32-第三章第二节(概率统计).ppt

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1、3.23.2 条件分布条件分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 内容简介内容简介:考察二维随机变量考察二维随机变量(X,Y)时时,常常需要考常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下,求另一个随机变量取值的概率求另一个随机变量取值的概率.为此为此,我们由我们由随机事件的条件概率很自然地引出条件概率随机事件的条件概率很自然地引出条件概率分布的概念分布的概念.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.2 3.2 条件分布条件分布上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返

2、回返回3.2.1提出问题提出问题 随机事件有条件概率问题，随机事件有条件概率问题，怎样研究随怎样研究随机变量的条件分布问题？机变量的条件分布问题？不同的工作时间，会有不同的工作效率不同的工作时间，会有不同的工作效率.多大的工作时间才会有最大的工作效率呢？多大的工作时间才会有最大的工作效率呢？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.2.2预备知识预备知识 1.1.事件的条件概率计算公式，拉格朗事件的条件概率计算公式，拉格朗日中值公式，概率密度与分布函数关系；日中值公式，概率密度与分布函数关系；2.2.事件的独立性，联合分布率与联合事件的独立性，联合分布率与联合 概率密度，边缘分布率与

3、边缘概率密度概率密度，边缘分布率与边缘概率密度.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回分析定义：分析定义：设设A,B为随机试验为随机试验E的两个事件的两个事件,且且P(A)0,则称则称P(B|A)=为在事件为在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件发生的条件概率概率.3.2.3 建立理论与方法应用建立理论与方法应用 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.1.离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律设设(X,Y)是一个二维离散型随机变量是一个二维离散型随机变量,其其分布律为分布律为(X,Y)关于关于X和和Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为我们

4、由我们由事件的条件概率事件的条件概率给出给出随机变量的随机变量的条件概率分布条件概率分布的概念的概念.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定义定义1对于固定的对于固定的j,若若,则称则称 为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布律条件分布律.对于固定的对于固定的i,若若,则称则称 为在为在X=xi条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分布律条件分布律.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3.2.1设某工厂每天工作时间设某工厂每天工作时间X可分为可分为6小时、小时、8小时、小时、10小时和小时和12小小时时,工人的工作效率工人的工作效率Y 可以按可

5、以按50%、70%、90%分为三类分为三类.已知已知(X,Y)的概率分布如下：的概率分布如下：XY6810120.50.0140.0360.0580.0720.70.0360.2160.1800.0430.90.0720.1800.0790.014如果以工作效如果以工作效率不低于率不低于70%的概的概率越大越好作为评率越大越好作为评判标准判标准,问每天工作问每天工作时间以几个小时为时间以几个小时为最好？最好？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解先求先求(X,Y)的边缘分布律的边缘分布律:X681012pi0.1220.4320.3170.129下面分别考虑下面分别考虑X等于等于

6、6,8,10,12时时Y的条件的条件分布分布,即即 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回计算可得计算可得 Y0.50.70.9PY=yi|X=60.1150.2950.590PY=yi|X=80.0830.5000.417PY=yi|X=100.1830.5680.249PY=yi|X=120.5580.3330.109从表中可以看出从表中可以看出PY0.7X=xi的值中的值中,当当xi=8时时,概率概率=1-0.083=0.917 最大最大,即每天工作即每天工作8小时小时,工作效率达到最优工作效率达到最优.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 2.2.连续型随机变量的

7、条件分连续型随机变量的条件分布布 对二维连续型随机变量对二维连续型随机变量,我们也想定义我们也想定义分布函数分布函数PXx|Y=y,但是但是,由于由于PY=y=0,故不能像离散型随机变量那样简单地定义故不能像离散型随机变量那样简单地定义了了.自然想到自然想到:设设A为某一事件为某一事件,Y为随机变量为随机变量,其分布函数为其分布函数为FY(y),设设P y 0(0),则由条件概率公式可知则由条件概率公式可知上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 如果当如果当0+时上式极限存在时上式极限存在,则称则称此极限为事件此极限为事件A在条件在条件Y=y下发生的下发生的条件概率条件概率,即即 设

