《传感器与测试技术》课件-第六章.pptx

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1、传感器与测试技术传感器与测试技术第第6章章 信号分析与处理信号分析与处理6.1概述概述6.2周期信号及其频谱周期信号及其频谱6.3 非周期信号及其频谱非周期信号及其频谱6.4数字信号分析与处理数字信号分析与处理6.5随机信号分析与处理随机信号分析与处理6.1 概概 述述6.1.1 信号的概念和分类信号的概念和分类1电桥的工作原理电桥的工作原理 信号是信息的载体，是信息的表现形式。信息与信号是互相联系的两信号是信息的载体，是信息的表现形式。信息与信号是互相联系的两个不同概念。信号不等于信息，但信息则是信号所承载的内容。个不同概念。信号不等于信息，但信息则是信号所承载的内容。测试系统是通过某种技术

2、手段，从被测对象的运动状态中提取所需的测试系统是通过某种技术手段，从被测对象的运动状态中提取所需的信息。这个信息从物理的角度讲，是以某种信号的形式反映出来的。信息。这个信息从物理的角度讲，是以某种信号的形式反映出来的。在工程实际中，测试系统的测试过程包括信号的获取、加工、处理、在工程实际中，测试系统的测试过程包括信号的获取、加工、处理、显示、反馈、计算等，因此测试系统对被测参量测试的整个过程都是信显示、反馈、计算等，因此测试系统对被测参量测试的整个过程都是信号的流程。号的流程。1信号的基本概念信号的基本概念信号一般可用单个或多个独立变量的函数或图形表示。信号可以描述信号一般可用单个或多个独立变

3、量的函数或图形表示。信号可以描述极为广泛的物理现象，可以计算、合成及分解。一般信号具有以下性质：极为广泛的物理现象，可以计算、合成及分解。一般信号具有以下性质：（1）信号具有特定的意义，即含有特定的信息；）信号具有特定的意义，即含有特定的信息；（2）信号具有一定的能量；）信号具有一定的能量；（3）信号易于被测得或感知；）信号易于被测得或感知；（4）信号易于被传输。）信号易于被传输。信息本身不具有能量及物质，故信息的传递必须借助于某种中间媒介，信息本身不具有能量及物质，故信息的传递必须借助于某种中间媒介，而这个包含有特定信息的媒介即为信号。信号一般表现为声、光、电、磁而这个包含有特定信息的媒介即

4、为信号。信号一般表现为声、光、电、磁等物理量。等物理量。2信号的分类信号的分类 （1）按信号的规律分类）按信号的规律分类 确定性信号：确定性信号：可以用明确的数学关系式描述或可由实验多次复现的信号。可以用明确的数学关系式描述或可由实验多次复现的信号。非确定性信号：非确定性信号：不能用数学关系式描述，而且其幅值、相位、频率不可不能用数学关系式描述，而且其幅值、相位、频率不可 预知。这类信号只能用概率统计的规律加以描述。预知。这类信号只能用概率统计的规律加以描述。（2）按信号的函数性质分类）按信号的函数性质分类按按函函数数性性质质分分类类连续时间信号：连续时间信号：是指在某一指定时间内，除若干个第

5、一类间断点是指在某一指定时间内，除若干个第一类间断点外，该函数都可给出确定的函数值的信号。外，该函数都可给出确定的函数值的信号。离散时间信号：离散时间信号：离散时间信号：是指仅在某些不连续的时刻有定离散时间信号：是指仅在某些不连续的时刻有定义的信号。义的信号。信号除了在时间上有连续时间信号和离散时间信号之分外，还可依据信号除了在时间上有连续时间信号和离散时间信号之分外，还可依据幅值取值将信号分为幅值取值将信号分为连续幅值信号连续幅值信号和和离散幅值信号离散幅值信号。时间和幅值均连续的信号称为时间和幅值均连续的信号称为模拟信号模拟信号。时间和幅值均离散且幅值被。时间和幅值均离散且幅值被量化的信号

6、称为量化的信号称为数字信号数字信号。（3）按信号的能量分类）按信号的能量分类按按信信号号的的能能量量分分类类能量信号能量信号功率信号功率信号 在所分析的区间，能量为有限值的信号。在所分析的区间，能量为有限值的信号。功率信号是指具有有限平均功率的信号。一功率信号是指具有有限平均功率的信号。一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无限大能量。有无限大能量。6.1.2 信号的时域分析和频域分析信号的时域分析和频域分析 将频率作为自变量，把信号看作是频率将频率作为自变量，把信号看作是频率 的函数的函数。在相应的图形表示。在相应的图形表示中，作为自变量出现

