）类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平面图形变小了，线段变短了。如图2-7（c）中，倾斜于V面的平面R在该投影面上的投影是平面R的类似形。（c）类似性图2-7正投影的基本特性第 21 页第二章 投影基础第二节 三面投影图的形成及投影规律物体的一个投影只能反映两个方向的尺寸，不同形状的物体在同一投影面上的投影有可能相同，如图2-8（a）所示。因此，一个投影不能完整地表达物体的形状和大小。（a）不同物体的单面投影相同图2-8物体的单面投影和两面投影第 22 页第二章 投影基础用相互垂直的两个平面作投影面，将物体向这两个投影面作正投影，这两个投影联合起来能表达物体长、宽、高3

11、个方向上的尺寸。因此，一般情况下，两面投影能清楚表达物体的形状，但有些物体用两面投影也不能准确表达其形状，如图2-8（b）所示。由此可见，要确切表达物体的形状和大小，就需要建立一个三面投影体系。（b）不同物体的两面投影相同图2-8物体的单面投影和两面投影第 23 页第二章 投影基础一、三面投影体系的建立要唯一确定物体的形状和大小，通常将物体放在由3个相互垂直的投影面组成的三面投影体系中，然后向这3个投影面分别进行投影。这3个相互垂直的投影面称为三面投影体系，如图2-9所示。图2-9三面投影体系第 24 页第二章 投影基础其中，处于正立位置的平面称为正立投影面，简称正立面，用“V”标记；处于侧立

12、位置的平面称为侧立投影面，简称侧立面，用“W”标记；处于水平位置的平面称为水平投影面，简称水平面，用“H”标记。3个投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX，OY和OZ表示，3根投影轴的交点O称为原点。第 25 页第二章 投影基础二、三面投影图的形成与展开将物体放置于三面投影体系中，并使物体的主要表面平行于投影面，然后采用3组分别垂直于3个投影面的平行投射线对物体进行投射，即可得到物体的三面投影图，它们分别是V面投影、H面投影和W面投影，如图2-10所示。图2-10三面投影图的形成第 26 页第二章 投影基础V面投影：又称正面投影，是由前向后投射时物体在正立投影面（V面）上所得到的投影图。H面投

13、影：又称水平投影，是由上向下投射时物体在水平投影面（H面）上所得到的投影图。W面投影：又称侧面投影，是由左向右投射时物体在侧立投影面（W面）上所得到的投影图。第 27 页第二章 投影基础为了把相互垂直的3个投影面上的投影画在同一张图纸上，绘图时需将相互垂直的3个投影面展开在同一个平面上。展开方法是：V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90，将W面绕OZ轴向右旋转90，分别使其与V面处于同一平面。这时，OY轴被分成两条，分别用OYH（在H面上）和OYw（在W面上）表示，如图2-11（a）所示。（a）图2-11三面投影图的展开第 28 页第二章 投影基础由于投影面是假想的，投影面的大小并不影响投影

14、图的形状和大小，因此在实际绘图时不必画出投影面的线框。此外，也不需要注写H，V，W字样。展开后的三面投影图如图2-11（b）所示。（b）图2-11三面投影图的展开第 29 页第二章 投影基础三、三面投影图之间的对应关系三面投影图表示物体3个方向上的投影，所以3个投影图之间既有区别又有联系。从物体三面投影图的形成和展开过程可以看出，三面投影图在投影和方位上具有如下对应关系。由图2-11（b）可知，V面和H面投影都反映了物体的长度，展开后这两个投影左右对齐，这种关系称为“长对正”；V面和W面投影都反映了物体的高度，展开后这两个投影上下对齐，这种关系称为“高平齐”；H面和W面投影都反映了物体的宽度，

15、这种关系称为“宽相等”。（一）投影关系（b）图2-11三面投影图的展开第 30 页第二章 投影基础“长对正、高平齐、宽相等”是正投影图重要的投影对应关系。作图时，“长对正”可用靠在丁字尺工作边上的三角板将V面投影和H面投影对正；“高平齐”可直接用丁字尺将V面投影和W面投影拉平；“宽相等”可利用以原点为圆心所作的圆弧将宽度在H面投影与W面投影之间互相转移，也可利用45辅助线保证H面投影和W面投影的关系，如图2-12所示。（a）用圆弧表示（b）45辅助线表示（c）45辅助线表示图2-12三面投影图的投影关系第 31 页第二章 投影基础无论是整个物体，还是物体的局部（如某条棱边、某个顶点及平面等），

