41-第四章第一节(概率统计).ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.14.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 内容摘要内容摘要:利用与算术平均类比的方法利用与算术平均类比的方法,我们提出了离散型随机变量和连续型随机变我们提出了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望的概念量的数学期望的概念,研究了数学期望的运研究了数学期望的运算性质算性质,探讨了随机变量函数的期望计算问探讨了随机变量函数的期望计算问题题,并对期望概念、期望性质、随机变量函并对期望概念、期望性质、随机变量函数关系和实际问题等分别进行了应用数关系和实际问题等分别进行了应用.第四章第四章 随机

2、变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 问题问题1：气象分析中常考察某一气象分析中常考察某一时段的雨量、湿度和日照等气象要素时段的雨量、湿度和日照等气象要素的平均值和极端值以判定气象情况的平均值和极端值以判定气象情况,而不必而不必掌握每一个气象变量的分布函数掌握每一个气象变量的分布函数.在这些用在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中来作为显示随机变量分布特征的数字中,最最重要的就是随机变量的数学期望、方差以及重要的就是随机变量的数学期望、方差以及各阶矩各阶矩.4.1.1 提出问题提出问题上页上页下

3、页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 算术平均算术平均 考考90分成绩的有分成绩的有10人，考人，考80分的有分的有20人，人，考考60分的有分的有13人人.问：这问：这33人的平均考试成绩人的平均考试成绩是多少分？是多少分？4.1.2 预备知识预备知识上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.1.3 问题分析问题分析数学期望的概念数学期望的概念 引例引例 现考查一批现考查一批5万只的灯泡万只的灯泡.为了评估为了评估灯泡的使用寿命灯泡的使用寿命(设每只灯泡的寿命是一个随设每只灯泡的寿命是一个随机变量机变量X(单位单位:小时小时),现从中随机抽取现从中随机抽取100只只.测试结果如下

4、测试结果如下:频率频率162632206灯泡数灯泡数(频数频数)12501200115011001050寿命寿命(小时小时)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 可求得这可求得这100只灯泡的平均寿命为只灯泡的平均寿命为 可见，这可见，这100只灯泡的平均寿命为只灯泡的平均寿命为 1163小时小时.可以认为，这可以认为，这5万只灯泡的寿命是万只灯泡的寿命是1163小时小时.这里，我们注意取值和取该值频率的这里，我们注意取值和取该值频率的乘积相加求和关系乘积相加求和关系.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 定义定

5、义1 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布律为的分布律为 PX=,k=1,2,3,若级数若级数 绝对绝对收敛收敛,则称数项级数则称数项级数 的和为离散型随机的和为离散型随机变量变量X 的数学期望的数学期望,记为记为E(X).即即4.1.4 提出概念提出概念上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在实际试验中所得到的随机变量在实际试验中所得到的随机变量观察值的算术平均与数学期望值有密观察值的算术平均与数学期望值有密切联系切联系.设在设在n次独立试验中次独立试验中,随机变量随机变量X 取取xk的频数为的频数为nk,频率频率 ,则可以计算出则可以计算出X观察值的算术平均值为观察值的算

6、术平均值为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 此式实际上是一种此式实际上是一种加权算术平均加权算术平均，把它与把它与(4.1.1)式比较式比较,它与它与X 的理论分布的理论分布的数学期望的数学期望E(X)的计算方法是相似的的计算方法是相似的,只是只是用频率代替了概率用频率代替了概率.随着试验次数随着试验次数n的增加的增加,频率频率fn(xk)会越来越接近于概率会越来越接近于概率pk(此性质参此性质参见第五章伯努利大数定律见第五章伯努利大数定律),),故故 的取值也的取值也会愈接近会愈接近E(X).因此因此,我们也把数学期望我们也把数学期望E(X)称为称为X的的均值均值.上页上页下

7、页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 类似于类似于(4.1.1)式式,我们可以由此我们可以由此给出连续型随机变量的数学期望的定义给出连续型随机变量的数学期望的定义.定义定义2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度的概率密度函数为函数为f(x),若积分若积分 绝对收敛绝对收敛,则称积分则称积分 的值为连续型随机变的值为连续型随机变量量X的数学期望的数学期望,记为记为E(X).即即 E(X)=.(4.1.3)数学期望简称数学期望简称期望期望,又称为又称为均值均值.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.1.1 某人

