余弦定理 教学设计.docx

《余弦定理 教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《余弦定理 教学设计.docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1. 1.2余弦定理”离家加仃课前自主学习，基稳才能楼高预习课本P56,思考并完成以下问题余弦定理的内容是什么？已知三角形的两边及其夹角如何解三角形?已知三角形的三边如何解三角形?新加初探余弦定理余弦定理公式表达a2=b2+c2-2bccos A, 力2=- 2accos_ 尸, +-2 - 2a 力 cos_C余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍推论ft2+c22 cosA2bc,b2cos B-2ac层+从一。2COS C c lab点睛余弦定理的特点适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三

2、条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量.A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 2B a + c cos21 一 2ccos 3+1 +c解析：选B:.a2+c2b2=2a29即层+加=。2, .ABC为直角三角形.4.在A3C 中，AB=59 BC=19 AC=8,贝!J AB-BC-的值为()A. 79B. 69C. 5解析：选D由余弦定理得:cosZABC=ABBC-AC2 52+72-82 12ABBC2X5X7因为向量A3 Ab与BC的夹角为180。- ZABC,所以 45BC = |AB-BC-|co

3、s(180 一 ZABC)= 5X7X(_g=_5.5.在ABC中，AB=29 AC=5“BC+AC-AB2 y2y2解析：V cos C- 2BC*AC = 2 9 ： sn C= 2,：.AD=ACsin C=3.答案：小 n6.在ABC中，4 = 120。，AB=59 BC=7,则半吟的值为.sin Cx解析：由余弦定理可得49=4。+252义5乂4。*0）120。,整理得：AG+5AC 24=0,解得AC=3或AC= -8（舍去），h , *gFpSin 8 AC 3再由正弦正理可行而下=还=不3答案：与7.在ABC中，内角A, B,。的对边分别为，b, c.已知”三誓=笠三求吟的值；

4、、7 sin A,BC=1+小,AO为边3c上的高，则4。的长是(2)若cosB=w，ABC的周长为5,求力的长.解：(1)由正弦定理可设si：a=si：3=si：C=k，2c-a _ 2fcsin C-Isis A _ 2sin C-sin A 如 b - ksin B - sin B所以所以cos A-2cos C 2sin C-sin Acos Bsin B即(cos A2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B9 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C).又 A+b+C=7T,所以 sinC=2sinA,因此因此sin C sin A-由sin Csin A

5、-得c=2a.由余弦定理及COS 8=:,得 b2=a2+c22accos B=a2+4a24a2X-=4a2,所以b=2a.又a+b+c=5,所以q=1,因此方=2.I.一选做题8.在ABC中，已知5C=15, AB ： AC=7 ： 8, sin B=半,求5c边上的高AO的 长.解：由已知设4B=7x, AC=8x.在AbC中，由正弦定理，得卷=赢， SUI V-/ olll JlJ. . 7-in. 7 4V5 小.sinC= 8x =X 7=2，A ZC=60 (ZC=120舍去，否则由8x7x,知3也为钝角，不合要求).再由余弦定理，得2AC8Ccos C, (7x)2=(8x)2

6、 +152-2X8xX 15cos60 ,x28x+15=0, *x=3 或 x=5,：.AB=21 或 A3=35在 RtAADB 中，AD=ABsin B=j-AB9AO=12馅或 AD=20y3.1.判断下列命题是否正确.(正确的打“，错误的打“X”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在ABC中，若q2+c2,则ABC 一定为钝角三角形()(3)在ABC中，已知两边和其夹角时，A3C不唯一()解析：(1)正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形.从+。2 一层(2)正确.当 层2 + 2 时，COS A=775, ：.B=

7、30 .故 C=1800 -A-B=180 -45 -30 =105 .(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正， 角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一.(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例 性质，转化为已知三边求解.活学活用在中，若 a4+/+c4=2c2（a2+2）,则角。=（）A. 60B. 45C. 135D. 45 或 135。工a2+b2c2解析：选D Vcos C=一前一,a4+b4+c42a2 c22b2 c2+2a2 b2cos C=4a2b2Va4+Z4+c4=2c2（a2+ft2）,

8、 a4+Z4+c42c2a22c2b?=0, 2a2 b2 1 .y12 cos C-4a2629 cos C -，：.C=45 或 135。.利用余弦定理判断三 角形形状典例在A3C 中，若 ft2sin2C+ c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断A3C 的形状.解：法一 化角为边将已知等式变形为b2（lcos2C）+c2（l cos2B）=2bccos Bcos C.由余弦定理并整理，得+ 02_方2色+吧三为2+ 02_方2色+吧三为2lablac层 +。2 - R 层 + 力2-。2.A, 2+2-c2)+(a2+c2b2)2 4a4 +c =4=后= A=90。.ABC

9、是直角三角形.法二化边为角由正弦定理，已知条件可化为sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sin Bsin Ceos Bcos C.又 sin Bsin CWO,/ sin Bsin C=cos Bcos C,即 cos(B+C)=0.又丁。B+CcosB=ccos C,试判断A3。的形状.+。2c2+a2Z2a2+b2c2解：由余弦定理知cos ；, cos B=, cos C= ,代入已/c乙 cajLcid知条件得c2a2b22一/一+加 2ca+ 02ab=0，通分得层（力2 +。2 2）+52（2 +。2 力2）+。2（。2 2 力2）= 0,展开整理得（层一A2）2 = c

