数学史概论课件.ppt
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1、主讲:主讲:徐泽林徐泽林天津师范大学数学科学学院http:/ 2.1 2.1 希腊文明希腊文明 2.2 2.2 从泰勒斯到柏拉图学派从泰勒斯到柏拉图学派-论证数学的发端论证数学的发端第二章第二章 古代希腊数学古代希腊数学2.2.1 2.2.1 从泰勒斯到毕达哥拉斯学派从泰勒斯到毕达哥拉斯学派 2.2.2 2.2.2 雅典时期的希腊数学雅典时期的希腊数学 爱利亚学派爱利亚学派 诡辩学派诡辩学派 柏拉图学派柏拉图学派 亚里士多德学派亚里士多德学派 三大几何难题目三大几何难题目 关于无限的迷思关于无限的迷思 逻辑演绎结构的倡导逻辑演绎结构的倡导 2.3 2.3 亚历山大前期亚历山大前期-希腊数学的黄
2、金时代希腊数学的黄金时代 2.3.1 2.3.1 欧几里得欧几里得 2.3.2 2.3.2 阿基米德阿基米德2.3.3 2.3.3 阿波罗尼斯阿波罗尼斯 2.4 2.4 亚历山大后期与希腊数学的衰落亚历山大后期与希腊数学的衰落 海伦海伦 梅内劳斯梅内劳斯 托勒密托勒密 丢番图丢番图 帕波斯帕波斯 塞翁塞翁 2.1 2.1 2.1 2.1 希腊文明希腊文明2.22.2 从泰勒斯到柏拉图学派-论证数学的发端2.2.1 2.2.1 从泰勒斯到毕达哥拉斯学派从泰勒斯到毕达哥拉斯学派 (1)伊奥尼亚学派 从古代埃及、巴比伦的衰亡,到希腊文化的昌盛,这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊
3、商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸,它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚,氏族贵族政治为商人的统治所代替,商人具有强烈的活动性,有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争,帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭司阶层,也没有必须遵守的教条,因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教中分离开来。Thales of Miletus(2)泰勒斯 米利都是伊奥尼亚的最大城市,也是泰勒斯的故乡。泰勒斯生于公元前624年,是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人,曾游访巴比伦、埃及等地,很快就学会古代流传下来的知识,并加以
4、发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派,摆脱宗教,从自然现象中去寻找真理,以水为万物的根源.当时天文、数学和哲学是不可分的,泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测到一次日食,促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度,使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明,它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性,这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。泰勒斯是演绎几何学的鼻祖,开数学证明之先
5、河,据说他最先证明了如下的定理:1.圆被任一直径二等分;2.等腰三角形的两底角相等;3.两条直线相交,对顶角相等;4.半圆的内接三角形,一定是直角三角形;5.如果两个三角形有一条边以及这条边上的两个角对应相等,那么这两个三角形全等。泰勒斯在天文学方面也曾有不同凡响的工作,据说他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食。当时正值战争之际,泰勒斯向世人宣告,若不停战,到时天神震怒!到了那天下午,两派将士仍激战不已,霎时间,太阳在天空中消失,星辰闪烁,大地一片漆黑。双方将士见此景象,砍太阳神真的发怒了,要降罪于人类,于是立即罢兵休战,从此铸剑为犁,和睦相处。另据传说,泰勒斯醉心于钻研哲学与科学,且