16、其三面投影都必须符合“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”关系。在今后画图、读图、度量及标注尺寸时，都要遵循和应用这一投影规律。注意第 32 页第二章 投影基础三面投影图不仅反映了物体在长度、宽度和高度方向上的尺寸关系，同时还反映了物体上、下、左、右、前、后6个方位。如图2-13所示，V面投影（正面投影）反映物体的上、下和左、右的相对位置关系；H面投影（水平投影）反映物体的前、后和左、右的相对位置关系；W面投影（侧面投影）反映物体的前、后和上、下的相对位置关系。（二）方位关系图2-13三面投影图的方位关系第 33 页第二章 投影基础四、绘制三面投影图的注意事项绘制三面投影图时，可设想分别从物体的

17、前方向后、左侧向右和上方向下观察物体，如果棱边和轮廓线可见，则用粗实线表示；如果棱边和轮廓线不可见，则用细虚线表示。当粗实线与虚线或点画线重合时，应画成粗实线；当虚线与点画线重合时，则应画成虚线。此外，画图和读图时，要特别注意H面投影和W面投影之间的前、后位置关系和尺寸关系。第 34 页第二章 投影基础解：H面投影可根据三面投影图的“三等”关系和6个方位关系来补画，具体补画过程如下。（1）根据“长对正、宽相等”补画基础长方体的H面投影，如图2-15（a）所示。（2）根据“长对正、宽相等”补画基础长方体上缺口的H面投影，如图2-15（b）所示。【例2-1】根据图2-14中的立体图及V面和W面投影

18、，补画其H面投影。图2-14已知条件（a）（b）图2-15补画H面投影第 35 页第二章 投影基础解：在H面投影上找出m和a线框所代表的图线m和a，如图2-16（b）所示。由于H面投影反映物体的前、后、左、右关系，且图线m在图线a的上面，故M面在A面的后方。在H面投影上找出q和c线框所代表的图线q和c，由于图线q在图线c的右侧，故Q面在C面的右侧。在V面投影上找出n和b线框所代表的图线n和b，由于V面投影反映物体的上、下、左、右关系，且图线n在图线b的下方，故N面在B面的下方。【例2-2】分析图2-16（a）中m，n和q线框所代表的平面分别与a，b，c线框所代表的平面的方位关系。（a）图2-1

19、6分析平面的方位关系（b）图2-16分析平面的方位关系第 36 页第二章 投影基础第三节 点的投影房屋形体由多个侧面围成，各侧面相交于多条侧棱，各侧棱相交于多个顶点，如图2-17中的顶点A，B，C，J。从形体角度来看，只要把这些顶点的投影画出后，再用直线将各点的投影一一连接，就可以得到该形体的投影。由此可见，点是形体的最基本元素，其投影规律也是线、面、体投影的基础。图2-17房屋形体第 37 页第二章 投影基础一、点的三面投影若将空间点A置于三面投影体系中，然后自点A分别向3个投影面作垂线（即投射线），交得的3个垂足点a，a和a即为空间点A的H面投影、V面投影和W面投影，如图2-18所示。（a

20、）（b）（c）图2-18点的三面投影第 38 页第二章 投影基础画投影图时通常规定，空间点用大写拉丁字母A，B，表示，H面投影用相应的小写字母表示，如a，b，；V面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a，b，；W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a，b，。由图2-18中点A的三面投影图的形成过程，可总结出点的投影规律，具体如下。（1）点A的水平投影a和正面投影a的连线垂直于OX轴，即aaOX。（2）点A的正面投影a和侧面投影a的连线垂直于OZ轴，即aaOZ。（一）点的投影规律第 39 页第二章 投影基础（3）空间点到某一投影面的距离，等于另外两个投影面上的投影到与该投影面相交的投影轴的距离，即

21、A点到H面的距离；A点到V面的距离；A点到W面的距离 。由上述可知，点的两面投影即可确定点的空间位置。因此，只要给出点的两面投影，就可以求出其第三面投影。第 40 页第二章 投影基础分 析：根 据 点 的 投 影 规 律 可 知，aaOX。因此，过a点作OX轴的垂线，所求点a必在该垂直的延长线上。由aaZ=aaX可确定点a的位置。作图步骤：（1）过a点作OX轴的垂线并延长。（2）过a点作OYW轴的垂线交OYW轴于aW点。【例2-3】已知点A的正面投影a和侧面投影a，如图2-19（a）所示，求该点的水平投影。（a）图2-19求点的水平投影第 41 页第二章 投影基础（3）以O点为圆心、OaW为半