7、在横坐标上的是频率。信号的这种描述方法就是信号中，作为自变量出现在横坐标上的是频率。信号的这种描述方法就是信号的频域描述。信号在频域中的图形表示又称作的频域描述。信号在频域中的图形表示又称作信号的频谱信号的频谱，包括幅频谱和，包括幅频谱和相频谱等。幅频谱以频率为横坐标并以幅度为纵坐标，相频谱以频率为横相频谱等。幅频谱以频率为横坐标并以幅度为纵坐标，相频谱以频率为横坐标并以相位为纵坐标。基于傅里叶变换理论，在频域中对信号进行分析坐标并以相位为纵坐标。基于傅里叶变换理论，在频域中对信号进行分析的方法称为的方法称为信号的频域分析信号的频域分析。通常，信号可以被看作是一个随时间变化的量，是时间通常，信

8、号可以被看作是一个随时间变化的量，是时间t的函数的函数。在。在相应的图形表示中，作为自变量出现在横坐标上的是时间相应的图形表示中，作为自变量出现在横坐标上的是时间t。信号的这种。信号的这种描述方法就是信号的时域描述。基于微分方程和差分方程等知识，在时域描述方法就是信号的时域描述。基于微分方程和差分方程等知识，在时域中对信号进行分析的方法称为中对信号进行分析的方法称为信号的时域分析信号的时域分析。信号分析的主要任务就是要从尽可能少的信号中取得尽可能多的有用信号分析的主要任务就是要从尽可能少的信号中取得尽可能多的有用信息。时域分析和频域分析是从两个不同角度去观察同一现象。时域分析信息。时域分析和频

9、域分析是从两个不同角度去观察同一现象。时域分析比较直观，能一目了然地看出信号随时间的变化过程，但看不出信号的频比较直观，能一目了然地看出信号随时间的变化过程，但看不出信号的频率成分，而频域分析正好与此相反。率成分，而频域分析正好与此相反。在工程实际中应根据不同的要求和不同的信号特征选择合适的分析方在工程实际中应根据不同的要求和不同的信号特征选择合适的分析方法，或将两种分析方法结合起来，从同一测试信号中取得需要的信息。法，或将两种分析方法结合起来，从同一测试信号中取得需要的信息。6.2 周期信号及其频谱周期信号及其频谱6.2.1 周期信号的定义周期信号的定义 如果信号如果信号 x(t)在所有时间

10、在所有时间 t 内均能满足内均能满足 则则 x(t)是周期信号，是周期信号，T 称为周期。显然，周期信号是幅值按一定周期称为周期。显然，周期信号是幅值按一定周期不断重复的信号。不断重复的信号。1电桥的工作原理电桥的工作原理 周期信号又分为周期信号又分为正弦信号正弦信号（包括余弦信号）和复杂的（包括余弦信号）和复杂的周期信号周期信号。正。正弦信号是最简单的周期信号，其数学表达式为弦信号是最简单的周期信号，其数学表达式为 可见，正弦信号的周期可见，正弦信号的周期 T=2/，称为称为角频率角频率或或圆频率圆频率，周期的倒，周期的倒数称为数称为频率频率，即，即 f=1/T，=2f，x0为常数。为常数。

11、复杂的非正弦周期信号又可称之为非正弦周期函数，如图所示复杂的非正弦周期信号又可称之为非正弦周期函数，如图所示。非正弦周期信号非正弦周期信号6.2.2 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式 周期函数的一个重要特征是可以表示成无穷个正弦及余弦函数之和周期函数的一个重要特征是可以表示成无穷个正弦及余弦函数之和的形式。这个正弦和余弦函数的系列称为的形式。这个正弦和余弦函数的系列称为傅里叶级数傅里叶级数。若周期函数若周期函数 x(t)的周期为的周期为 T，满足狄里赫利条件，即：，满足狄里赫利条件，即：（1）在一个周期内，只存在有限数目的极大值和极小值；）在一个周期内，只存在有限数目的极大

12、值和极小值；（2）只存在有限个不连续点；）只存在有限个不连续点；（3）在不连续点取值有界，即函数绝对可积。）在不连续点取值有界，即函数绝对可积。则此周期函数可以表示为傅里叶级数的三角函数形式则此周期函数可以表示为傅里叶级数的三角函数形式 在工程测试中常见的周期信号（即周期函数）一般都满足狄里赫利在工程测试中常见的周期信号（即周期函数）一般都满足狄里赫利条件。条件。为了显示出傅里叶级数在工程应用中所具有的物理意义，可将傅里为了显示出傅里叶级数在工程应用中所具有的物理意义，可将傅里叶级数的三角函数写成只包含正弦项或只包含余弦项的形式。如果令叶级数的三角函数写成只包含正弦项或只包含余弦项的形式。如果

13、令 傅里叶级数的三角函数可简化为傅里叶级数的三角函数可简化为6.2.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 由由 可以看出，周期信可以看出，周期信号是由无限个不同频率的谐波分量叠加而成的。各次谐波的幅值和初相号是由无限个不同频率的谐波分量叠加而成的。各次谐波的幅值和初相位分别由位分别由 An和和 n 决定。当决定。当 n=1时，时，A1cos(0t+1)称为称为信号的一次谐波信号的一次谐波（基波）分量（基波）分量，0 称为称为基波角频率基波角频率。其余各次统称为高次谐波。其余各次统称为高次谐波。n=2，称为称为二次谐波二次谐波；n=3，称为，称为三次谐波三次谐波，依此类推。，依此类推。由于幅值由于幅