8、设X为随机变量为随机变量,取事件取事件A为为Xx,则称则称 为随机变量为随机变量X在条件在条件Y=y下的下的条件条件分布函数分布函数,记作记作上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 设设(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,分布函分布函数为数为F(x,y),其概率密度为其概率密度为f(x,y)且连续且连续,则则由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,可知可知上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回Y=y下下X的的条件概率密度条件概率密度,记为记为则上式就是在给定条件则上式就是在给定条件Y=y下下,随机变量随机变量X的的条件分布函数条件分布函数.而而称为在给定条件称

9、为在给定条件同样同样,可得出可得出得到得到X=x下下Y的条件概率密度的条件概率密度 即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回综上所述综上所述,我们得到我们得到常用的关系常用的关系:(1)(2)(3)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回我们得到我们得到全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式:(1)(2)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3.2.2设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积其面积为为A.若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布.现设二维现设二维随机变量

10、随机变量(X,Y)在圆域在圆域x2+y21上服从均匀上服从均匀分布分布.求条件概率密度求条件概率密度fX|Y(x|y).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回因此，边缘概率密度为因此，边缘概率密度为 由题设由题设,随机变量随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 解解 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回于是，当于是，当-1y 1时时,有条件概率密度有条件概率密度即即 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回当当y=0和和y=时时,fX|Y(x|y)的图形的图形分别如图分别如图3-5,图图3-6所示所示.图图3-5例例3.2.3.2.2中中y=0时的条件概率密度

11、时的条件概率密度 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回图图3-6例例3.2.3.2.2中中y=时的条件概率密度时的条件概率密度 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)二维随机变量二维随机变量(X,Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布,其概率密度为其概率密度为它和一维随机变量它和一维随机变量X在在(a,b)上服从均匀分布的上服从均匀分布的概率密度概率密度在本质上是一致的在本质上是一致的,可以推广到三维或更高维可以推广到三维或更高维情形情形.讲评讲评 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(2)对于对于-1y1时有时有思考题思考题(1)条件概率密度还服从均匀

12、分条件概率密度还服从均匀分布吗？布吗？(2)边缘概率密度还服从均匀分布吗？边缘概率密度还服从均匀分布吗？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(3)常错写常错写 而不是而不是错的原因是错的原因是fX|Y(x|y)是表示是表示Y=y下的条件概率密度下的条件概率密度,即即FX|Y(x|y)与与Y的取值有关的取值有关.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3.2.3深入对比例深入对比例3.1.3离散型随机变量离散型随机变量的类似问题的类似问题.设随机变量设随机变量X在区间在区间(0,1)上随机地取值上随机地取值,当观察到当观察到X=x(0 x1)时时,随机随机变量变量Y在区

13、间在区间(0,x)上随机地取值上随机地取值,求求Y的概率的概率密度密度fY(y).解解 由题意由题意,X具有概率密度具有概率密度对于任意给定的值对于任意给定的值x(0 x 1),在在X=x的的条件下条件下,Y的条件概率密度为的条件概率密度为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由由(3.2.7)式得到式得到X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为因此因此,关于关于Y的概率密度为的概率密度为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回讲评讲评 (1)f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)中中0 xy1,它它由由fX(x)0的的0 x1和和fY|X(y|x)0的的xy1取取交得到

14、交得到0 xy1.(2)此题由条件概率密度和边缘概率密度此题由条件概率密度和边缘概率密度的乘积求得联合概率密度，进而计算另一个的乘积求得联合概率密度，进而计算另一个边缘概率密度边缘概率密度.28(1)(1)条件分布函数与条件概率密条件分布函数与条件概率密 度关系如何度关系如何?(2)(2)关于关于X和和Y的联合概率密度与的联合概率密度与 条件概率密度的关系如何条件概率密度的关系如何?本次课主要介绍了：本次课主要介绍了：(1)(1)离散型随机变量的条件分布律及离散型随机变量的条件分布律及其求法；其求法；(2)(2)连续型随机变量的条件分布函数连续型随机变量的条件分布函数与条件概率密度及其二者关系

15、，求解了应与条件概率密度及其二者关系，求解了应用问题用问题.3.2.4小结与思考小结与思考 思考题思考题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回习题习题3.21、3、4.3.2.5习题布置习题布置参考文献与联系方式参考文献与联系方式1郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大大连理连理工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习概率论与数理统计学习指指导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.概率论与数理统计概率论与数理统计教教案案作业与试卷作业与试卷.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.4王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实概率论与数理统计教学实验验教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：