概率论与数理统计教学15-第一章第五节(概率统计).ppt

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1、 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.5 1.5 条件概率条件概率上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.5 1.5 条件概率条件概率 内容简介内容简介 在自然界及人类的活在自然界及人类的活 动中动中,存在着许多互相联系、互相影响的事件存在着许多互相联系、互相影响的事件.除了要分析随机事件除了要分析随机事件B发生的概率发生的概率P(B)外外,有有时我们还要提出附加的限制条件时我们还要提出附加的限制条件,也就是要分也就是要分析析“在事件在事件A已经发生的前提下已经发生的前提下”事件事件B发生发生的概率的概率,我们记为我们记为P(B|A).这就是这就是条件概率问条件概率问

2、题题.我们主要学习条件概率计算公式、概率乘我们主要学习条件概率计算公式、概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式法公式、全概率公式和贝叶斯公式.这一节这一节特特别重要，一定要学好别重要，一定要学好.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.5.2 1.5.2 预备知识预备知识 概率的性质，逆事件概率计算公式，概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布古典概型，超几何分布.1.5.1 1.5.1 提出问题提出问题 1.1.如何计算如何计算“第一次取到红球的第一次取到红球的条件下，第二次又取到红球的概率条件下，第二次又取到红球的概率”？2.在三个工厂中的产品中取样，取到次在三个工

3、厂中的产品中取样，取到次品的概率是多少？品的概率是多少？3.已知取到次品，问该次品来自甲厂的已知取到次品，问该次品来自甲厂的概率是多大呢？概率是多大呢？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.条件概率条件概率 1.5.3 问题分析问题分析 先考虑下述问题先考虑下述问题.引例引例 设某盒中有设某盒中有5件产品件产品,其中其中3件合件合格品格品,2件次品件次品.现每次任取一件现每次任取一件,不放回地不放回地取两次取两次.求：求：(1)A=第一次取到合格品第一次取到合格品的概率；的概率；(2)B=第一次取到合格品的条件下第二第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品次又取到合格品的概率

4、的概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 答案是很容易求出的：答案是很容易求出的：(1)的答案是的答案是 (2)的答案是的答案是 事件事件AB表示第一次和第二次都抽到合格表示第一次和第二次都抽到合格品品.由于抽取是不放回的由于抽取是不放回的,所以每次抽取一个所以每次抽取一个并且连抽两次与一次抽取两个是等效的并且连抽两次与一次抽取两个是等效的,因因而而P(AB)=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定义定义 设设A,B为随机试验为随机试验E的两个事件的两个事件,且且P(A)0,称称 P(B|A)=(1.5.1)为在事件为在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生

5、的发生的条件概率条件概率.1.5.4 建立理论建立理论 总有关系式总有关系式P(B|A)=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回性质性质2(条件对立事件概率条件对立事件概率)对于任意事件对于任意事件B和它和它的对立事件的对立事件 ,仍然成立仍然成立 P(B|A)=1-P(|A).(1.5.2)讲评讲评 对公式对公式P(B|A)=1-P(B|)不成立不成立,但但P(B|A)和和P(B|)在全概率公式、贝叶斯公式中在全概率公式、贝叶斯公式中常用到常用到.性质性质1 对于不可能事件对于不可能事件 ,有有P(|A)=0.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 性质性质3(条件概率加

6、法公式条件概率加法公式)对于随机事件对于随机事件 B1,B2和和A,加法公式成立：加法公式成立：P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).(1.5.3)特别地特别地,当当B1,B2互不相容时互不相容时,加法公式加法公式成成立：立：P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A).(1.5.4)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 计算条件概率计算条件概率P(B|A)有两种方法：有两种方法：1.5.5 方法应用方法应用 方法方法1 在样本空间在样本空间 的缩减样本空间的缩减样本空间A中计中计算算B 发生的概率发生的概率,得到得到P(B|A).