22、径作圆弧，交OYH轴于aH点。（4）过aH点作OX轴的平行线，与过a点的竖直线相交，则交点即为所求的水平投影点a，如图2-19（b）所示。（b）图2-19求点的水平投影第 42 页第二章 投影基础空间点可用直角坐标“x，y，z”，来表示。由图2-18中可以看出：Aa=aaZ=aaY=x，x坐标即为空间点A到W面的距离。Aa=aaX=aaY=z，z坐标即为空间点A到H面的距离。Aa=aaX=aaZ=y，y坐标即为空间点A到V面的距离。（二）点的投影与坐标（a）（b）（c）图2-18点的三面投影第 43 页第二章 投影基础作图步骤：(1)画出两条相互垂直的直线，以作为投影轴，然后在OX轴上向左量取

23、15，得aX点，接着过aX点作OX轴的垂线，如图2-20（a）所示。(2)在过aX点的垂线上向上量取20得a点，向下量取10得a点，如图2-20（b）所示。(3)过O点画出45斜线，然后由a点和a点作出a点即可，如图2-20（c）所示。【例2-4】已知空间点A（15，10，20），求作它的三面投影图。（a）（b）（c）图2-20求空间点的三面投影第 44 页第二章 投影基础二、两点之间的相对位置关系空间两点的相对位置是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的上方或下方、前面或后面、左侧或右侧。空间两点的相对位置，可根据其坐标关系来判断，具体表现为：（1）x坐标确定两点的左右关系，x坐标大者在

24、左边，x坐标小者在右边；（2）y坐标确定两点的前后关系，y坐标大者在前边，y坐标小者在后边；（3）z坐标确定两点的上下关系，z坐标大者在上边，z坐标小者在下边。（a）（b）图2-21两点的相对位置第 45 页第二章 投影基础值得注意的是，如果空间两点位于某一投影面的同一投射线上，则这两点在该投影面上的投影必定重合为一点，我们将这两点称为该投影面的重影点。如图2-22（b）中，A，B两点在H面上的投影为重影点。三面投影图中，重影点中的可见点标注在前，不可见点应加圆括号注写在可见点的后面，如图2-22（b）中的a（b）。（a）（b）图2-22重影点及其可见性第 46 页第二章 投影基础重影点可见性

25、的判断应遵循“前遮后（前可见后不可见）、上遮下（上可见下不可见）、左遮右（左可见右不可见）”的投影规律。提示第 47 页第二章 投影基础作图步骤：（1）根据A点的3个坐标值作出其三面投影，如图2-23（a）所示。（2）沿OX轴方向量取12（即75）并作OX轴的垂线，沿OY轴方向量取6（即126）并作OY轴的垂线，两条垂线的交点b即为B点的H面投影，如图2-23（b）所示。（3）沿OZ轴方向量取10（即64）并作OZ轴的垂线，该垂线与过b点的竖直垂线的交点为b点，最后根据b和b点作出b点，如图2-23（c）所示。【例2-5】已知空间点A（7，12，6），B点在A点的左侧5mm、上方4mm、后方6

26、mm处，求作B点的三面投影。（a）（b）（c）图2-23求点的三面投影第 48 页第二章 投影基础两点可以确定一条直线。在几何学中，直线没有起点和终点，即直线的长度是无限的。直线上两点之间的部分（一段直线）称为线段，线段有一定长度。本书所涉及的直线实质上是指线段。空间两点可确定一条直线，故直线的投影取决于该直线上两个点的投影。由此可得出作直线的三面投影的基本方法，即分别作出直线上两个点的三面投影，然后将同面投影用直线连接起来即可第四节 直线的投影第 49 页第二章 投影基础一、各种位置直线的投影及投影特性根据直线与投影面的相对位置不同，可将直线分为投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。平行