14、值 An和初相位和初相位n 均为角频率均为角频率=n0 的函数，以角频率为横的函数，以角频率为横坐标，以幅值坐标，以幅值 An 或初相位或初相位 n为纵坐标所作的图形统称为为纵坐标所作的图形统称为频谱频谱，An图称为图称为幅频谱幅频谱，n图称为图称为相频谱相频谱。An 表示信号所具有的谐波分量表示信号所具有的谐波分量的幅值；的幅值；n 是各次谐波分量在时间原点处所具有的相位。幅值谱和相是各次谐波分量在时间原点处所具有的相位。幅值谱和相位谱结合起来便确定了信号各次谐波的波形。位谱结合起来便确定了信号各次谐波的波形。下图所示是从一个装有两个偏心转子的轴上测取的加速度信号下图所示是从一个装有两个偏心

15、转子的轴上测取的加速度信号 x(t)。在其频谱图上清楚地显示了每个转子引起的振动强度。在其频谱图上清楚地显示了每个转子引起的振动强度。（a）周期信号的时间历程）周期信号的时间历程 （b）周期信号的频谱）周期信号的频谱 例例6-1 求下（求下（a）图所示的周期性矩形波的傅里叶级数表示，并画出其）图所示的周期性矩形波的傅里叶级数表示，并画出其幅频谱。幅频谱。解解：该波形在一个周期内的数学表达式为该波形在一个周期内的数学表达式为根据式根据式 可知，可知，a0=0，an=0，bn=代入傅里叶级数的三角函数可得代入傅里叶级数的三角函数可得傅里叶级数傅里叶级数幅频谱幅频谱6.2.4 复数形式的傅里叶级数复

16、数形式的傅里叶级数 傅里叶级数也可以表示成复指数形式的展开式。根据欧拉公式傅里叶级数也可以表示成复指数形式的展开式。根据欧拉公式则傅里叶级数的三角函数可转换为则傅里叶级数的三角函数可转换为 Cn 表示周期信号表示周期信号 的复振幅，称为的复振幅，称为傅里叶系数傅里叶系数。根据。根据 ，nn0(n=0，1，2)的函数关系，可画出复数形式的傅里叶频谱图，的函数关系，可画出复数形式的傅里叶频谱图，不过它同三角形式的傅里叶频谱图在形式上有所不同，这是由于描述谐波不过它同三角形式的傅里叶频谱图在形式上有所不同，这是由于描述谐波分量的数学方法不同而造成的，没有什么本质差别。分量的数学方法不同而造成的，没有

17、什么本质差别。例如，一个余弦信号例如，一个余弦信号它在三角形式的傅里叶级数中仅有一项，即它在三角形式的傅里叶级数中仅有一项，即 n=1，故其谱线只有一条，如，故其谱线只有一条，如图图(a)所示，而用复数表示同一信号时，有所示，而用复数表示同一信号时，有故它有两条谱线：故它有两条谱线：n=1，如，如(b)图所示。图所示。（a）（b）特别需要指出的是，将一个周期信号展开成复数形式的傅里叶级数特别需要指出的是，将一个周期信号展开成复数形式的傅里叶级数后，其频谱图上出现了负频率。频率表示每秒钟的变化次数，它不可能后，其频谱图上出现了负频率。频率表示每秒钟的变化次数，它不可能是负值。由于用复数表示可以得

18、到简练的复数形式的傅里叶级数，此时是负值。由于用复数表示可以得到简练的复数形式的傅里叶级数，此时允许允许n 取负整数，于是出现了所谓的负频率取负整数，于是出现了所谓的负频率。在这种形式下，在这种形式下，n单独取正数或单独取负数都不能构成一个谐波分单独取正数或单独取负数都不能构成一个谐波分量，只有量，只有 n=k 和和 n=k 两项之和才能表示第两项之和才能表示第 k项。由此可见，负频率的项。由此可见，负频率的引入仅仅是在将正余弦函数变成一对指数函数的过程中为缩短式子长度引入仅仅是在将正余弦函数变成一对指数函数的过程中为缩短式子长度而采取的一种数学手段。而采取的一种数学手段。复数形式的傅里叶级数

19、除了可用幅频图和相频图表示外，也可以分复数形式的傅里叶级数除了可用幅频图和相频图表示外，也可以分别以别以 的实部和虚部与频率的关系作图表示。的实部和虚部与频率的关系作图表示。（a）（b）由式由式 可知，单边谱线的高度为双边谱线可知，单边谱线的高度为双边谱线的两倍，在数据处理中常按此关系将它们相互转化。的两倍，在数据处理中常按此关系将它们相互转化。(a)图中的频谱仅在图中的频谱仅在 的一边有的一边有谱线，称作谱线，称作单边谱单边谱。(b)图中的频图中的频谱两边都有谱线，称作谱两边都有谱线，称作双边谱双边谱。由于由于 与与 是一对共轭复数，其模相是一对共轭复数，其模相等，所以双边谱对称于等，所以双