8、某人甲甲有一笔资金，可投入两个有一笔资金，可投入两个项目：房产和商业，其收益都与市场状态有项目：房产和商业，其收益都与市场状态有关关.若把未来市场划分为好、中、差三个等级，若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为其发生的概率分别为0.2，0.7和和0.1.通过调查，通过调查，该投资者认为投资房产的收益该投资者认为投资房产的收益X(单位：万元单位：万元)和投资商业的收益和投资商业的收益Y(单位：万元单位：万元)的分布分别的分布分别为为 4.1.5 方法应用方法应用上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 X11 3 -3 P 0.2 0.7 0.1 Y 6 4 -1 P

9、0.2 0.7 0.1请问请问该投资者如何投资为好该投资者如何投资为好?我们先考察数学期望我们先考察数学期望(平均收益平均收益)：解解E(X)=110.2+30.7+(-3)0.1=4.0(万元万元),E(Y)=60.2+40.7+(-1)0.1=3.9(万元万元).可见，从平均收益看，投资房产收益大，可见，从平均收益看，投资房产收益大，可比投资商业多收益可比投资商业多收益0.1 万元万元.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 定理定理1 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数Y=g(X)(g是连续函数是连续函数).(1)设设X是离散型

10、随机变量是离散型随机变量,它的分布律为它的分布律为 PX=xk=pk,k=1,2,3,若若 绝对收敛绝对收敛,则有则有 E(Y)=E g(X)=.(4.1.4)4.1.4 理论研究理论研究上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2)设设X是连续型随机变量是连续型随机变量,它的概率它的概率密度密度f(x),若若 绝对收敛绝对收敛,则有则有 E(Y)=E g(X)=.(4.1.5)证明略证明略.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定理的重要意义在于定理的重要意义在于,当我们求随机变量函数的期望当我们求随机变量函数的期望E(Y)时时,不必算出不必算出Y的分布律或概率密度的分

11、布律或概率密度,而只需利用而只需利用X的分布律或概率密度就可以了的分布律或概率密度就可以了,定理的证明略定理的证明略.换定义中的换定义中的x 为为g(x),得到得到g(X)的数学期望计算公式的数学期望计算公式.上述定理还可以推广到两个或两个以上上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量函数的情况随机变量函数的情况.讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定理定理2 设设Z是二维随机变量是二维随机变量(X,Y)的的函数函数Z=g(X,Y),其中其中g 是二元连续函数是二元连续函数.(1)设设(X,Y)是离散型随机变量是离散型随机变量,其分布其分布律为律为PX=xi,Y=yj=p

12、ij,i,j=1,2,3,则当级数则当级数 绝对收敛时绝对收敛时,有有 (4.1.6)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2)设设(X,Y)是连续型随机变量是连续型随机变量,其其密度函数为密度函数为f(x,y),则当积分则当积分 绝对收敛时绝对收敛时,有有(4.1.7)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.1.2 继续解读例继续解读例3.2.2和例和例3.3.2：设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求 (1)随机变量随机变量X X和和Y Y的数学期望的数学期望E(X)和和E(Y)；4.1.5理论应用理论应用 (2)(1)随机变量随

13、机变量X的数学期望的数学期望解解E(X2).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 由由x,y 的对称性的对称性,知随机变量知随机变量Y 的的数学期望数学期望E(Y)=0.（2）例例4.1.3 已知随机变量的概率密度为已知随机变量的概率密度为求求E(X),E(Y),E(X 2)和和E(XY).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解因为因为所以，所以，同理同理,由由x与与y的对称性得到的对称性得到 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)设设C是常数是常数,则有则有E(C)=C.(2)设设X是一个随机变量是一个随机变量,C是常数是常数,则有则有 E(CX)=

14、CE(X).(3)设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,则有则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y).这一性质可以推广到任意有限个随机变这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况量之和的情况.4.1.4 研究性质研究性质上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (4)设设X,Y是是相互独立的相互独立的随机变量随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)E(Y).这一性质可以推广到任意有限个相互独立这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况的随机变量之积的情况.证证 结论结论(1)和和(2)由读者自己证明由读者自己证明.我们以连续型随机变量为例来证我们以连续型随机变量为例来

