35-第三章习题课(概率统计).ppt

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1、第三章第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布习题课习题课三三上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回习题课三归纳第三章的概念、理论与方法等内容，习题课三归纳第三章的概念、理论与方法等内容，在在“例题分类解析例题分类解析”部分，讲解了：部分，讲解了：1.二维随机变量及其分布的概念及性质；二维随机变量及其分布的概念及性质；2.二维离散型随机变量的分布律；二维离散型随机变量的分布律；3.二维连续型随机变量的分布函数；二维连续型随机变量的分布函数；4.边缘分布律与条件分布边缘分布律与条件分布律律;5.随机变量落入平面区域内的概率计算；随机变量落入平面区域内的概率计算；6.两个随机变量的

2、独立性的判定；两个随机变量的独立性的判定；7.两个随机变量函数的概率分布两个随机变量函数的概率分布.三、学习与研究方法三、学习与研究方法.习题课三内容简介：习题课三内容简介：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本章重点：本章重点：1.二维随机变量分布函数的概念和性质；二维随机变量分布函数的概念和性质；2.边缘分布的概念；边缘分布的概念；3.条件分布的概念；条件分布的概念；4.随机变量的独立性；随机变量的独立性；5.简单随机变量函数的概率分布简单随机变量函数的概率分布.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本章难点：本章难点：1.二维连续型随机变量的概率计算；二维连续型随机

3、变量的概率计算；2.连续型随机变量边缘概率密度的计算；连续型随机变量边缘概率密度的计算；3.随机变量的独立性的判定和应用问题；随机变量的独立性的判定和应用问题；4.简单随机变量函数的概率分布的计算简单随机变量函数的概率分布的计算.一、一、主要内容归纳主要内容归纳1.分布函数分布函数F(x,y)及其性质及其性质上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回表表3-1二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)及其性质及其性质上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为性质性质:(1)0;(2)分

4、布函数分布函数:表表3-2二维离散型随机变量及其性质二维离散型随机变量及其性质2.二维离散型随机变量及其性质二维离散型随机变量及其性质上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回表表3-3二维连续型随机变量及其性质二维连续型随机变量及其性质设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y).性质性质:(1)f(x,y)0;(2)(3),(x,y)为为f(x,y)的连续点的连续点;(4)分布函数分布函数:3.二维连续型随机变量及其性质二维连续型随机变量及其性质上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回离离散散型型随随机机变变量量二维随机变量二维随机变

5、量(X,Y)关于关于X的边缘分布律为的边缘分布律为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于Y的边缘分布律为的边缘分布律为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于X的边缘分布函数为的边缘分布函数为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于Y的边缘分布函数为的边缘分布函数为表表3 3-4 4边边缘缘分分布布4.二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于X

6、的边缘分布函数为的边缘分布函数为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于Y的边缘分布函数为的边缘分布函数为连连续续型型随随机机变变量量上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回5.二维随机变量的条件分布表表3-5条件分布条件分布离离散散随随机机变变量量二维随机变量二维随机变量(X,Y)在条件在条件下下X的条件的条件分布律为分布律为二维随机变量二维随机变量(X,Y)在条件在条件下下Y的条件的条件分布律为分布律为xiX=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二维随机变量二维随机变量(X,Y)在条件在条件Y=y下下X的条件概率的条件概率密度为密度为条件分布函数为条件分布函数为 二维

7、随机变量二维随机变量(X,Y)在条件在条件X=x下下Y的条件概率的条件概率密度为密度为条件分布函数为条件分布函数为连连续续型型随随机机变变量量 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3-6随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量随机变量X与与Y相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是:f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立在平面上几乎处处成立,其中其中f(x,y),fX(x),fY(y)分别是分别是(X,Y)的概率的概率密度和边缘密度密度和边缘密度.连续型随连续型随机变量机变量随机变量随机变量X与与Y相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是:对于对于(