6、可谓清贫守道,而遭市井嘲笑。他不以为然地说,君子爱财取之有道。他在对气候预测的基础上,估计来年油料作物会大丰收,于是垄断了米利都和开奥斯两地的所有油坊,到季节以高价出租。有了钱,科学研究可以做得更好。这两则传说,如果是真实的话,那么泰勒斯确实不愧于其墓碑上所镌刻的颂辞:“他是一位圣贤,又是一位天文学家,在日月星辰的王国里,他顶天立地、万古流芳。”不过,这也是一则传说,因为泰勒斯生活的年代离我们太久远了,没有确切可靠的资料。(3)毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯(今希腊东部小岛)。为了摆脱暴政,移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。
7、后来在政治斗争中遭到破坏,毕达哥拉斯被杀害,但他的学派还继续存在两个世纪(约公元前500前300)之久。毕达哥拉斯非常重视数学,企图用数来解释一切这个学派不仅仅认为万物都包含数,而且说万物都是数u这学派有一种习惯,就是一切发明都归功于学派的领认而且常常是秘而不宣所以后人很难知道究竞是谁在什么时候发明的PlutarchPlutarch(约46-120)的面积证明法a b b ab a b aa c c b b c bb c ca a c a毕达哥拉斯本人发现人所共知的“勾股定理”的时候,欢欣之情不可言状传说还宰了一百头牲畜来祭缪斯女神(Muses,神话中掌管文艺、科学的女神),以酬谢神的默示。勾
8、股定理早己为巴比伦人所知不过最早的证明,大概还应归功于毕达哥拉斯学派。有的学者猜想这证明是从研究垛积数(figuratenumbcr)的关系得出来的可惜证法已失传现在教科书所采用的面积证法,如欧几里得几何原本卷1的47题,是欧儿里得首先给出。有些古代学者如斯特技博(Strzbo,公元前6624年,希腊地理学家)说毕达哥拉斯曾在巴比伦学习过,有的甚至说他到过印度“他对数字的神秘观点类似早期的巴比伦,而整个暂学的气氛十分接近印度值得注意的是,勾股定理在毕达哥斯之前巴比伦等国都早已知道,和毕达哥拉斯有什么关系,有待进一步研究毕达哥拉斯学派特点之一,是将算术与几何紧密联系起如他们发现用丰个整数表示直角
9、三角形边长的一种公式:2n十1,2n2十2n分则是二直角边,则斜边是2 n22 n十1这公式届于算术,又属于几何。这学派又将自然数分为苦干类:奇数,偶数;奇数乘奇数,偶数乘偶数;素数,完全数奇数,偶数;奇数乘奇数,偶数乘偶数;素数,完全数(一个数等于除它本身以外的所有因子之和,如281十2十4十7十14);三角数(1,3,6,l0,);平方数(1,4,9,16,);五角数(I,5,12,22,35,5l,)等等又注意到连续的奇数和必为平方数1121十3221十3十5321十3十5十742这都和几何有关。希帕苏斯希帕苏斯 Hippasus(公元前公元前470年左右)年左右)是一个不可公度的数第一
10、次数学危机第一次数学危机不可公度量的发现自然数是一切的基础素数:数的原子不可公度:数的原子?根据勾股定理,导致了无理量的发现假设直角三角形是等腰的,直角边是1,那么弦是,它不可能用任何的“数”(有理数)表示出来,即直角边与弦是不可通约的这发现是毕达哥拉斯学派最卓越的功乾也是整个数学史上一项重大发现根据勾股定理,导致了无理量的发现假设直角三角形是等腰的,直角边是1,那么弦是,它不可能用任何的“数”(有理数)表示出来,即直角边与弦是不可通约的这发现是毕达哥拉斯学派最卓越的功乾也是整个数学史上一项重大发现。11abc无理数的发现无理数的发现x x、y y均为偶数均为偶数x、y互素112几何方面,他们
11、证明了平面可用正三角形、正方形或正六边形填满,空间可用立方体填满又知道正四面体、六面体、八面体和二十面体,并用这四种正多面休来表示火、风、土、水“四大元素”后来又发现了正十二洒性但没有相应的第五种元素,于是就用来代表宇宙全体这个学派在天文方面的贡献也不少首创地圆说,认为日、月、五星都是球形,悬在太空中,他们认为球是最完美的立体,圆是最完美的平面图。毕达哥拉斯还是音乐理论的始祖,他阐明了单弦的调和乐音与弦长的关系2.2.2 雅典时期的希腊数学(1)埃利亚学派德莫克里特(Democritus,JvA6xPc?oc,约公元前460357饲。:生于圆圆型(从der3,LlJ北剧他和他的老师旦茎坦(Le
12、uciPPu,Jc6KMn。e)是原子论学派的创始人倔度克利特不仅是数学家、哲学家,而且有关于物理、气象、动物和控学的丰富若作,是几乎达到百岁高龄的学者可惜他的书流传下来的很少他到过东方旅行,在埃及住过,并说自己在作闯和证明方面已超过了埃及的测量者(h“叩ed。“叩te)德漠克利特认为万物的始源只有两个原子与虚空“原子”(atom,拉丁文atomu3来自希腊文5?。A。s,是不可分割的思)是不可分的物质粒子,永远处于运动状态之中这种见解给宗教以毁灭性的打击在数学方面,德设克利特应用了原子的观点他认为线段、面积和立体,是由有限个不可再分的原子构成的计算体积就等于将这些原子集合起来这种不接严格的想