20、边谱对称于 轴。轴。例例6-2 求右图所示的周期性三角波的幅频谱。求右图所示的周期性三角波的幅频谱。周期三角波周期三角波 解解：x(t)在一个周期中可表达为在一个周期中可表达为因因 x(-t)=x(t)，故，故 x(t)是偶函数，是偶函数，bn=0。其幅频谱（单边谱）如图其幅频谱（单边谱）如图(a)所示。所示。（a）若用复数形式表示，则根据若用复数形式表示，则根据可求得如图可求得如图(b)所示的幅频谱（双边谱）。所示的幅频谱（双边谱）。（b）（a）通过以上例题可以看出，周期信号有以下几个特点：通过以上例题可以看出，周期信号有以下几个特点：（1）周期信号的频谱是由无限多条离散谱线组成的，每一条谱

21、线）周期信号的频谱是由无限多条离散谱线组成的，每一条谱线（单边谱）代表一个谐波分量。（单边谱）代表一个谐波分量。（2）各次谐波的频率只能是基波频率的整数倍。）各次谐波的频率只能是基波频率的整数倍。（3）谱线的高度表示了相应谐波分量的幅值大小。对于工程中常见）谱线的高度表示了相应谐波分量的幅值大小。对于工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随着谐波次数的增高而减小。当谐的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随着谐波次数的增高而减小。当谐波次数无限增高时，其幅值就趋于零。波次数无限增高时，其幅值就趋于零。以上三个特点分别称为周期信号频谱的以上三个特点分别称为周期信号频谱的离散性离散性、谐波性谐波性和

22、和收敛性收敛性。进一步分析还可发现，信号波形越接近于正弦波，其谱线越稀。信进一步分析还可发现，信号波形越接近于正弦波，其谱线越稀。信号波形与正弦波相差越大，特别是当信号含有脉冲性突变时，其谐波成号波形与正弦波相差越大，特别是当信号含有脉冲性突变时，其谐波成分就越丰富。另外，信号波形越接近于正弦波，幅值下降越快。分就越丰富。另外，信号波形越接近于正弦波，幅值下降越快。例如，例如，谐波幅值大于基波幅值的谐波幅值大于基波幅值的2%的谐波分量，矩形波有的谐波分量，矩形波有25个，全波整流信号个，全波整流信号有有6个，三角波仅有个，三角波仅有4个。个。由此可知，对于工程中遇到的大多数周期信号，可以忽略那

23、些次数由此可知，对于工程中遇到的大多数周期信号，可以忽略那些次数过高的谐波分量，用有限个谐波之和来代替傅里叶级数中的无限多项，过高的谐波分量，用有限个谐波之和来代替傅里叶级数中的无限多项，而不会引起太大的误差。从基波开始，到还需要考虑的最高谐波分量的而不会引起太大的误差。从基波开始，到还需要考虑的最高谐波分量的频率间的频段，称为频率间的频段，称为信号的频带宽度信号的频带宽度，这在选用仪器时要格外注意。，这在选用仪器时要格外注意。6.3 非周期信号及其频谱非周期信号及其频谱6.3.1 傅里叶积分傅里叶积分 非周期信号是指在时域上不按周期重复出现，但仍可用准确的解析数非周期信号是指在时域上不按周期

24、重复出现，但仍可用准确的解析数学关系表达的信号。非周期信号包括学关系表达的信号。非周期信号包括准周期信号准周期信号和和瞬变非周期信号瞬变非周期信号两种。两种。复杂周期信号可以用傅里叶级数展开成多项以至无限项正（余）弦复杂周期信号可以用傅里叶级数展开成多项以至无限项正（余）弦谐波信号之和，其频谱具有离散性。反之，几个正（余）弦信号叠加是谐波信号之和，其频谱具有离散性。反之，几个正（余）弦信号叠加是否一定是周期函数，这主要取决于组成此信号的各正（余）弦信号的频否一定是周期函数，这主要取决于组成此信号的各正（余）弦信号的频率之比。如果组成信号的各正（余）弦信号的频率比是有理数，那么就率之比。如果组成

25、信号的各正（余）弦信号的频率比是有理数，那么就可以找到它们之间的公共周期，这些正（余）弦信号合成后仍为周期信可以找到它们之间的公共周期，这些正（余）弦信号合成后仍为周期信号，因为经过公共周期后又会重演原来信号。号，因为经过公共周期后又会重演原来信号。1准周期信号准周期信号 但若各正（余）弦信号的频率比不是有理数，例如但若各正（余）弦信号的频率比不是有理数，例如 x(t)=sin0t+sin20t，各正（余）弦信号间找不到公共的周期，它们在合成，各正（余）弦信号间找不到公共的周期，它们在合成后不可能经过某一周期重复，所以合成后不可能是一个周期信号。但是后不可能经过某一周期重复，所以合成后不可能是