7、方法方法2 在样本空间在样本空间中中,计算计算P(AB),P(A),然然后利用公式后利用公式(1.5.1)求出求出P(B|A).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.5.1 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8,活到活到25岁以上的岁以上的概率为概率为0.4.如果一只动物现在已经活到如果一只动物现在已经活到20岁岁,问它能活到问它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A=该动物活到该动物活到20岁岁,B=该动活该动活到到25岁以上岁以上,则则 P(A)=0.8,P(B)=0.4.所以我们得到所以我们得到

8、 因为因为B A,所以所以 P(AB)=P(B)=0.4.=P(B|A)=0.5.讲评讲评 在活到在活到20岁的条件下，活到岁的条件下，活到25岁以上岁以上的概率的概率0.5要比从出生算起的概率要比从出生算起的概率0.4大大.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.概率乘法公式概率乘法公式 定理定理1(概率乘法公式概率乘法公式)对于任意的事件对于任意的事件A,B,(1)若若P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A).(1.5.5)(2)若若P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B).(1.5.6)上面两个等式都称为上面两个等式都称为概率乘法公式概率乘法公式.上页上页

9、下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 注意注意P(AB)与与P(B|A)的区别：的区别：(1)凡涉及到凡涉及到A与与B“同时同时”发生发生,用用P(AB);有有“包含包含”关系或主从条件关系的用关系或主从条件关系的用P(B|A).(2)从样本空间上讲从样本空间上讲,计算计算P(B|A)的样本空的样本空间为间为A,而计算而计算P(AB)的样本空间为的样本空间为.乘法公式可以推广到多个事件的情形乘法公式可以推广到多个事件的情形.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 推论推论 设设A1,A2,An是是n(n2)个事件个事件,且且P(A1A2An-1)0,则则 P(A1A2A

10、n-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)(1.5.7)特别地特别地,当n=3时时,对于三个事件对于三个事件A,B,C,若若P(AB)0,则有则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.5.8)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.5.2 今有今有3 3箱货物箱货物,其中甲厂生产的其中甲厂生产的有有2 2箱箱,乙厂生产的有乙厂生产的有1 1箱箱.已知甲厂生已知甲厂生产的每箱中装有产的每箱中装有9898个合格品个合格品,不合格品有不合格品有2 2个个;而乙厂生产的而乙厂生产的1 1箱中装有箱中装有9090个合格品

11、个合格品,不合格品不合格品有有1010个个.现从现从3 3箱中任取箱中任取1 1箱箱,再从这一箱中任取再从这一箱中任取1 1件产品件产品.问：问：(1)这件产品是甲厂生产的合格品的概率是这件产品是甲厂生产的合格品的概率是多少多少?(2)这件产品是合格品的概率又是多少这件产品是合格品的概率又是多少?(3)已知取出的是合格品，那么这件合格品已知取出的是合格品，那么这件合格品是甲厂生产的概率是多少呢？是甲厂生产的概率是多少呢？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 解解 设设A =所取产品为合格品所取产品为合格品,B1=所取产品由甲厂生产所取产品由甲厂生产，B2 =所取产品由乙厂生产所取产

12、品由乙厂生产.(1)我们要求的是我们要求的是A和和B1同时发生的概率同时发生的概率,即即P(AB1).P(B1)=P(A|B1)是在是在“取甲厂生产的一箱取甲厂生产的一箱”的条的条件下取到合格品的概率件下取到合格品的概率,其概率应为其概率应为P(A|B1)=.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由概率乘法公式由概率乘法公式(1.5.5),得到得到P(AB1)=P(B1)P(A|B1)(2)我们要求我们要求A发生的概率发生的概率P(A).显然，取出显然，取出的合格品与选自哪一箱有关的合格品与选自哪一箱有关.因为因为 A=A=A(B1B2)=AB1AB2,又又(AB1)(AB2)=,所