13、法骤然看来好象不大合理,但是这种“原子法”和前面授到安提丰的“穷蜗法”却是古代数学家发现新结果的重要线索阿基米德说德滨克利特是第一个得出圆锥或棱锥体积是等底等高的圆柱或棱柱的13的人这命题的最早证明属于位多克萨斯(Eudoxus,别6。5。97约公元前408355年)阿基米德自己也用过这种方法寻找问题的答案,然后再用严密的理论使其精确化,直到16世纪的刻L勒,将园看作无数顶点在圆心上的三角形的和,还带有“原子法”的遗风*芝诺(2)智人学派与尺规作图问题 公元前5世纪,雅典成为人文荟萃的中心,人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中,必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识,于是“智人学派”(sop
14、histschool,或译巧辩学派、哲人学派)应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上,他们提出“三大问题”:三等分任意角;倍立方,即求作一立方体,使其体积是已知立方体的二倍;化圆为方,即求作一正方形,使其面积等于一已知圆。问题的难处,是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的安提丰(约公元前430)提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题,是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形,以后每次边数加倍,得8,16,32、边形,这样继
15、续下去,安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法,和中国的刘徽(约263年前后)的割圆术思想不谋而合。柏拉图学派 公元前4000年,古希腊哲学进入系统化阶段,其代表人物有柏拉图和亚里士多德。公元前427年柏拉图生于雅典的一个名门望族。他的父亲名叫阿里斯东,母亲叫柏里克蒂娥尼,是改革家梭伦的后裔。柏拉图本名阿里斯托克利,据说因为他生有一个阔额头,所以得了个浑号“柏拉图”,后来这个名字也就叫出了名。柏拉图青年时代,正当伯罗奔尼撒战争,18岁时他应征入伍。他青年时期象其他贵族子弟一样受过良好的教育,富于文学兴趣和才能。20岁时成为苏格拉底的学生。公元前399年苏
16、格拉底被已经腐败的雅典民主派处死,柏拉图因此受到沉重的打击。苏格拉底被处死后,柏拉图不得不暂离雅典,大约从28至40岁,他作了一次海外游历。他先到邻邦墨加拉,从那里渡海去北非。他先后到过希腊殖民城市昔伦尼和金字塔之乡埃及。然后来到南意大利,在那里接触到毕达哥拉斯派门徒如阿基达等;这些人才哲学有着坚定信念,知识渊博,又执掌着政权,给他留下了深刻的印象。柏拉图曾经有三次西西里之行,他试图把政治理想付诸现实,但都以失败而告终。第一次是公元前387年柏拉图到达西西里岛,在叙拉古宫廷会见僭主狄奥尼修一世,宾主交谈并不投机;僭主信奉军事实力,柏拉图谈论唯心论哲学,结果不欢而散。第二次是公元前367年,柏拉
17、图应戴昂邀请去叙拉古担任新即位的狄奥尼修二世的教师。第三次是公元前361年狄奥尼修二世再邀柏拉图前往叙拉古,结果仍不顺利,败兴而归。据说柏拉图在返国途中被人卖为奴隶,幸得熟人慷慨解囊,以二十明那替他赎身。公元前386年,柏拉图在雅典近郊凯菲索区的阿卡德米体育场开办了一所学校,他一边教学,一边著作,做了一名教师。他在阿卡德米的入口处写了“不懂几何学者勿入”的字样,告诉人们,没有几何学的知识休想登上柏拉图的哲学殿堂。柏拉图主持学园约40载,学园的建立是他生命史上的转折点,在某些方面还是西欧科学史上最值得纪念的事件。对于柏拉图来说,这意味着在长期等待之后,已经找到了他一生真正的工作。柏拉图的著作大都
18、是以对话体裁写成的。主要有:辩诉篇,克利托篇,普罗塔戈拉篇,高吉亚篇,曼诺篇,共和国篇,(即理想国),菲多篇,宴话篇,菲德罗篇,智者篇,法律篇等。拉斐尔圣齐奥(1483-1520)所绘油画雅典学派A Roman mosaic showing Platos Academy不懂几何者不得入内柏拉图的理想国是柏拉图的一部代表作,涉及他思想体系的各个方面,包括哲学、伦理、教育、文艺、政治等内容,但主要地是讨论所谓“正义国家”的问题。柏拉图生活的时代,希腊城邦开始发生危机,于是他留心于探索一个普遍性的问题:究竟定下一套什么样的原则,采取什么样的具体措施,才能够建立起称得上是理想的国家?这种国家在本质上既
19、可以克服某些城邦(如雅典)所固有的“弊病”,又可以作为一切城邦(甚至外邦)理应仿效的“范型”。大概这就是柏拉图在殚心竭力地构造他的理想国家时,所面临和考虑的主要课题。公元前347年,柏拉图以80岁卒其天年。是在参加一个弟子的婚礼中,小睡一憩竟长眠而未起的。柏拉图死后,他所创立的学园由门徒主持代代相传,继续存在了数世纪之久。柏拉图非常重视数学,传说在他的学因门口写着;“不但几何者不得入内”。柏拉图鉴于毕达哥拉斯所给出点的定义(点是方位置的单位)不够明确,于是另立定义“点是直线的开端”,或“点是不可分割的线”这两个定义和我因墨经中的“端,体之无厚而最前者也”及“体,若二之一,尺之端也”极其相似。柏