26、一个周期信号。但是这样的一种信号在频域表达上却是离散频谱，这种信号称为这样的一种信号在频域表达上却是离散频谱，这种信号称为准周期信号准周期信号。在工程技术领域内，不同的相互独立振源对某对象的激振而形成的振动在工程技术领域内，不同的相互独立振源对某对象的激振而形成的振动往往是属于这一类的信号。往往是属于这一类的信号。2瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 瞬变非周期信号是指除准周期信号以外的非周期信号。通常所说的非周瞬变非周期信号是指除准周期信号以外的非周期信号。通常所说的非周期信号就是指这种信号期信号就是指这种信号。常见的瞬变非周期信号如下图所示常见的瞬变非周期信号如下图所示。根据

27、定义，非周期信号不能按傅里叶级数分解成许多正（余）弦谐根据定义，非周期信号不能按傅里叶级数分解成许多正（余）弦谐波之和。但为了了解其频域描述，可以通过援引周期信号的方法加以解波之和。但为了了解其频域描述，可以通过援引周期信号的方法加以解决，即将一非周期信号仍当作周期信号处理，认为其周期趋于无穷大。决，即将一非周期信号仍当作周期信号处理，认为其周期趋于无穷大。如设如设 x(t)为周期信号，其频谱应为离散的。当认为为周期信号，其频谱应为离散的。当认为 x(t)的周期趋于无的周期趋于无穷大时，则该信号即成为非周期信号。从频谱图可以看出，周期信号频穷大时，则该信号即成为非周期信号。从频谱图可以看出，周

28、期信号频谱谱线的频率间隔谱谱线的频率间隔=0=2/T，当周期，当周期 T 趋于无穷大时，其频率间隔趋趋于无穷大时，其频率间隔趋于无穷小，所以非周期信号的频谱应该是连续的。如周期信号于无穷小，所以非周期信号的频谱应该是连续的。如周期信号 x(t)在在(-T/2，T/2)区间内，傅里叶展开式为区间内，傅里叶展开式为其中其中 将将 Cn 代入上式，得代入上式，得 式中，式中，n 取整数取整数0，1，2，因而各谐波频率，因而各谐波频率 n0只能取离散值；只能取离散值；相邻谐波谱线间的频率增量相邻谐波谱线间的频率增量=(n+1)0n0=0=2/T，于是上式可，于是上式可写成写成 当信号的周期当信号的周期

29、 T 不断增大时，谱线间的频率增量不断增大时，谱线间的频率增量 不断减小，即谱不断减小，即谱线变得愈来愈密。若线变得愈来愈密。若 T ，则，则 0，原来只能取离散值的谐波频率，原来只能取离散值的谐波频率 n0变为可连续取值的连续变量变为可连续取值的连续变量 0。不仅如此，而且原来在频谱图上代。不仅如此，而且原来在频谱图上代表谐波幅值的谱线高度的含义也发生了本质的变化。表谐波幅值的谱线高度的含义也发生了本质的变化。在数学上，在数学上，T 就意味着上式中就意味着上式中 ，d，于是于是将将 =2f 代入上式得代入上式得 这样就避免了在傅里叶变换中出现这样就避免了在傅里叶变换中出现 的常数因子，使公式

30、简化。式的常数因子，使公式简化。式 称为称为傅里叶积分傅里叶积分，其存在条件为：，其存在条件为：（1）在有限区间上满足狄里赫条件；在有限区间上满足狄里赫条件；（2）积分）积分 收敛，即收敛，即 在无限区间上绝对可积。在无限区间上绝对可积。周期信号可以通过傅里叶级数分解成为无限多项谐波的代数和。与周期信号可以通过傅里叶级数分解成为无限多项谐波的代数和。与此类似，非周期信号则可通过傅里叶积分此类似，非周期信号则可通过傅里叶积分“分解分解”成成“无限多项谐波无限多项谐波”的积分和。从所起的作用看，傅里叶积分与傅里叶级数类似。的积分和。从所起的作用看，傅里叶积分与傅里叶级数类似。6.3.2 傅里叶变换

31、与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱 在式在式 括号里的积分中，括号里的积分中，t是积分变是积分变量，因此积分的结果是一个以频率量，因此积分的结果是一个以频率f为自变量的函数，记作为自变量的函数，记作 此式称为函数此式称为函数 x(t)的傅里叶变换（的傅里叶变换（FT）。傅里叶变换是把时域函数）。傅里叶变换是把时域函数 x(t)变换为频域函数变换为频域函数 X(f)的桥梁，其功能与式的桥梁，其功能与式 类类似，只是似，只是 中的自变量中的自变量 只能跳变取离散值，而只能跳变取离散值，而 中中 可连续取值。可连续取值。傅里叶级数是离散的叠加，其谐波中存在着一个基本频率傅里叶级数是离散的

