42-第四章第二节(概率统计).ppt

《42-第四章第二节(概率统计).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《42-第四章第二节(概率统计).ppt（39页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.2 4.2 方差方差上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 内容简介内容简介:在一些实际问题中在一些实际问题中,只需只需知道随机变量的某些特征知道随机变量的某些特征,随机变量的随机变量的数学期望数学期望、方差以及各阶矩方差以及各阶矩.本节讨论本节讨论随机变量的方差以及其性质随机变量的方差以及其性质,利用其理利用其理论解决实际问题论解决实际问题.第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.2 4.2 方差方差上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.2.1 提出问题提出问题 1.射手的平均射中环数相等射手的平均射

2、中环数相等,如何如何推断他们的射击水平推断他们的射击水平?4.2.2 预备知识预备知识 1.1.数学期望定义与计算公式数学期望定义与计算公式,独立性及独立性及其充要条件其充要条件.2.2.六种重要的分布六种重要的分布,指示函数指示函数.2.如何判断两台机床工作的精度如何判断两台机床工作的精度,或者工或者工作的稳定性作的稳定性?一批灯泡的质量如何认定一批灯泡的质量如何认定?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.2.3 问题分析问题分析 引例引例 有一批灯泡有一批灯泡,知其平均寿命是知其平均寿命是E(X)=1000(小时小时).仅由这一指标我们还不能仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡

3、的质量好坏判定这批灯泡的质量好坏.事实上事实上,有可能有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在其中绝大部分灯泡的寿命都在9501050小小时时;也有可能其中约有一半是高质量的也有可能其中约有一半是高质量的,它它们的寿命大约有们的寿命大约有1300小时小时.另一半却是质量另一半却是质量上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回很差的很差的,其寿命大约只有其寿命大约只有700小时小时.为为了评了评 定这批灯泡质量的好坏定这批灯泡质量的好坏,还需进还需进一步考察灯泡寿命一步考察灯泡寿命X与其均值与其均值E(X)=1000的的偏离程度偏离程度.若偏离程度较小若偏离程度较小,表示质量比较表示质量比较稳定稳

4、定.从这个意义上来说从这个意义上来说,我们认为质量较我们认为质量较好好.由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的离程度是十分必要的.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 容易看到容易看到E|X-E(X)|能度量随机变量与能度量随机变量与其均值其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于上式带有绝但由于上式带有绝对值而导致运算不方便对值而导致运算不方便.为运算方便起见为运算方便起见,通常是用量通常是用量EX-E(X)2 来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的的偏离程度的.用怎样的量来度量这个偏离程度呢用怎样的量来度

5、量这个偏离程度呢?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.2.4 建立理论建立理论 定义定义1 设设X是一个随机变量是一个随机变量,若若 EX-E(X)2存在存在,则称则称 EX-E(X)2 为为X的的 方差方差,记为记为D(X)或或Var(X).即即 D(X)=Var(X)=EX-E(X)2.(4.2.1)在应用上在应用上,还引入与随机变量还引入与随机变量X具有相同具有相同量纲的量量纲的量 ,记为记为 ,称为称为标准差标准差或或均方差均方差.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 方差的实际意义是：随机变量方差的实际意义是：随机变量X的方差表达了的方差表达了X

6、的取值与其数学的取值与其数学期望的偏离程度期望的偏离程度.若若X取值比较集中取值比较集中,则则D(X)较小较小;反之反之,若若X取值比较分散取值比较分散,则则D(X)较大较大.因此因此,D(X)是刻画是刻画X取值分散程度的一取值分散程度的一个量个量.由定义知由定义知,方差实际上就是随机变量方差实际上就是随机变量X的函数的函数g(X)=(X-E(X)2的数学期望的数学期望.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)若若X是离散型随机变量是离散型随机变量,分布律为分布律为 PX=xk=pk,k=1,2,则则 关于离散型随机变量和连续型随机关于离散型随机变量和连续型随机变量方差的变量方

7、差的具体计算公式具体计算公式如下所述如下所述.定理定理1 在相应方差存在在相应方差存在的条件下的条件下,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2)若若X是连续型随机变量是连续型随机变量,其概率密度其概率密度 为为f(x),则则 (3)方差常用下面公式进行计算：方差常用下面公式进行计算：D(X)=E(X 2)-E(X)2.(4.2.4)D(X)=EX-E(X)2=EX 2-2 XE(X)+E(X)2 =E(X 2)-2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X 2)-E(X)2.证证 结论结论(1)和和(2)由方差定义及函数期望计由方差定义及函数期望计算公式即得算公式即得.关于结论关于