8、X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj)均成立均成立.离散型随离散型随机变量机变量若对任意的数若对任意的数x,y,满足满足F(x,y)=Fx(x)FY(y),则称随机变量则称随机变量X与与Y相互独立相互独立.其中其中F(x,y),FX(x),FY(y)分别是分别是(X,Y)的分布函数及边的分布函数及边缘分布函数缘分布函数.定义定义6.随机变量的独立性随机变量的独立性上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回表表3-7常见两个随机变量函数的分布常见两个随机变量函数的分布设设X,Y为连续型随机变量为连续型随机变量,Z=X+Y的分布函数为的分布函数为Z 设设X,Y为离散型随机变量为离

9、散型随机变量,Z=X+Y的分布律为的分布律为或或 Z=X+Y 7.简单随机变量函数的分布上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回N的分布函数为的分布函数为 ，其中其中X,Y相互独立相互独立.N=minX,Y M的分布函数为的分布函数为其中其中X,Y相相互独立互独立.M=maxX,YZ=X+Y的概率密度为的概率密度为若若X,Y相互独立相互独立,则有则有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回8.重要结论重要结论表表3-8重要结论重要结论1.二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布分布,而且都不依赖于参数而且都不依赖于参数.2.一般地一般地,

10、单由关于单由关于X和和Y的边缘分布不能唯一的边缘分布不能唯一确定确定X和和Y的联合分布的联合分布.3.对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量(X,Y),X和和Y相互独立相互独立的充要条件是参数的充要条件是参数=0.4.有限个相互独立的正态随机变量的线性组合有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 9.重要二维分布及其性质重要二维分布及其性质表表3-9重要二维分布及其性质重要二维分布及其性质二维随机变量二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为其中其中SG表示平面区域表示平面区域G的面积的面积.均均匀匀分分布布

11、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二维随机变量二维随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度 其中其中 .记作记作二维正态分布的性质二维正态分布的性质:1.2.正正态态分分布布 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、例题分类解析二、例题分类解析1.二维随机变量及其分布的概念和性质二维随机变量及其分布的概念和性质例例1设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为求求:(1)常数常数A,B,C;(2)(X,Y)的概率密度的概率密度.解解(1)由分布函数的性质有由分布函数的性质有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回令令x=0,y=0,由此解得由此

12、解得故有故有(2)(X,Y)的概率密度为的概率密度为注：注：本题考查了分布函数的性质在确定其表达式中本题考查了分布函数的性质在确定其表达式中待定参数的应用待定参数的应用,考查了分布函数和概率密度之间的考查了分布函数和概率密度之间的运算关系运算关系.求分布函数表达式中的待定常数是一个常求分布函数表达式中的待定常数是一个常见问题见问题.此例的解法具有通用性此例的解法具有通用性.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律设某班车起点站上客人数设某班车起点站上客人数X服从服从参数为参数为的泊松分布的泊松分布,每位乘客中途每位乘客中途下车的概

13、率为下车的概率为p(0p1且且y1时时,有有(3)当当0 x1且且0y1时时,有有x,Yy=在计算中应注意区域的划分和在计算中应注意区域的划分和f(x,y)的的分分段表段表达式达式.(1)当当x0或或y1时时,有有(5)当当x1且且0y1时时,有有故故X和和Y的联合分布函数为的联合分布函数为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.边缘分布律和条件分布律边缘分布律和条件分布律例例5设随机变量设随机变量X和和Y相互独立相互独立,下表列下表列出了二维随机变量出了二维随机变量(X,Y)的分布律及其关于的分布律及其关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值的边缘分布律中的部分数值,试将其余数试将其

14、余数值填入表中空白处值填入表中空白处.1 x2x1y3y2y1YX上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解所以有所以有首先首先,由于由于在此基础上利用在此基础上利用X和和Y的独立性的独立性,有有于是于是再次再次,利用利用X和和Y的独立性的独立性,有有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回于是于是最后最后,利用利用X和和Y的独立性的独立性,有有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回因此得到下表因此得到下表y3y2y1x1 YX1x2上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例6设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在圆域在圆域x2+y21上服从均匀分布上服

15、从均匀分布.求求:(1)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度;(2)条件概率密度条件概率密度.分析分析由于由于(X,Y)服从均匀分布服从均匀分布,所以所以上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解由题设知由题设知,(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为(1)当当x1时时,由于由于f(x,y)=0,所以所以上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回当当-1x1时时,于是关于于是关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为利用对称性利用对称性,可得关于可得关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(2)因为因为,注意到当注意到当时时