32、叠加，其谐波中存在着一个基本频率 0，其余，其余频率是频率是 0 的整数倍，所以叠加的结果是一个周期为的整数倍，所以叠加的结果是一个周期为 T(T=2/0)的信号。的信号。而傅里叶变换则是而傅里叶变换则是“连续的叠加连续的叠加”，虽然叠加的每一项，虽然叠加的每一项 X(f)ej2ftdf 都可都可看作周期函数（周期为看作周期函数（周期为 1/f），但不存在什么基本频率，因而叠加的结果），但不存在什么基本频率，因而叠加的结果必然是非周期信号。必然是非周期信号。傅里叶反变换（傅里叶反变换（IFT）公式为）公式为 它把经过傅里叶变换后得到的频域它把经过傅里叶变换后得到的频域 再变成时域函数。由此可知

33、，傅再变成时域函数。由此可知，傅里叶变换与傅里叶反变换构成一对傅里叶变换对，即里叶变换与傅里叶反变换构成一对傅里叶变换对，即 更为重要的是，更为重要的是，X(f)ej2ftdf 是一个无穷小量，它表示非周期信号是一个无穷小量，它表示非周期信号 x(t)在频率等于在频率等于 f 处的谐波分量的幅值趋近于零。只有在一定的频带内，该谐处的谐波分量的幅值趋近于零。只有在一定的频带内，该谐波分量才具有一定的大小。由此可知，非周期信号波分量才具有一定的大小。由此可知，非周期信号 x(t)的傅里叶变换的傅里叶变换 X(f)本身并不能代表谐波分量的幅值，只有在一定频带内对频率本身并不能代表谐波分量的幅值，只有

34、在一定频带内对频率 f 积分后积分后才含有幅值意义。从量纲上看，才含有幅值意义。从量纲上看，X(f)df 具有幅值的量纲，而具有幅值的量纲，而 则具有幅值则具有幅值/频率的量纲，或称单位频率上的幅值，即有分布密度的频率的量纲，或称单位频率上的幅值，即有分布密度的含义，故称含义，故称 X(f)为信号为信号 x(t)的的频谱密度频谱密度。由此看来，非周期信号的频谱具。由此看来，非周期信号的频谱具有两大特点：有两大特点：连续性连续性和和密度性密度性。因此，非周期信号的频谱应叫频谱密度，。因此，非周期信号的频谱应叫频谱密度，不过习惯上仍称频谱。不过习惯上仍称频谱。周期函数的傅里叶系数是一个复数。非周期

35、信号周期函数的傅里叶系数是一个复数。非周期信号 x(t)的傅里叶变换的傅里叶变换 X(f)是一个以实变量是一个以实变量 f 为自变量的复变函数，它可表示为为自变量的复变函数，它可表示为 由于由于 所以所以 X(f)与与 X(-f)是一对共轭复数，其模相等。因此是一对共轭复数，其模相等。因此 X(f)f 曲线对称曲线对称于纵轴，如图于纵轴，如图(a)所示，并称为所示，并称为双边谱双边谱。为了在工程上应用方便，把负频。为了在工程上应用方便，把负频率半边的谱图折算到正频率半边而得到单边谱，如图率半边的谱图折算到正频率半边而得到单边谱，如图(b)所示，此时的谱所示，此时的谱图高度为双边谱的图高度为双边

36、谱的2倍。倍。（a）双边谱）双边谱（b）单边谱）单边谱 图图(b)中的阴影面积（即幅值谱密度在中的阴影面积（即幅值谱密度在 f 区间上的积分）表示非周期区间上的积分）表示非周期信号的信号的 f 频带上的谐波分量的幅值，而频率恰好等于频带上的谐波分量的幅值，而频率恰好等于 fn 的谐波分量幅值的谐波分量幅值为零。可见非周期信号的谐波分量是依一定密度分散在为零。可见非周期信号的谐波分量是依一定密度分散在 0 的连续频带的连续频带内的，而周期信号的谐波分量则是依一定规律集中在一些离散的频率上。内的，而周期信号的谐波分量则是依一定规律集中在一些离散的频率上。例例6-3 求下图所示的单个矩形脉冲的频谱，

37、其中求下图所示的单个矩形脉冲的频谱，其中单个矩形脉冲单个矩形脉冲 解解：u(t)设设 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 U(f)，由傅里，由傅里叶变换的定义得叶变换的定义得相应的频谱如右图所示。相应的频谱如右图所示。频谱频谱6.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 傅里叶变换是信号分析及处理中进行时间域和频率域之间变换的一傅里叶变换是信号分析及处理中进行时间域和频率域之间变换的一种基本数学工具。当信号在时间域中的变化规律改变后，其在频率域中种基本数学工具。当信号在时间域中的变化规律改变后，其在频率域中的变化规律也会对应改变；同样，当信号在频率域中的变化规律改变后，的变化规律也会对应改变；同样，