27、于某一投影面，同时倾斜于其余两个投影面的直线，称为投影面平行线。其中，平行于H面的直线称为水平线；平行于V面的直线称为正平线；平行于W面的直线称为侧平线。投影面平行线的投影特性如表2-1所示。（一）投影面平行线第 50 页第二章 投影基础名称立体图投影图投影特性水平线正平线侧平线表2-1投影面平行线的投影第 51 页第二章 投影基础直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直线对H面、V面、W面的倾角分别用希腊字母标记。由表2-1可知，投影面平行线的投影可概括为“一斜两平”，其投影特性为：（1）投影面平行线在与其平行的投影面上的投影反映实长，且该投影与相应的投影轴之间的夹角反映直线与另两个投影面

28、的倾角；（2）投影面平行线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度小于实长。第 52 页第二章 投影基础若空间一直线垂直于某一个投影面，则该直线必定平行于另外两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。其中，垂直于H面的直线称为铅垂线；垂直于V面的直线称为正垂线；垂直于W面的直线称为侧垂线。投影面垂直线的投影特性如表2-2所示。由表2-2可知，投影面垂直线的投影可概括为“一点两垂”，其投影特性为：（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；（2）直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反映该直线的实长。（二）投影面垂直线第 53 页第二章 投影基础名称立体图投影图投影特性铅锤线H

29、面投影积聚为一点ababOZab=ab=AB正垂线V面投影积聚为一点abOYH，abOYWab=ab=AB侧垂线W面投影积聚为一点ababOXab=ab=AB表2-2投影面垂直线的投影特性第 54 页第二章 投影基础作图步骤：（1）过a点作OX轴的垂线aaX，在aaX的延长线上截取aaX=10，如图2-25（a）所示。（2）由于A点在B点的左下方，故过a点作与OX轴成30的斜线，该斜线与过b点的垂线bbX的延长线相交，即可得到b点，如图2-25（b）所示。（3）根据直线AB的水平投影ab和正面投影ab，可作出其侧面投影ab，如图2-25（c）所示。【例2-6】已知图2-24所示直线AB的水平投

30、影ab，该直线对H面的倾角为30，端点A距水平面的距离为10，A点在B点的左下方，求直线AB的其他两面投影。图2-24已知条件（a）（b）图2-25求点的三面投影（c）图2-25求点的三面投影第 55 页第二章 投影基础与3个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，如图2-26中的直线AB。（三）一般位置直线（a）（b）图2-26一般位置直线的投影第 56 页第二章 投影基础1一般位置直线的投影特性由图2-26可以看出，一般位置直线的投影可概括为“三斜三短”，其投影特性为：（1）一般位置直线在3个投影面上的投影线均倾斜于投影轴，其投影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角；（2）3条投影线段的长度都

31、小于空间线段的实长。第 57 页第二章 投影基础（a）（b）（c）图2-27求一般位置直线的实长和倾角2一般位置直线的实长和倾角一般位置直线对3个投影面的投影都是倾斜的，3个投影均不能直接反映直线的实长和倾角，但可根据直线的投影，用图解的方法求出该直线的实长及其对投影面的倾角。图解的方法有多种，此处仅介绍最常用的直角三角形法。如图2-27（a）所示，AB为一般位置直线。在AB与其水平投影ab所决定的平面ABba内，过A点作AB1ab，并与Bb相交于B1点。由于Bbab，所以AB1BB1，ABB1为直角三角形。第 58 页第二章 投影基础该三角形的斜边是一般位置线AB本身，BAB1为AB对H面的

32、倾角，直角边AB1等于ab，另一直角边BB1为A，B两端点在垂直方向上的高差，即BB1=Bb-Aa=ZB-ZA=ZBA。如果能作出ABB1的投影，就可以求出一般位置直线AB的实长和倾角。如图2-27（b）所示，当直线AB的水平投影ab已知时，以ab为一直角边，以A，B两点的高度差值（即ZB-ZA）为另一直角边，作直角三角形abB0，则abB0AB1B，aB0即为一般位置线AB的实长，baB0为直线AB与H面的倾角。同理，求直线AB对V面的倾角，可将ab作为一直角边，将A，B两点的y坐标差YA-YB（即a，b两点前后方向的距离，可在水平投影图中找出）作为另一直角边，在V面投影上作A0ab，则A0

33、abAA1B，A0b即为一般位置直线AB的实长，A0ba为直线AB与V面的倾角，如图2-27（c）所示。第 59 页第二章 投影基础二、直线上点的投影特性直线上的点都具有从属性和定比性两个特性。从属性：是指若一个点在直线上，则该点的投影必在该直线的同面投影上；反之，若一个点的三面投影均在直线的同面投影上，则该点必在该直线上，如图2-28中的C点为直线AB上的一点。定比性：是指直线上的点分割线段之比在投影后保持不变。如图2-28（a）所示，已知C点分线段AB为AC和CB两部分，由于Aa/Cc/Bb，因此同理，即第 60 页第二章 投影基础已知直线与点的投影，可利用定比性法和补投影法来判定点与直线