10、4.，a2 -52 = 。2,即2 =庐+。2或方2 = +。2.根据勾股定理知3c是直角三角形.题型四正、余弦定理的综合应用题点一：利用正、余弦定理解三角形1 . ABC 的内角 A, B,。的对边分别为纵 b, c, asin A+csin C-y2asin C=bsin B.求角3的大小；(2)若A = 75 , b=2,求a, c.解：(1)由正弦定理得2+。2也四=.由余弦定理得b2=a2+c22accos B.J2故cos 5= 9 ,因此5=45.(2)sinA=sin (30 +45 )c c . c c 也十而=sin 30 cos 45 +cos 30 sin 45 =/

11、A故由正弦定理得=。丝吟=1+#. sin Jtf由已知得，C=180 -45 -75 =60 ,c=bc=bsin Csin B=2Xsin 60 _sin 45。=题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式2 .在5c 中,求证 a2sin 2B+Z2sin 2A=2absin C.证明：法一：（化为角的关系式）a2sin 2B+ft2sin 2A = (27?-sin A)2-2sin B-cos B+(27?-sin B)2-2sin A-cos A = 87f2sin A-sinB(sin A-cos 3+cos Asin B)=81?2sin Asin Bsin C=2*2/?s

12、in A-27?sin 3sin C=2absin C.原式得证.法二：（化为边的关系式）左边=必2.Boos 3+庐2sin女统4=凉.养.妇萨十户宾区宏田=荒（层+2一加+52+。2 - 2）=另-。2=2ab三=2absin C=右边, 2kc2K工原式得证.题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用.在ABC中，A, B, C的对边分别为，b, c,且乎=也皆, C4*V（1）求。的大小；如果+=6, CA CB =4,求c的值.像sin A_V3cos C解： sinA-sin。a c:.sin C=V3cos C. /. tan C=小.丁 CA CB =CACB |cos

13、 C=ab9又CiC4=4, ：.ab=8.又。+方=6,由余弦定理知 c2=a2b22abcos C=(a-b)23ab=12f 工c=24.正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180。、大边对大角等.课后层级训练，步步提升能力层级一学业水平达标1 .在A3C中，已知3+b+c)(A+ca)=35c,则角A等于()A. 30B. 60C. 120C. 120D. 150解析：选 B V (b-c)2a2=b2c2+2bca2=3bc9 b2+c2a2=bc9cos A =b2-c2a2 12bc V，A =

14、 60。.2 .在ABC中，若a=8,力=7, cos C=m，则最大角的余弦值是()A. TB. 75oC, 7解析：选c由余弦定理，得c2=a2+2-2abcos C=82+72-2X8X7Xj1=9,所以c=3,故最大，所以最大角的余弦值为+。2 一层 72 + 32 - 821cos A= 2bc= 2X7X3 = TC2 42 力23.在A3C中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若一前一0,贝!)ABC( )A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形C? 5 2解析：选C 由0得一cos C0,/a。所以cosCvO,从而。为

15、钝角，因此A5C一定是钝角三角形.4.若AbC的内角A, B, C所对的边，b, c满足3+6)2。2=4,且C=60 ,则 ab的值为()A.：B. 8-4731 . 1D：J解析：选A 由3+8)2c2=4,得2+52c?+2而=4,由余弦定理得a2+b2c2=42a力cos C= 2。Acos 600 =ab9 则 ab+2而=4,ab=y5 .锐角A3C中，b=l9 c=29则的取值范围是()A. la3B. la5C.yl3a0,即a2V5, /.ac2,即 q23, /. a/3,故事vav4.6 .已知小b, c为ABC的三边，6=120。，则标+。2+砒加=.解析：V Z2=a

16、2+c22ccos B=a2+c22accos 120=a2+c2+ac, a2+c2+acZ2=0.答案：0.在ABC 中，若 b=l, c=巾，C=?,贝！I a=.解析:*/ c2=a2+b22abeos C,/. (-/3)2=a2+122aX 1X cos 空， J/ a2+a_2=0,即(a+2)(a1)=0,a=l,或 q=2(舍去).：.a=.答案：18 .在ABC 中，若 a=2, b+c=7f cos B=则 b=.解析：因为力+c=7,所以c=7一反由余弦定理得：b2=a2+c22accos B,即=4+(7)2-2X2X(7一田X(一?，解得=4.答案：49 .在A8C 中，A + C=2B, a+c=8, ac=15,求儿解：在A8C 中，VA + C=2B, A+B+C=180 ,3=60 .由余弦定理，得 b2=a2+c22accos B=(a+c)2lac2accos B= 82-2X15-2X15X-=19.：.b=y19.10.在ABC中，已知a=7,5=3, c=5,求最大角和sin C.解：.ac6为最大角.由余弦定理的推论，得M + c2一. 32 + 52 - 721cos A=-2bc = 2X3X5 = T又。AbB. aQ9 A a2b29 / ab.io a -c3 .在4BC 中，cos2y=-,则43。是（）