38、当信号在频率域中的变化规律改变后，其在时间域中的变化规律也会对应改变。这种改变的对应关系体现在傅其在时间域中的变化规律也会对应改变。这种改变的对应关系体现在傅里叶变换的性质中。里叶变换的性质中。傅里叶变换的主要性质有：奇偶虚实性、线性叠加性、对称性、时傅里叶变换的主要性质有：奇偶虚实性、线性叠加性、对称性、时移性、频移性、尺度改变性、卷积定理、微分特性和积分特性等。移性、频移性、尺度改变性、卷积定理、微分特性和积分特性等。性质时域频域奇偶虚实性实偶函数实偶函数实奇函数虚实函数虚偶函数虚偶函数虚奇函数实奇函数线性叠加对称尺度改变时移频移翻转共轭时域卷积频域卷积时域微分频域微分积分傅里叶变换的主要

39、性质傅里叶变换的主要性质6.3.4 几种特殊信号的频谱几种特殊信号的频谱1矩形窗函数及频谱矩形窗函数及频谱 一个在时域有限区间有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。在时域中，一个在时域有限区间有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。在时域中，若截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数乘积，根据傅里若截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数乘积，根据傅里叶变换的频域卷积特性，所得信号的频谱将是原信号频谱函数和叶变换的频域卷积特性，所得信号的频谱将是原信号频谱函数和 函数的卷函数的卷积，它将是连续的且频率无限延伸的频谱。积，它将是连续的且频率无限延伸的频谱。2单位脉冲函数（单位脉冲函

40、数（函数）及频谱函数）及频谱 （1）函数的定义函数的定义 在数学上，如果函数在数学上，如果函数 s(t)仅在区间仅在区间0，上具有脉上具有脉冲样图形（矩形脉冲、三角形脉冲等），并且此图形与冲样图形（矩形脉冲、三角形脉冲等），并且此图形与t 轴围成的面积为轴围成的面积为1，如右图所示，那么当脉冲宽度，如右图所示，那么当脉冲宽度 0时，函数时，函数 s(t)的极限称为的极限称为 函数函数。根据函数的定义不难看出根据函数的定义不难看出 函数有如下特点：函数有如下特点：在工程上，常在工程上，常将将 函数函数用一个高度等于用一个高度等于1的有向线段来表示，如下图的有向线段来表示，如下图所示，这个线段的高

41、度表示所示，这个线段的高度表示 函数的积分，亦称函数的积分，亦称 函数的强度（并非幅函数的强度（并非幅度值）。用这种方法表示的度值）。用这种方法表示的 函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数。（2）函数的采样性质函数的采样性质 若若 x(t)为一时域连续信号，则乘积为一时域连续信号，则乘积(t)x(t)仅在仅在 t=0 处得到处得到(t)x(0)，其余均为零，于是，其余均为零，于是 可见可见(t)与与 x(t)相乘后积分，其作用就是取出了信号相乘后积分，其作用就是取出了信号 x(t)在在 t=0 时时刻的一个值，刻的一个值，x(0)为一个采样点。为一个采样点。同样，对有延时的同样，对有延时的

42、 函数函数(t-t0)，其值仅在，其值仅在 t=t0 时刻才不为零，于时刻才不为零，于是是 此时，得到了此时，得到了 x(t)在在 t=t0 时刻的一个采样点时刻的一个采样点 x(t0)。在工程上，利用。在工程上，利用单位脉冲函数的概念，可将采样过程看成是信号与单位脉冲函数的简单单位脉冲函数的概念，可将采样过程看成是信号与单位脉冲函数的简单乘积。乘积。（3）函数的频谱函数的频谱 可见，时域的脉冲信号具有无限宽广的频谱，而且各频率上的信号可见，时域的脉冲信号具有无限宽广的频谱，而且各频率上的信号强度都相等。在信号的检测中，一般爆发电火花的地方（如雷电、火花强度都相等。在信号的检测中，一般爆发电火

43、花的地方（如雷电、火花塞等）都会对测试系统产生严重干扰，这是因为尖脉冲（类似塞等）都会对测试系统产生严重干扰，这是因为尖脉冲（类似 函数，能函数，能量均匀地分布在量均匀地分布在 的频带内）的高频部分以射频形式发射出来，对测试系的频带内）的高频部分以射频形式发射出来，对测试系统形成干扰的缘故。凡是频谱为常数的信号俗称统形成干扰的缘故。凡是频谱为常数的信号俗称白噪声白噪声。“白白”是由白是由白色光引申而来，意即白色的光谱频率丰富。色光引申而来，意即白色的光谱频率丰富。脉冲就是一种理想的白噪声。脉冲就是一种理想的白噪声。将将 函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数，即函数进行傅里叶变换，即可得到其频

44、谱函数，即 根据傅里叶变换的对称性、时移性和频移性等，可得到下列傅里叶根据傅里叶变换的对称性、时移性和频移性等，可得到下列傅里叶变换对变换对:（4）函数与其他函数的卷积函数与其他函数的卷积 在函数卷积运算中，若其中有一个函数是在函数卷积运算中，若其中有一个函数是 函函数，则运算极为简便。例如，若数，则运算极为简便。例如，若U(f)为右图所示矩为右图所示矩形函数，形函数，(f)=(f-fs)+(f+fs)为在频率轴上的两个为在频率轴上的两个单位脉冲函数，则其卷积单位脉冲函数，则其卷积 根据根据 函数的采样性质函数的采样性质:所以所以 由此得出一个重要结论：任意函数和由此得出一个重要结论：任意函数