16、,f(x,y)才不为零才不为零,时时,有有因此因此,当当上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回类似地类似地,可以求得在条件可以求得在条件“X=x”下下,当当-1x1时时Y的条件概率密度的条件概率密度.即在条件即在条件“Y=y”下下,当当-1y1时时X的条件概率的条件概率密度为密度为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回5.随机变量落入平面区域内的概率随机变量落入平面区域内的概率例例7已知随机变量已知随机变量X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为求求PXY.解解由概率密度求概率的计算公式由概率密度求概率的计算公式,可得可得练习练习:计算概率计算概率P2X+1Y,PX+Y0的

17、指数分布的指数分布.当三个元件都无故障时电路正常工作当三个元件都无故障时电路正常工作,否则整否则整个电路不能正常工作个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时试求电路正常工作的时间间T 的概率分布的概率分布.记记Xi(i=1,2,3)表示第表示第i个元件无故个元件无故障工作时间障工作时间,则则T=minX1,X2,X3.实际上可以看实际上可以看作三个元件串联时构成的电路系统作三个元件串联时构成的电路系统.分析分析上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回记记Xi(i=1,2,3)表示第表示第i个元件无故障个元件无故障工作的时间工作的时间,则则X1,X2,X3相互独立同分布相互独立同分布,其

18、分其分布函数为布函数为解解设设T的分布函数为的分布函数为G(t).由于由于T=minX1,X2,X3,当当t0时时,t当当t0时时,G(t)=0;所以所以上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回故故即即T服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布.求随机变量求随机变量Z=X+2Y的分布函数的分布函数.例例14设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)当当z0时，时，,F(z)=0;因联合概率密度已知因联合概率密度已知,只需只需按分布函数的定义计算即可按分布函数的定义计算即可.分析分析解解Z的分布函数为的分布函数为

19、z=(2)当当z0时时,故故上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例15设随机变量设随机变量X,Y 相互独立相互独立,其概率其概率密度分别为密度分别为求随机变量求随机变量的概率密度的概率密度.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由于随机变量由于随机变量X,Y相互独立相互独立,所以所以(X,Y)的概率密度为的概率密度为由于随机变量由于随机变量X,Y相互独立相互独立,所以所以X,Y的联合概率密度易得的联合概率密度易得.这就变这就变成了求随机变量函数的分布问题成了求随机变量函数的分布问题.见例见例14题型题型.分析分析解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回Z的分

20、布函数为的分布函数为下面来计算这个二重积分下面来计算这个二重积分.(1)当当0时时,即即z0时时(参见图参见图3-2(a),FZ(z)=0.(2)当当01,即即0z2时时(参见图参见图3-2(b),(3)当当,即即z2时时(参见图参见图3-2(c),上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回因此因此图图3-2例例15积分区域积分区域(a)(b)(c)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以所以Z的概率密度为的概率密度为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回关于一维与多维问题关于一维与多维问题,这是一个基础与提这是一

21、个基础与提高的关系高的关系,是由简单到复杂的拓广与提升过程是由简单到复杂的拓广与提升过程.通常通常,一维所研究的问题是简单的基础的问题一维所研究的问题是简单的基础的问题,而类似的多维问题是对一维问题的扩充与加深而类似的多维问题是对一维问题的扩充与加深.三、学习与研究方法三、学习与研究方法对于一维随机变量对于一维随机变量,我们研究了分布函数、我们研究了分布函数、分布律和概率密度问题分布律和概率密度问题.在二维随机变量理论在二维随机变量理论中中,我们除了研究我们除了研究(联合联合)分布函数、分布函数、(联合联合)分布分布律、律、(联合联合)概率密度外概率密度外,又建立了边缘分布、边又建立了边缘分布

22、、边缘概率密度、条件分布和随机变量的独立性理缘概率密度、条件分布和随机变量的独立性理论论.一维与多维问题一维与多维问题四、作业布置四、作业布置P129：1、3、6.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大大连理连理工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习概率论与数理统计学习指指导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.概率论与数理统计概率论与数理统计教教案案作业与试卷作业与试卷.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.4王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实概率论与数理统计教学实验验教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：