34、的相对位置。其中，定比性法是通过点的定比性对其位置进行判断的方法；补投影法是通过补画已知直线和已知点的投影，来判断点与直线相对位置的方法。（a）（b）图2-28直线上点的投影第 61 页第二章 投影基础补投影法作图步骤：（1）根据直线AB的正面投影ab和水平投影ab，作出其侧面投影ab。（2）分别作点M和点N的侧面投影m点和n点，如图2-29（b）所示。由于m点在直线ab上，而n点不在直线ab上，因此可以判定M点在直线AB上，而N点不在直线AB上。【例2-7】已知直线AB、点M和点N的正面投影ab，m，n，以及水平投影ab，m和n，如图2-29（a）所示，试判断点M和点N与直线AB的关系。（a

35、）已知条件图2-29点与直线相对位置的判别（b）补投影法图2-29点与直线相对位置的判别第 62 页第二章 投影基础定比性法作图步骤：若采用定比性法作图时，应先过点a作任一辅助线，并取ab1ab，连接bb1，然后在ab1上量取am0=am及n0b1=nb，最后过点m0和点n0分别作直线bb1的平行线，如图2-29（c）所示。由该图中可知，M点在直线AB上而N点不在直线AB上。【例2-7】已知直线AB、点M和点N的正面投影ab，m，n，以及水平投影ab，m和n，如图2-29（a）所示，试判断点M和点N与直线AB的关系。（a）已知条件图2-29点与直线相对位置的判别（c）定比性法图2-29点与直线

36、相对位置的判别第 63 页第二章 投影基础（1）用直角三角形法求CD的实长cd0，如图2-30（b）所示。（2）在线段cd0上截取ce0，并使ce0=CE的实长，然后过e0点作dd0的平行线，交cd于e点，最后由e点求出e点，如图2-30（c）所示。【例2-8】已知图2-30（a）所示为直线CD的两面投影，试在该直线上取一点E，使得CE等于定长。（a）（b）（c）图2-30求一般位置直线的实长和倾角第 64 页第二章 投影基础图2-31厂房形体三、两直线的相对位置空间两直线可能有3种不同的相对位置，即平行、相交和交叉。如图2-31所示的厂房形体，棱边AB与BC相交，DG与EF平行，DE与GH交

37、叉（既不相交又不平行）。由于两平行棱边或相交棱边都在同一平面上，所以它们均称为共面线。两交叉棱边不在同一平面上，因此称为异面线。第 65 页第二章 投影基础两直线平行的投影规律为：若两直线平行，则它们的各同面投影一定相互平行。反之，若空间两直线各同面投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系；若两直线平行，则它们的长度之比等于它们各同面投影的长度之比。如图2-32所示，直线AB平行于直线CD，则ab/cd，ab/cd，且ABCD=abcd=abcd。（一）两直线平行图2-32两直线平行的投影规律第 66 页第二章 投影基础值得注意的是，如果两直线均为投影面平行线，则只有当反映实长的同面投影上的投

38、影为平行线时，才能判定这两条直线平行。如图2-33（a）所示，虽然ab/cd，ab/cd，但由于AB和CD均为侧平线，且其侧面投影ab与cd相交，故直线AB和CD不平行。除了通过补画第三面投影来判断两直线是否共面外，还可以利用辅助直线来判断这两条直线的空间位置。如图2-33（b）所示，分别在V面和H面中连接A点与D点，B点与C点的投影，然后过这两个交点作垂直于投影轴的投影线。若两交点的投影连线不在同一直线上，则表示直线AB和CD不共面，即为交叉。否则，直线AB和CD为共面线。（a）补画W面投影图2-33判断两条侧平线的相对位置（b）用辅助直线判断是否共面图2-33判断两条侧平线的相对位置第 6