20、拉图在教学中为科学奠定了基础,坚持准确的定义、清楚的假设和逻辑的证明。他对数学有很大的功劳,在他的倡导下,柏拉图学派中产生了不少数学家。欧多克萨斯曾一度是柏拉图的学生在天文、几何、医学和法律方面都有值得称道的成就他是最早介绍球面天文和描述星座的希腊科学家。在数学方面,最大的功劳是创立了比例论。欧几里得几何原本第5卷比例论大部分来自他多克萨期的工作他多克萨斯的比例论完全排除了毕达哥拉斯学派只能适用于可通约量的算术方法,纯粹用公理法建立理论,因此没有区别可迈约和不可通约的必要 柏拉图学派及其他学术中心柏拉图(约公元前427前347)在雅典建立学派,创办学园。他非常重视数学,但片面强调数学在训练智力
21、方面的作用,而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力,因为几何能给人以强烈的直观印象,将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派培养出不少数学家,如欧多克索斯就曾就学于柏拉图,他创立了比例论,是欧几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家,是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。Aristotle 亚里斯多德,古希腊著名哲学家、自然科学家,西方文艺理论的真正奠基者。公元前384年生于爱琴海北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗斯,其父是马其顿国王阿明塔斯二世的御医。母亲法伊斯提来自优卑亚岛的哈尔基斯。亚里斯多德早年丧父,由监护人“
22、抚养”。17岁赴雅典就读于柏拉图的“学园”,受教20年。为学员中出类拔萃者。柏拉图去世后,亚里斯多德曾受马其顿王之聘,教育太子亚历山大。回雅典后,亚里斯多德在吕刻翁自立学园,专心教育和著述,经常在走廊边走边讲授,后世称他的弟子为“逍遥学派”。恩格斯称他是古代“最博学的人”。公元前335年,亚里斯多德返回雅典,在雅典东郊的一所名叫吕凯伊昂的体育场开办了自己的学校。13个年头里,他一边教学,一边写作。这是他最为成熟也最有成就的时期,他遗存的大部分作品完成于此时。弟子分两班。他每天上午教高级班,人数有限,课程包括哲学、物理学、辩证术等。下午教普通班,讲授修辞学、政治学等课目。因他经常率领一群弟子在校
23、园的林荫道上踱着方步授课,所以他的学派得名“逍遥学派”。亚里斯多德的研究工作得到了亚历山大的赞助。据说这位跃马东方的“大王”派了成千的人员供他支配,有打猎的、捕鱼的、养蜂的、喂鸟的,等等,分布在希腊和亚洲的各个地区。这样便帮助他建成了一座规模可观的生物实验室。亚历山大还下令为亚里斯多德搜集各邦各城的法律政治资料,为他提供800塔兰特的研究费用。公元前323年,亚历山大的死耗从巴比伦传来,雅典人一时间将自己对马其顿人的怒气发泄到亚里斯多德的头上。他被控犯了“渎神罪”。他眼见祸之将至,匆匆避居于哈尔基斯。次年辞世,享年63岁。他的著作相传有400余卷,但大多散失,传者也残缺不全。他的著述可分为形而
24、上学、物理学、伦理学、政治学和美学五个部分.批判地继承了柏拉图的全部学说。柏拉图破坏多于建树,亚里斯多德批判多于继承,建树多于破坏;两人处处针锋相对。亚里斯多德实践了自己的名言:“我爱我的老师,我更爱真理。”他专论文艺和美学的著作,今传有诗学和修辞学,是古希腊文艺辉煌成就的总结。诗学是讲课提纲,是所谓“秘传本”,现存仅有26章,主要论述了悲剧和史诗,对喜剧所论甚简,对抒情诗根本没提,这是第一部。据传还有系统论述艺术一般问题的第二部,可惜已遗失。修辞学是发表的作品,即“外传本”。此外相传还有论修词、论诗人、戏剧研究和荷马问题四部著作,都已散失。车尔尼雪夫斯基评价亚里斯多德是“第一个以独立体系阐明
25、美学概念的人,他的概念竟雄霸了2000余年”。称他的诗学“是第一篇最重要的美学论文,也是迄至前世纪末叶一切美学概念的根据”。他的文艺理论在欧洲文艺史上具有“法典”的权威,影响极为深远。亚里斯多德还是逻辑科学的创立者,有名的逻辑推理“三段论”就是他提出来的。亚里斯多德的形式逻辑为传统逻辑打下了坚实的基础。三等分任意角;倍立方,即求作一立方体,使其体积是已知立方体的二倍;化圆为方,即求作一正方形,使其面积等于一已知圆。问题的难处,是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步
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