13、以所以,由概率加法公式由概率加法公式(1.3.3)和概率乘法公和概率乘法公式式(1.5.5)得到得到 P(A)=P(A B1)+P(AB2)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由于由于 P(B1)=,P(A|B1)=P(B2)=P(A|B2)=，P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)故故+=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (3)问题是计算问题是计算“事件事件A发生条件下发生条件下B1发生发生”的概率的概率,即条件概率即条件概率P(B1|A).讲评讲评 (1)此题条件概率计算与概率乘法公式综

14、合此题条件概率计算与概率乘法公式综合应用应用.是常考题型是常考题型.(2)问题问题(2)是计算受到多个影响关系的事件是计算受到多个影响关系的事件A概率概率.人们经常把事件人们经常把事件A分解为若干个互不相容的简单事件分解为若干个互不相容的简单事件之和之和A=AB1AB2,然后计算这些简单事件的概率然后计算这些简单事件的概率,再再利用概率加法公式和乘法公式就可得到所求的结果利用概率加法公式和乘法公式就可得到所求的结果.这里所涉及到的公式构成了这里所涉及到的公式构成了全概率公式全概率公式.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.3.全概率公式全概率公式 定理定理2(全概率公式全概率公式

15、)设试验设试验E的样本空间的样本空间为为,B1,B2,Bn为为的一个划分的一个划分,且且 P(Bi)0 (i=1,2,n),则对则对E的任一事件的任一事件A,有有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)或简记为或简记为 .(1.5.9)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 证证 因为因为A=A=A(B1B2Bn)=AB1AB2ABn,由假设由假设P(Bi)0(i=1,2,n),且且(ABi)(ABj)=,i j,i,j=1,2,n,由加法公式和乘法公式由加法公式和乘法公式,得到得到 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)=P

16、(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 全概率公式是计算概率的一个很全概率公式是计算概率的一个很有用的公式有用的公式,通常把通常把B1,B2,Bn看成看成导致导致A发生的一组原因发生的一组原因.如若如若A是是“次品次品”,必是必是n个车间生产了次品个车间生产了次品;若若A是是“某种疾病某种疾病”,必是几种病因导致必是几种病因导致A发生发生;若若A表示表示“被击被击中中”,必有几种方式或几个人打中必有几种方式或几个人打中.(1)何时用全概率公式何时用全概率公式:导致事件的发生有导致事件的发生有几种情形

17、；所述问题先后进行两次试验几种情形；所述问题先后进行两次试验.(2)如何用全概率公式如何用全概率公式:将几种情形划分为将几种情形划分为完备事件组；将第一次试验的样本空间分解成完备事件组；将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组两两互斥的完备事件组上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 全概率公式给出了我们一个计算受到多全概率公式给出了我们一个计算受到多个影响关系的事件概率的公式个影响关系的事件概率的公式:假假B1,B2,Bn是是的一个划分的一个划分,并且已知事件并且已知事件Bi的概的概P(Bi)(它它们是试验前的假设概率们是试验前的假设概率,称为先验概率称为先验概率)及事件及

18、事件A在在Bi已发生的条件下的条件概率已发生的条件下的条件概率P(A|Bi),i=1,2,n,则由全概率公式则由全概率公式(1.5.9)就可算出就可算出P(A).4.4.贝叶斯公式贝叶斯公式 贝叶斯贝叶斯（Thomas Bayes,17021761），），英国数学家、哲学家、牧师英国数学家、哲学家、牧师.一个重要的统计学派一个重要的统计学派以贝叶斯命名以贝叶斯命名.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 现在的问题是我们进行了一次试验现在的问题是我们进行了一次试验,如果事件如果事件A确实发生了确实发生了,则对于事件则对于事件Bi(i=1,2,n)的概率应给予重新估计的概率应给予重新估