39、7 页第二章 投影基础两直线相交的投影规律为：如果空间两直线相交，则它们的各同面投影一定相交，并且交点的投影必符合直线上点的投影规律。反之，如果空间两直线的各组同面投影都相交，并且交点的投影符合直线上点的投影规律，则这两直线一定为相交关系，如图2-34中的直线AB和CD为空间两相交直线。（二）两直线相交（a）立体图（b）投影图图2-34两直线相交第 68 页第二章 投影基础值得注意的是：（1）如果两直线都为一般直线，那么只需任意两组同面投影相交，且交点符合直线上点的投影规律，就可以判定这两条直线相交，如图2-34中的直线AB和CD相交。（2）如果两直线中有一条为投影面平行线，则只有当该直线在反

40、映其实长的投影面上的投影相交，且交点符合直线上点的投影规律时，才能判定这两条直线相交，如图2-35中的直线AB和CD不相交。图2-35两直线不相交第 69 页第二章 投影基础图2-36已知条件（a）（b）（c）图2-37补画四边形ABCD的H面投影作图步骤：（1）连接ac和bd，即可得到两对角线交点K的V面投影k，如图2-37（a）所示。（2）根据直线上点的从属性可知，交点K的H面投影必在对角线AC和BD上。因此，连接ac，然后过k点作垂线，交ac连线于k点，接着连接b点和k点，则d点在bk的延长线上，如图2-37（b）所示。（3）过d点向下作垂线，与bk的延长线交于d点。分别连接a点与b点，

41、以及c点与d点，即可得到四边形ABCD的H面投影abcd，如图2-37（c）所示。【例2-9】已知图2-36所示四边形ABCD的V面投影及两条边的H面投影，试补全该四边形的H面投影。第 70 页第二章 投影基础（a）（b）图2-38两直线交叉既不平行也不相交的空间两直线称为交叉直线，如图2-38所示的直线AB和CD。交叉两直线的投影有以下两种情况。（1）交叉两直线的同面投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律，即交点不是空间两直线真正的交点，而是重影点，如图2-38（b）中W面投影中的交点即为重影点。（2）交叉两直线的同面投影可能相互平行，但它们在3个投影面上的同面投影不会全部相互平行，如图

42、2-38（b）所示。（三）两直线交叉第 71 页第二章 投影基础一、平面的表示方法第五节 平面的投影平面是广阔无边的，它在空间可用下列形式中的任意一种表示。（1）不在同一条直线上的3个点，如图2-39（a）所示。（2）直线和直线外一点，如图2-39（b）所示。（3）两条相交直线，如图2-39（c）所示。（4）两条平行直线，如图2-39（d）所示。（5）任意平面图形，如图2-39（e）所示。（d）（e）图2-39平面的表示法（a）（b）（c）图2-39平面的表示法第 72 页第二章 投影基础二、各种位置平面的投影及其投影特性按空间平面与投影面的相对位置不同，平面可分为投影面平行面、投影面垂直面和

43、一般位置平面。工程形体上的平面，以投影面平行面和投影面垂直面居多。平行于某一投影面而与其他投影面均垂直的平面，称为投影面平行面。其中，平行于H面的平面称为水平面，平行于V面的平面称为正平面，平行于W面的平面称为侧平面。投影面平行面的投影特性如表2-3所示。（一）投影面平行面第 73 页第二章 投影基础名 称立 体 图投影图投影特性水平面H面投影反映实形V面投影和W面投影积聚成直线，分别平行于投影轴OX和OYW正平面 V面投影反映实形H面投影和W面投影积聚成直线，分别平行于投影轴OX和OZ侧平面W面投影反映实形V面投影和H面投影积聚成直线，分别平行于投影轴OZ和OYH表2-3投影面平行面的投影特

44、性第 74 页第二章 投影基础由表2-3可知，由于投影面平行面又同时垂直于其他两个投影面，所以它的其他两面投影分别积聚为一条直线，且平行于相应的投影轴。投影面平行面的投影特性为：（1）投影面平行面在与其所平行的投影面上的投影反映实形；（2）投影面平行面的另外两面投影积聚成直线段，且分别平行于相应的投影轴。第 75 页第二章 投影基础垂直于一个投影面而与另外两个投影面都倾斜的平面称投影面垂直面。其中，垂直于H面的平面称为铅垂面，垂直于V面的平面称为正垂面，垂直于W面的平面称为侧垂面。投影面垂直面的投影特性如表2-4所示。（二）投影面垂直面第 76 页第二章 投影基础名 称立 体 图投影图投影特性