15、证(3)和和(4).设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y),其边缘概率密度为其边缘概率密度为fX(x),fY(y).由由(4.1.7)式式 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以结论所以结论(3)得证得证.所以结论所以结论(4)得证得证.因为因为X和和Y相互独立相互独立,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2)X 与与Y不独立时不独立时,有关系式有关系式 E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)=E(X)E(Y)+EX-E(X)Y-E(Y).关于关于X与与Y的协方差的协方差Cov(X,Y)将在将在4.3节讲到节讲到.讲评讲

16、评(1)对于线性关系有对于线性关系有 E(aX+b)=aE(X)+b,E(aX+BY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.1.4 一民航送客车载有一民航送客车载有20位位旅客自机场开出旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站个车站可以下车可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不如到达一个车站没有旅客下车就不停车停车.以以X表示停车的次数表示停车的次数,求求E(X)(设每位旅设每位旅客在各个车站下车是等可能的客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是并设各旅客是否下车相互独立否下车相互独立).解解 引入随机变量引入随机变量 4.1.5 理论应用

17、理论应用 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 PXi=0=,PXi=1=1-,i=1,2,10.E(Xi)=0PXi=0+1PXi=1=1-,i=1,2,10.易知停车次数满足易知停车次数满足 X=X1+X2+X10.现在来求现在来求E(X).依题意依题意,任一旅客在第任一旅客在第i 站不下车的概率站不下车的概率为为 ,利用独立性得到利用独立性得到20位旅客都不在第位旅客都不在第i 站下车的概率为站下车的概率为 ,而在第而在第i 站有人下车的站有人下车的概率为概率为1-,也就是也就是 由此得到数学期望：由此得到数学期望：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 E(X)=

18、E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101-=8.784(次次).讲评讲评 本题是将本题是将X分解成若干个独立分解成若干个独立同服从同服从 0-10-1分布的随机变量之和分布的随机变量之和,然后利然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的学期望之和来求数学期望的,这种处理方这种处理方法具有一定的普遍意义法具有一定的普遍意义.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.1.4 数学期望的应用问题数学期望的应用问题 例例4.1.5 工程队完成某项工程的时间工程队完成某项工程的时间XN(100,16)(单

19、位单位:天天).甲方规定甲方规定:若该工程若该工程在在100天内完成天内完成,发奖金发奖金10000元元;若在若在100天天至至112天内完成天内完成,只发奖金只发奖金1000元元;若完工时若完工时间超过间超过112天天,则罚款则罚款5000元元.求该工程队完求该工程队完成此项工程时获奖的数学期望成此项工程时获奖的数学期望.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解 得奖金得奖金10000元的概率为元的概率为 得奖金得奖金1000元的概率为元的概率为 被罚款被罚款5000元的概率为元的概率为故工程队获得奖金的数学期望为故工程队获得奖金的数学期望为 100000.5+10000.498

20、7-50000.00135 5492(元元).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.1.6 市场上对某种产品每年的市场上对某种产品每年的需求量为需求量为X(吨吨),它服从它服从2000,4000上的上的均匀分布均匀分布.已知每出售已知每出售1吨产品可赚吨产品可赚3 万元万元;若售不出去若售不出去,则每吨需付仓库保管费则每吨需付仓库保管费1万元万元.试问每年应生产该产品多少吨试问每年应生产该产品多少吨,才能使平才能使平均收益最大均收益最大?并求最大平均收益并求最大平均收益.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回于是有于是有 解解 设每年应生产该商品设每年应生产该商品

21、y 吨吨.依据题意，依据题意，有有 2000y4000，则每年的收益，则每年的收益 已知已知 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回得到每年的平均收益得到每年的平均收益 对对E(R)=(-y2+7000y-4106)求导求导,令令 ,知知,当当y=3500吨时最大平均吨时最大平均收益收益上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 (1)此题型可以称为此题型可以称为“获利问题获利问题”；(2)解题关键在于建立分段函数关系式；解题关键在于建立分段函数关系式；(3)解题难点在于计算随机变量函数的数学解题难点在于计算随机变量函数的数学 期望期望E(R)的表达式并求导的表达式并