45、和 函数的卷积，就是简单地将函数的卷积，就是简单地将该函数在自己的横轴上平移到该函数在自己的横轴上平移到 函数所对应的位置。此结论对时域函数函数所对应的位置。此结论对时域函数同样适用。同样适用。3周期性单位脉冲序列及频谱周期性单位脉冲序列及频谱 等间隔周期性单位脉冲序列的周期为等间隔周期性单位脉冲序列的周期为 Ts，如右图所示。它的数学表达式为如右图所示。它的数学表达式为 周期单位脉冲序列周期单位脉冲序列 若用傅里叶级数表示，则若用傅里叶级数表示，则所以所以 由下图所示的频谱图可以看出，时域中周期为由下图所示的频谱图可以看出，时域中周期为 Ts 的脉冲序列在频域的脉冲序列在频域中仍是周期为中仍

46、是周期为 1/Ts 的脉冲序列，其幅值为时域中脉冲幅值的的脉冲序列，其幅值为时域中脉冲幅值的 1/Ts 倍。倍。根据傅里叶变换对根据傅里叶变换对 并对两端取傅里叶变换，即得并对两端取傅里叶变换，即得 n(t)的频谱的频谱频谱频谱 用计算机进行信号分析时，首先要将连续的模拟信号用计算机进行信号分析时，首先要将连续的模拟信号 x(t)变为一连变为一连串离散的时间序列。以数字量的形式存入到一个个内存单元中，然后进串离散的时间序列。以数字量的形式存入到一个个内存单元中，然后进行各种计算。为了实现这一过程，可先用行各种计算。为了实现这一过程，可先用 n(t)与与 连续信号连续信号 x(t)相乘。相乘。根

47、据根据 函数的采样性质可知，相乘后便得到一离散的时间序列。函数的采样性质可知，相乘后便得到一离散的时间序列。由此看来，周期性单位脉冲序列由此看来，周期性单位脉冲序列 n(t)在数学上具有采样功能，因在数学上具有采样功能，因此又称此又称采样函数采样函数。相应地，。相应地，Ts 称采样间隔，也称采样周期，其倒数称采样间隔，也称采样周期，其倒数 1/Ts=fs 称采样频率。称采样频率。4正（余）弦函数及频谱正（余）弦函数及频谱 由于正（余）弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接应用傅里叶由于正（余）弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接应用傅里叶积分变换式，而需在傅里叶变换时引入积分变换式，而需在傅

48、里叶变换时引入 函数。函数。根据欧拉公式，正（余）弦函数可写成根据欧拉公式，正（余）弦函数可写成 由傅里叶变换对即可求得正、余弦函数的傅里叶变换，如下图所示。由傅里叶变换对即可求得正、余弦函数的傅里叶变换，如下图所示。6.4 数字信号分析与处理数字信号分析与处理6.2.1 信号的数字化信号的数字化 数字处理的特点是处理离散数据，因此首先要把连续信号采样成离散数字处理的特点是处理离散数据，因此首先要把连续信号采样成离散的时间序列。由于传感器所测试的大多数物理过程本质上仍是连续的，所的时间序列。由于传感器所测试的大多数物理过程本质上仍是连续的，所以总是有一个采样过程。这一过程把连续信号改变成等间隔

49、的离散时间序以总是有一个采样过程。这一过程把连续信号改变成等间隔的离散时间序列，其幅值也经过量化。列，其幅值也经过量化。此外，数字计算机不管怎样快速，其容量和计此外，数字计算机不管怎样快速，其容量和计算速度毕竟有限，因而处理的数据长度是有限的，信号必须要经过截断，算速度毕竟有限，因而处理的数据长度是有限的，信号必须要经过截断，这样数字信号处理就必然引入一些误差。这样数字信号处理就必然引入一些误差。大部分传感器的输出信号都是随时间连续变化的模拟电量，若要采大部分传感器的输出信号都是随时间连续变化的模拟电量，若要采用数字式处理，则需要将连续模拟量转换成离散数字量，这可利用模用数字式处理，则需要将连

50、续模拟量转换成离散数字量，这可利用模/数数转换装置（转换装置（A/D转换器）来实现。转换器）来实现。数字信号处理系统的简单框图，如下图所示数字信号处理系统的简单框图，如下图所示。A/D转换器的输入量为模拟信号转换器的输入量为模拟信号A和模拟参考信号和模拟参考信号R，而输出量是数字，而输出量是数字编码信号编码信号D（一般是按二进制编码）。（一般是按二进制编码）。A、R 和和D之间的关系可表示为之间的关系可表示为 式中的恒等式和中括号的含义是：在数字能够表示的最精确的范围内，式中的恒等式和中括号的含义是：在数字能够表示的最精确的范围内，D是最接近是最接近 A/R的值。的值。A/D转换的实现要经过转