45、铅锤面正垂面侧垂面表2-4投影面垂直面的投影特性第 77 页第二章 投影基础由表2-4可知，投影面垂直面在与其垂直的投影面上的投影积聚成一条斜线，这个积聚投影与投影轴的夹角，反映了该平面与相应投影面的倾角。倾角是指平面与投影面所夹的二面角。投影面垂直面的投影特性为：（1）投影面垂直面在与其垂直的投影面上的投影积聚为一条线段，且该线段与投影轴倾斜；（2）投影面垂直面在另外两个投影面上的投影为该平面的类似形。第 78 页第二章 投影基础与3个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图2-40所示的平面ABC即为一般位置平面。一般位置平面在3个投影面上的投影均为原几何形状的类似形，且面积均比原平面图形

46、本身的面积小。（三）一般位置平面（a）（b）图2-40一般位置平面的投影第 79 页第二章 投影基础分析：由投影图中的字母可知，SAB和SAC的三面投影均为三角形平面（类似性），所以SAB和SAC所在的棱面均为一般位置平面。SBC的正面投影为一条斜线（积聚性），其他两面投影均为三角形（类似性），故SBC所在的棱面为正垂面。ABC的水平投影为三角形平面（真实性），另外两面投影为与相应投影轴平行的直线段（积聚性），故ABC所在的棱面为水平面。【例2-10】图2-41所示为某三棱锥的三面投影图，试判断该三棱锥各棱面的空间位置。图2-41判断各平面的空间位置第 80 页第二章 投影基础三、平面上点和直

47、线的投影点在平面上的几何条件是：点在平面内的一条直线上，则该点必在平面上。因此，在平面上取点，当点所处的平面投影具有积聚性时，可利用积聚性直接求出点的各面投影；当点所处的平面为一般位置平面时，应先在平面上作一条辅助直线，然后利用辅助直线的投影求得点的投影。（一）平面上的点第 81 页第二章 投影基础作图步骤：（1）连a点和k点交bc于1点，从1点作OX轴的垂线并与水平投影bc交于1点，连接a1并延长。（2）从k点作OX轴的垂线与水平投影a1的延长线交于k点，则该点即为平面内K点的水平投影，如图2-42（b）所示。【例2-11】如图2-42（a）所示，K点在ABC所确定的平面内，已知k点，求K点

48、的水平投影。（b）图2-42求K点的水平投影（a）图2-42求K点的水平投影第 82 页第二章 投影基础直线在平面上的几何条件是：若直线通过平面上的两个点，或直线通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线，则该直线必定在平面上。如图2-43（a）所示，相交直线AB与BC构成一平面，在AB和BC上各取一点M和N，则过M，N两点的直线一定在该平面内。又如图2-43（b）所示，相交直线AB和BC构成一个平面，点L在直线AB上，过点L作直线LKBC，则直线LK一定在该平面内。（二）平面上的直线（a）（b）图2-43平面上的直线第 83 页第二章 投影基础作图步骤（参见图2-44（b）：（1）从a点向下量

49、取15mm作一平行于OX轴的直线，与ab交于m点，与ac交于n点，然后求作水平线MN的水平投影mn。（2）从a点向前量取10mm作一平行于OX轴的直线，与ab交于g点，与ac交于h点，则mn与gh的交点即为k点。（3）过k点作OX轴的垂直，与mn的交点即为k点，或作正平线GH的正面投影gh，则mn与gh的交点即为k点。【例2-12】已知平面ABC的两面投影，如图2-44（a）所示，在该平面上取一点K，使该点在A点下方15mm、前方10mm，试求K点的正面投影和水平投影。（b）图2-44作平面上点的投影（a）图2-44作平面上点的投影第 84 页第二章 投影基础第六节 换面法通过前面的学习我们知

50、道，当直线或平面相对投影面处于一般位置或不利于解题的位置时，在投影图中不能较简便地解决它们之间的一些度量问题或某些空间几何问题。若能改变直线或平面对投影面的相对位置，使其由一般位置变换为特殊位置，就能达到有利于解题的目的。这种变换空间几何元素（点、线、面）对投影面相对位置的方法，称为投影变换。投影变换中最常用的方法是换面法。第 85 页第二章 投影基础一、换面法概述保持空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原投影体系中的某一个投影面，这样便组成了一个新的投影体系，使几何元素在新投影面上的投影直接反映所需要的几何关系的方法，称为换面法。第 86 页第二章 投影基础如图2-45所示，ABC在原投