19、计,也就是也就是要计算事件要计算事件Bi在事件在事件A已发生的条件下的条件已发生的条件下的条件概率概率P(Bi|A)(它们是试验后的事件概率它们是试验后的事件概率,常称为常称为后验概率后验概率).下面的贝叶斯公式就给出了计算下面的贝叶斯公式就给出了计算后后验概率验概率P(Bi|A)的公式的公式.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定理定理3 (贝叶斯公式贝叶斯公式)设试验设试验E的样本空间的样本空间为为.A为为E的事件的事件,B1,B2,Bn为样本为样本空间空间的一个划分的一个划分,且且P(A)0,P(Bi)0(i=1,2,n),则则 i=1,2,n.(1.5.10)贝叶斯公式贝

20、叶斯公式(1.5.10)亦称为亦称为逆概率公式逆概率公式.证证 由条件概率的定义及全概率公式即得由条件概率的定义及全概率公式即得.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在在(5.9),(5.10)中取中取n=2,并将并将B1记为记为B,此时此时B2就是就是 ,那么那么,全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式分别分别成为成为 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例 1.5.3 某厂甲、乙、丙三个车间某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品生产同一种产品,其产量分别占全厂总其产量分别占全厂总产量的产量的40%,38%,22%,经检验知各车间的经检验知各车间的次品率分别

21、为次品率分别为0.04,0.03,0.05.现从该种产品中任现从该种产品中任意抽取一件进行检查意抽取一件进行检查.(1)求这件产品是次品的概率求这件产品是次品的概率;(2)已知抽得的一件产品是次品已知抽得的一件产品是次品,问此问此次品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是次品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？多少？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 解解 设设A表示表示取到的产品是一件次品取到的产品是一件次品,Bi(i=1,2,3)分别表示分别表示所取到的产品来自所取到的产品来自甲、乙、丙车间甲、乙、丙车间.易知易知,B1,B2,B3是样本空间是样本空间的一个划分的一个划分,且且

22、(1)由全概率公式可得由全概率公式可得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(2)由贝叶斯公式分别得到由贝叶斯公式分别得到,由此可见，虽然丙车间的次品率最高由此可见，虽然丙车间的次品率最高(次次品率为品率为0.05)，但是，根据贝叶斯公式得到的，但是，根据贝叶斯公式得到的结果可知，次品来自甲车间的可能性却是最结果可知，次品来自甲车间的可能性却是最大大(概率为概率为0.417).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 例例1.5.3是典型的利用全概率是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的问题公式和贝叶斯公式计算概率的问题,计计算这类问题的算这类问题的关键关键是

23、找到问题中的一是找到问题中的一个划分个划分,以及区分是应用全概率公式还是应用以及区分是应用全概率公式还是应用贝叶斯公式贝叶斯公式.所论问题通常是发生两次试验，所论问题通常是发生两次试验，或者由几种情形导致计算事件的发生或者由几种情形导致计算事件的发生.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 到目前为止到目前为止,我们讲了四个我们讲了四个“有名的有名的”重要公式：条件概率公式重要公式：条件概率公式,概率乘法公式概率乘法公式,全全概率公式和贝叶斯公式概率公式和贝叶斯公式.前两个都较为基本前两个都较为基本,后两个用起来复杂困难些后两个用起来复杂困难些,它们对于计算概它们对于计算概率都是很有

24、用的率都是很有用的,考研中此类问题占有较大考研中此类问题占有较大的比例的比例.希望读者通过阅读例题及做习题逐希望读者通过阅读例题及做习题逐步掌握这些公式的运用步掌握这些公式的运用.1.5.6 内容小结内容小结1.5.7 1.5.7 习题布置习题布置 习题习题1.5 2、7、10、12.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理 工大学出版社，2015年8月.2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指 导书.大连理工大学出版社，2015年8月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健.概率论与数理统计教 案 作业与试卷.大连理工大学出版社，2015年8 月.4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验 教材.中国科学技术出版社，2007年7月.联系方式：