8、结论(3),上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.2.5 理论应用理论应用 例例4.2.1 深入解读第二节例深入解读第二节例4.1.1:进一步分析该投资者如何投资为好呢进一步分析该投资者如何投资为好呢?从平均收益看从平均收益看,投资房产收益大投资房产收益大,可比投可比投资商业多收益资商业多收益0.1万元万元.我们再来计算它们各自的方差：我们再来计算它们各自的方差：解解D(X)=(11-4)210.2+(3-4)20.7+(-3-4)20.1=15.4,D(Y)=(6-3.9)20.2+(4-3.9)20.7+(-1-3.9)20.1=3.29 各自的标准差各自的标准差:上页上页下

9、页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 因为标准差因为标准差(方差也一样方差也一样)越大越大,则说明收益的波动越大则说明收益的波动越大,从而投资从而投资风险也在增加风险也在增加.所以从标准差看所以从标准差看,投资房产投资房产的风险比投资商业的风险大一倍多的风险比投资商业的风险大一倍多.若收益与风险综合权衡若收益与风险综合权衡,该投资者还是该投资者还是应该选择投资商业为好应该选择投资商业为好.虽然平均收益少虽然平均收益少0.10.1万元万元,但风险要小一半以上但风险要小一半以上.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 X Y01p.j12pi.1试计算试计算 E(X),E(X2),E(

10、XY)和和D(X).例例4.2.2 继续解读例继续解读例3.3.1:设二维随机设二维随机变量变量(X,Y)的分布律为的分布律为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由由X和和Y的联合分布律得到的联合分布律得到 解解所以，所以，上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.2.3 继续解读例继续解读例4.1.3：已知已知随机变量的概率密度为随机变量的概率密度为再求再求X和和Y的方差的方差D(X)及及D(Y).已知已知X的数学期望为的数学期望为 解解所以所以由由x与与y的对称性得到的对称性得到 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.2.4理论研究理论研究 定理定

11、理2 随机变量的方差具有以下性随机变量的方差具有以下性质质(设设随机变量期望及方差均存在随机变量期望及方差均存在):(2)设设C,a,b为常数为常数,则则 D(CX)=C2D(X),且且D(aX+b)=a2D(X),(4.2.6)(1)设设C为常数为常数,则则 D(C)=0.(4.2.5)(3)若若X与与Y相互独立相互独立,则则 D(XY)=D(X)+D(Y).(4.2.7)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (4)设设X1,X2,Xn是是相互独立相互独立的的n个个随机变量随机变量,C1,C2,Cn是是n个常数个常数,则则 (5)D(X)=0 的充分必要条件是存在常数的充分必要条

12、件是存在常数C,使使X以概率以概率1取常数取常数C,即即 PX=C=1,这里这里C=E(X).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 证证 结论结论(5)证略证略.下面证明下面证明结论结论(1),(2),(3)和和(4).(1)由数学期望的性质由数学期望的性质,有有 D(C)=EC-E(C)2=E(C-C)2=E(0)=0.(2)由方差的计算公式由方差的计算公式,D(CX)=E(C2X 2)-E(CX)2 =C2E(X2)-C2E(X)2=C2D(X).第二个等式留给读者自证第二个等式留给读者自证.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(3)D(XY)=E(XY)-E(XY

13、)2 =E(X-E(X)(Y-E(Y)2 =E(X-E(X)2+E(Y-E(Y)2 2EX-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)2EX-E(X)Y-E(Y).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 由于由于X与与Y相互独立相互独立,故故X-E(X)与与Y-E(Y)也相互独立也相互独立.从而从而 EX-E(X)Y-E(Y)=EX-E(X)E Y-E(Y)=0,于是，于是，D(XY)=D(X)+D(Y).结合结论结合结论(2),(3),可以推知结论可以推知结论(4).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回讲评讲评(1)D(2-3X)=9D(X),不是不是 D(2-3X)=-

14、3D(X).(2)X与与Y不相互独立不相互独立(即任意的随机变量即任意的随机变量)时时,D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.2.4 设随机变量设随机变量X的数学的数学期望期望E(X)和方差和方差D(X)均存在均存在,且且D(X)0,定定义一个新随机变量义一个新随机变量X*为为 (4.2.9)求证求证E(X*)=0,D(X*)=1.通常称通常称X*为为X的的标准化随机变量标准化随机变量.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证证 讲评讲评 这里这里X不一定是正态随机变量不一定是正态随机变量.对对正态随机变量正态随机

15、变量XN(,2),则标准化随机变则标准化随机变量量 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回几种重要分布的数学期望与方差几种重要分布的数学期望与方差 (1)0-1 0-1分布分布 设随机变量设随机变量XB(1,p),则则E(X)=p,D(X)=pq.这里这里q=1-p.证证 由于由于X的分布率为的分布率为 故知故知X2的分布率也是的分布率也是4.2.5 理论应用理论应用 X0 1Pq pX20 1 P q p上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回E(X)=0q+1p=p,E(X 2)=0q+1p=p.从而从而 D(X)=E(X 2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)=pq.