22、求导.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.1.7 某汽车起点站分别于每小时某汽车起点站分别于每小时10分、分、30分和分和55分钟发车分钟发车.若乘客若乘客不知发车的时间不知发车的时间,在每小时内的任一时刻随在每小时内的任一时刻随机到达车站机到达车站,求乘客等车的平均时间求乘客等车的平均时间.分析分析 发车时间是确定的发车时间是确定的.汽车到站是汽车到站是随机的随机的.乘客不知发车的具体时间乘客不知发车的具体时间,也是随也是随机到达车站机到达车站.求乘客等待发车的数学期望求乘客等待发车的数学期望.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 解解 设乘客到达车站的时刻

23、为设乘客到达车站的时刻为X(单位单位:分分).则则XU0,60.设乘客等候时间为设乘客等候时间为Y,依题意得依题意得 所以，所以，上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)此题型可以称为此题型可以称为“等候问题等候问题”；(2)解题关键在于建立分段函数关系式；解题关键在于建立分段函数关系式；(3)解题难点在于计算随机变量函数的数学解题难点在于计算随机变量函数的数学期望期望E(Y).讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.1.8 据统计据统计:65岁的人在岁的人在30年内年内正常死亡的概率为正常死亡的概率为0.98,因意外死亡的因意外死亡的概率为概率为0.

24、02.保险公司开办老人意外事故死亡保险公司开办老人意外事故死亡保险保险,参保者仅需交纳保险费参保者仅需交纳保险费1000元元.若若30年年内因意外事故死亡内因意外事故死亡,公司赔偿公司赔偿a元元.问：问：(1)如何确定赔偿额度如何确定赔偿额度a,才能使保险公司才能使保险公司期望获得收益期望获得收益?(2)若有若有10000人投保人投保,公司期望总获收益公司期望总获收益是多少是多少?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 解解 设设Xi表示公司从第表示公司从第i个投保人处获得的个投保人处获得的收益收益,i=1,2,10000,则的分布律为则的分布律为0.020.98P1000-a100

25、0Xi (1)由于公司不能亏本由于公司不能亏本,故应有故应有 从而得到赔偿额度满足从而得到赔偿额度满足1000a50000(显然显然,若若a1000,则无人投保则无人投保),即公司每笔赔偿小于即公司每笔赔偿小于50000元才能使公司获益元才能使公司获益.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2)公司期望总收益为公司期望总收益为 若公司每笔赔偿若公司每笔赔偿40000元，则公司总收益元，则公司总收益的期望值为的期望值为200万元万元.讲评讲评 (1)此题型可以称为此题型可以称为“保险问题保险问题”;(2)解题关键在于建立含有参数的分布律解题关键在于建立含有参数的分布律.上页上页下页

26、下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.1.6 内容小结内容小结 1.数学期望数学期望E(X)描述随机变量描述随机变量X取值取值的平均大小的平均大小,通常人们用算术平均来近似计算通常人们用算术平均来近似计算数学期望数学期望.2.要掌握数学期望的性质要掌握数学期望的性质,并会计算离散并会计算离散型随机变量、连续型随机变量和随机变量函数型随机变量、连续型随机变量和随机变量函数的数学期望的数学期望.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 3.要掌握随机变量函数的数学期要掌握随机变量函数的数学期望的计算公式和两种计算方法望的计算公式和两种计算方法(联合分联合分布或者边缘分布法布或者边缘分布法

27、).4.要掌握涉及数学期望的生产、生活实要掌握涉及数学期望的生产、生活实际问题的求解思想际问题的求解思想:建立函数关系建立函数关系,利用已利用已知的概率分布知的概率分布.题型有题型有:购货购货(生产生产)量的多少和最大利润量的多少和最大利润问题问题;候车候车(飞机飞机,电梯电梯)时间时间;保险问题保险问题.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 5.存在问题存在问题：如果两个选手比赛的如果两个选手比赛的平均成绩相同平均成绩相同,也就是数学期望相等也就是数学期望相等,如何来考量这两位选手的水平呢如何来考量这两位选手的水平呢?人们可以进人们可以进一步看他们的成绩的稳定程度一步看他们的成绩

28、的稳定程度.这是下一次课这是下一次课要学习的问题要学习的问题.4.1.7 作业布置作业布置 习题习题4.1 1、5、8、10、12.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大大连理连理 工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习概率论与数理统计学习指指 导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.概率论与数理统计概率论与数理统计教教 案案 作业与试卷作业与试卷.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8 月月.4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实概率论与数理统计教学实验验 教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：