[离散型随机变量的期望]3.ppt

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1、1.21.2离散型随离散型随机变量的期机变量的期望与方差望与方差1.21.2离散型随离散型随机变量的期机变量的期望与方差望与方差1.21.2离散型随离散型随机变量的期机变量的期望与方差望与方差1.21.2离散型随离散型随机变量的期机变量的期望与方差望与方差1.21.2离散型随离散型随机变量的期望机变量的期望与方差与方差2.32.3离散型随离散型随机变量的期机变量的期望与方差望与方差一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量 可能取的值为可能取的值为x x1 1，x x2 2，x xi i，取每一个值取每一个值x xi i(i(i1 1，2 2，)的概率的概率P(P(x xi i)p pi

2、 i，则称下表则称下表为随机变量为随机变量 的概率分布，简称为的概率分布，简称为 的分布列的分布列 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：下述两个性质：(1)p1)pi i00，i i1 1，2 2，；(2)p(2)p1 1p p2 21 1一一.复习提问复习提问离散型随机变量的分布列和性质离散型随机变量的分布列和性质一.复习提问二项分布二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是如果在一次试验中某事件发生的概率是p p，那么在那么在n n次次独立重复试验中这个事件恰好发生独立重复试验中这个事件恰好发生k k次的概率是

3、次的概率是 （设在（设在n n次独立重复试验中这个事件发生的次数次独立重复试验中这个事件发生的次数）称这样的随机变量称这样的随机变量 服从二项分布服从二项分布，记作记作 B(nB(n，p)p)，其中其中n n，p p为参数为参数，并记并记 某射手射击所得环数某射手射击所得环数的分布列如下的分布列如下：在在n n次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但可以根据次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但可以根据已知的分布列估计已知的分布列估计n n次射击的平均环数根据这个射手射击所得环次射击的平均环数根据这个射手射击所得环数数 的分布列，他在的分布列，他在n n次射击中，预计有大约次射击

4、中，预计有大约:P(P(4)4)n n0.02n 0.02n 次得次得4 4环，环，P(P(5)5)n n0.04n 0.04n 次得次得5 5环，环，P(P(10)10)n n0.22n 0.22n 次得次得1010环环n n次射击的总环数约等于次射击的总环数约等于4 40.020.02n n5 50.040.04n n10100.220.22n n(4(40.020.025 50.040.0410100.22)0.22)n n，从而，从而，n n次射击的平均环数约等于次射击的平均环数约等于4 40.020.025 50.040.0410100.220.228.328.32能否估计出该射手能

5、否估计出该射手n n次射击的平均环数？次射击的平均环数？类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数 的分布的分布列，即已知各个列，即已知各个P(P(i)(ii)(i0 0，1 1，2 2，10)10)，则可预则可预计他任意计他任意n n次射击的平均环数是次射击的平均环数是EE0 0P(P(0)0)1 1P(P(1)1)1010P(P(10)10)我们称我们称EE为此射手射击所得环数为此射手射击所得环数 的期望，它刻划了随的期望，它刻划了随机变量机变量 所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平水平一般地，若离散型随

6、机变量一般地，若离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为 则称则称 EEx x1 1p p1 1x x2 2p p2 2x xn np pn n 为为 的数学期望的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望设设 a ab b，其中其中a a，b b为常数，则为常数，则 也是随机变量也是随机变量 因为因为P(P(axaxi ib)b)P(P(x xi i)，i i1 1，2 2，3 3，所以，所以，的分布列为的分布列为于是于是EE(ax(ax1 1b)pb)p1 1(ax(ax2 2b)pb)p2 2(axaxn nb)pb)pn n a(xa(x1 1p

7、p1 1x x2 2p p2 2x xn np pn n)b(pb(p1 1p p2 2+p pn n)aEaEb b 即即 E(aE(ab)b)aEaEb b 例例1 1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中分，罚不中得得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分 的期望的期望解：因为解：因为P(P(1)1)0.70.7，P(P(0)0)0.30.3，所以所以 EE1 1P(P(1)1)0 0P(P(0)0)1 10.70.70 00.30.30.70.7例2 随机抛掷一

8、个骰子，求所得骰子的点数的期望解：抛掷骰子所得点数解：抛掷骰子所得点数的概率分布为的概率分布为所以所以例例3.3.有一批数量很大的产品，其次品率是有一批数量很大的产品，其次品率是1515对这批产对这批产品进行抽查，每次抽出品进行抽查，每次抽出1 1件，如果抽出次品，则抽查终止，件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过1010次求抽查次数次求抽查次数 的期望的期望(结果保留三个有效数字结果保留三个有效数字)解：抽查次数解：抽查次数 取取1 11010的整数，从这批数量很大的产品中每次的整数，从这批数量很大的产品

9、中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是是0.150.15，取出正品的概率是，取出正品的概率是0.850.85，前，前k k1 1次取出正品而第次取出正品而第k k次次(k(k1 1，2 2，9)9)取出次品的概率取出次品的概率P(P(k)k)0.850.85k-1k-10.150.15，(k(k1 1，2 2，9)9)；需要抽查需要抽查1010次即前次即前9 9次取出的都是正品的概率次取出的都是正品的概率.P(P(10)10)0.850.859 9由此可得由此可得的概率分布如下：的概率分布如下：根据以上的概率分布，可

10、得根据以上的概率分布，可得的期望的期望EE1 10.150.152 20.12750.127510100.2316=5.350.2316=5.35看课本例看课本例4 4服从二项分布的随机变量的服从二项分布的随机变量的期望又是怎样的？期望又是怎样的？设在一次试验中某事件发生的概率是设在一次试验中某事件发生的概率是P P，是一次试验中此事件发生的次数，是一次试验中此事件发生的次数，令令q q1 1p p，则则P(P(0)0)q q，P(P(1)1)p p，EE0 0q q1 1p pp p，由此猜想，在由此猜想，在n n次独立重复试验中，次独立重复试验中，该事件平均发生该事件平均发生npnp次，次

11、，即若即若 B(nB(n，p)p)，则，则EEnpnp 证明：证明：结论一结论一:若若 B(nB(n，p)p)，则，则EEnpnp 例例3.3.一次英语单元测验由一次英语单元测验由2020个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4 4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得正确答案得5 5分，不作出选择或选错不得分，满分分，不作出选择或选错不得分，满分100100分分学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.90.9，学生乙则在测验中对每题，学生乙则在测验中对每题都从都从4 4个选项中随机地选择一个求学生甲

12、和学生乙在这个选项中随机地选择一个求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望次英语单元测验中的成绩的期望解：解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是确答案的选择题个数分别是 和和，则则 B(20B(20，0.9)0.9)，B(20B(20，0.25)0.25)，所以，所以，EE20200.90.91818，EE20200.250.255 5由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次英语测验分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是中的成绩分别是55和和55所以，他们在测验中的成绩的所以，他们在测验中的成绩的期望分别是期望分别是:E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525结论二结论二：若：若p(=k)=g(k，p)，则，则E=1/p服从服从几何分布几何分布的随机变量的期望的随机变量的期望 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 E =p+2pq+3pq2+kpqk-1+qE =pq+2pq2+3pq3+kpqk+(1-q)E =p+pq+pq2+pq3+pqk+