16、于是于是上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 二项分布可看成二项分布可看成n个独立的个独立的0-1分布分布之和之和,即设即设XiB(1,p)(i=1,2,n)且相互独立且相互独立,得到得到 (2)二项分布二项分布 设随机变量设随机变量XB(n,p),则则 E(X)=np,D(X)=npq.证证因此，因此，上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (3)泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量XP(),则则E(X)=D(X)=.证证 又由于又由于从而从而D(X)=E(X 2)-E(X)2 =2+-2=.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(4)均匀分布均匀分布 设随

17、机变量设随机变量XU(a,b),则则 E(X)=D(X)=.证证 由于由于X的概率密度的概率密度 ,得得 又又从而从而上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(5)指数分布指数分布证证 X的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量XE(),则则E(X)=,D(X)=有有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由于由于 我们得到我们得到 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 (1)由期望和方差关系可知，只需由期望和方差关系可知，只需确定一个参数确定一个参数即可完全确定指数分布即可完全确定指数分布.(2)指数分布的一个重要性质是指数分布的一个重要性质是“无记

18、忆无记忆性性”,即当元件运行了时间即当元件运行了时间t后如果仍正常后如果仍正常,则则从从t时刻开始其寿命同新的一样时刻开始其寿命同新的一样.用式子表示用式子表示就是就是PXt+|Xt=PX.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (3)概率密度为概率密度为的数学期望的数学期望E(X)=,D(X)=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 一般地一般地,对任何正整数对任何正整数n,有有 (n+1)=n!.(4)关于关于函数函数,有如下性质有如下性质:(i)(ii)递推公式递推公式(s+1)=s(s)(s0).(iiii)(1)=(2)=1.(iii)上页上页下页下页返回返回上页

19、上页下页下页返回返回 (5)正态分布正态分布设随机变量设随机变量XN(,2),则则 E(X)=,D(X)=2.证证 由正态分布的定义知由正态分布的定义知,又又 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.2.5 设随机变量设随机变量X,Y,Z相互独立相互独立,且且已知已知XN(2,4),YE(2),ZU(-1,2).(1)设设W=2X+3XYZZ+5,求求E(W);(2)设设U=3X-2Y+Z-4,求求D(U).可见可见,正态分布的参数正态分布的参数与与2恰是其随恰是其随机变量的数学期望与方差机变量的数学期望与方差.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 由于由于D(X

20、)=4,D(Y)=,D(Z)=,且且X,Y,Z 相互独立相互独立,从而从而=22+32 +5=10.E(X)=2,E(Y)=,E(Z)=,且且X,Y,Z相互独立相互独立,故得故得 E(W)=2E(X)+3E(X)E(Y)E(Z)-E(Z)+5(2)D(U)=9D(X)+4D(Y)+D(Z)=94+4 解解 由本节讨论知由本节讨论知 (1)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 (1)在随机变量在随机变量独立独立的条件下的条件下,乘乘积的数学期望等于数学期望乘积积的数学期望等于数学期望乘积;和差的方差和差的方差等于方差之和等于方差之和.(2)易犯错误易犯错误D(3X-2Y)=

21、3D(X)-2D(Y).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.2.6 内容小结内容小结 方差方差D(X)=EX-E(X)2描述随机描述随机变量变量X与它的数学期望与它的数学期望E(X)的偏离程度的偏离程度,我们常用公式我们常用公式D(X)=E(X2)-E(X)2计算方差计算方差,注意注意E(X2)和和 E(X)2的区别的区别.计算协计算协方差常用公式方差常用公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).4.2.7 作业布置作业布置 习题习题4.2 2、3、4、9、10.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大大连理连理 工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习概率论与数理统计学习指指 导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.概率论与数理统计概率论与数理统计教教 案案 作业与试卷作业与试卷.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8 月月.4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实概率论与数理统计教学实验验 教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：