2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）.doc

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1、第 1 页（共 26 页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科）年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标（新课标）一、选择题共一、选择题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项只有一项是符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=x|x=n2，nA，则 AB=（ ）A1，4 B2，3 C9，16D1，22 （5 分）=（ ）A1iB1+iC1+iD1i3 （5 分）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（ ）ABCD

2、4 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay=By=Cy=xDy=5 （5 分）已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x3=1x2，则下列命题中为真命题的是（ ）ApqBpq Cpq Dpq6 （5 分）设首项为 1，公比为的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（ ）ASn=2an1 BSn=3an2 CSn=43anDSn=32an7 （5 分）执行程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于（ ）第 2 页（共 26 页）A3，4 B5，2 C4，3 D2，58 （5 分）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，P

3、为 C 上一点，若|PF|=4，则POF 的面积为（ ）A2B2C2D49 （5 分）函数 f（x）=（1cosx）sinx 在，的图象大致为（ ）ABCD10 （5 分）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=（ ）A10B9C8D511 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 3 页（共 26 页）A16+8B8+8C16+16 D8+1612 （5 分）已知函数 f（x）=，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（ ）A （，0B （，1C2，1 D2，0二填空题：本大题共四小题，每小题

4、二填空题：本大题共四小题，每小题 5 分分13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60， =t +（1t） 若 =0，则 t= 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为 15 （5 分）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB平面 ，H为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为 16 （5 分）设当 x= 时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos= 三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和

5、 Sn满足 S3=0，S5=5（）求an的通项公式；第 4 页（共 26 页）（）求数列的前 n 项和18 （12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2

6、 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若 AB=CB=2，A1C=，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积20 （12 分）已知函数 f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处切线方程为 y=4x+4（）求 a，b

7、 的值；（）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值第 5 页（共 26 页）21 （12 分）已知圆 M：（x+1）2+y2=1，圆 N：（x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B

8、铅笔在答题卡上将所选题铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。号后的方框涂黑。22 （10 分） （选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径23已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2sin（1）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1与 C2交点的极坐标（0，02） 24已知函数 f（x）

9、=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 x，时，f（x）g（x） ，求 a 的取值范围第 6 页（共 26 页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科）年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题共一、选择题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项只有一项是符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=x|x=n2，nA，则 AB=（ ）A1，

10、4 B2，3 C9，16D1，2【分析】由集合 A 中的元素分别平方求出 x 的值，确定出集合 B，找出两集合的公共元素，即可求出交集【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即 B=1，4，9，16，A=1，2，3，4，AB=1，4故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）=（ ）A1iB1+iC1+iD1i【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果【解答】解：=1+i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力3 （5 分）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值

11、为 2 的概率是（ ）ABCD【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 4 个不同的第 7 页（共 26 页）数中随机的抽 2 个，共有 C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2 的有两种，得到概率【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2 个，共有 C42=6 种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2，有 2 种结果，分别是（1，3） ，（2，4） ，要求的概率是 =故选：B【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出

12、正确的结果4 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay=By=Cy=xDy=【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2，而渐近线方程为 y=x，代入可得答案【解答】解：由双曲线 C：（a0，b0） ，则离心率 e=，即 4b2=a2，故渐近线方程为 y=x=x，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题5 （5 分）已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x3=1x2，则下列命题中为真命题的是（ ）第 8 页（共 26 页）ApqBpq Cpq Dpq【分析】举反例说明命题 p 为假命题，则p 为真命题引入辅

13、助函数 f（x）=x3+x21，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题 q 为真命题，由复合命题的真假得到答案【解答】解：因为 x=1 时，2131，所以命题 p：xR，2x3x为假命题，则p 为真命题令 f（x）=x3+x21，因为 f（0）=10，f（1）=10所以函数 f（x）=x3+x21在（0，1）上存在零点，即命题 q：xR，x3=1x2为真命题则pq 为真命题故选：B【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题6 （5 分）设首项为 1，公比为的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（ ）AS

14、n=2an1 BSn=3an2 CSn=43anDSn=32an【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式【解答】解：由题意可得 an=1=，Sn=3=32=32an，故选：D【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题7 （5 分）执行程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于（ ）第 9 页（共 26 页）A3，4 B5，2 C4，3 D2，5【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为 t1 我们可得，分段函数的分类标准，

15、由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式【解答】解：由判断框中的条件为 t1，可得：函数分为两段，即 t1 与 t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即 t1 时，函数的解析式为：s=4tt2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的 t1，3，画出此分段函数在 t1，3时的图象，则输出的 s 属于3，4故选：A第 10 页（共 26 页）【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；根据判断框中的条件，设置分类标准；根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；

16、对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式8 （5 分）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4，则POF 的面积为（ ）A2B2C2D4【分析】根据抛物线方程，算出焦点 F 坐标为（） 设 P（m，n） ，由抛物线的定义结合|PF|=4，算出 m=3，从而得到 n=，得到POF 的边OF 上的高等于 2，最后根据三角形面积公式即可算出POF 的面积【解答】解：抛物线 C 的方程为 y2=4x2p=4，可得=，得焦点 F（）设 P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即 m+=4，解得 m=3点 P 在抛物线 C 上，得 n2=43=

17、24n=第 11 页（共 26 页）|OF|=POF 的面积为 S=|OF|n|=2故选：C【点评】本题给出抛物线 C：y2=4x 上与焦点 F 的距离为 4的点 P，求POF 的面积着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题9 （5 分）函数 f（x）=（1cosx）sinx 在，的图象大致为（ ）ABCD【分析】由函数的奇偶性可排除 B，再由 x（0，）时，f（x）0，可排除A，求导数可得 f（0）=0，可排除 D，进而可得答案【解答】解：由题意可知：f（x）=（1cosx）sin（x）=f（x） ，故函数 f（x）为奇函数，故可排除 B，又因为当 x（0

18、，）时，1cosx0，sinx0，第 12 页（共 26 页）故 f（x）0，可排除 A，又 f（x）=（1cosx）sinx+（1cosx） （sinx）=sin2x+cosxcos2x=cosxcos2x，故可得 f（0）=0，可排除 D，故选：C【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题10 （5 分）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=（ ）A10B9C8D5【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出 cosA 的值，再由 a与 c 的值，利用余弦定理即可求出 b 的

19、值【解答】解：23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A1=0，即 cos2A=，A 为锐角，cosA=，又 a=7，c=6，根据余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即 49=b2+36b，解得：b=5 或 b=（舍去） ，则 b=5故选：D【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 13 页（共 26 页）A16+8B8+8C16+16 D8+16【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积【

20、解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为4长方体的体积=422=16，半个圆柱的体积=224=8所以这个几何体的体积是 16+8；故选：A【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力12 （5 分）已知函数 f（x）=，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（ ）第 14 页（共 26 页）A （，0B （，1C2，1 D2，0【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由

21、导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合可得 a 的范围【解答】解：由题意可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y=x22x，求其导数可得 y=2x2，因为 x0，故 y2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于2 与 0 之间即可，即 a2，0故选：D【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，

22、每小题 5 分分13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60， =t +（1t） 若 =0，则 t= 2 【分析】由于 =0，对式子 =t +（1t） 两边与 作数量积可得=0，经过化简即可得出第 15 页（共 26 页）【解答】解：，=0，tcos60+1t=0，1=0，解得 t=2故答案为 2【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为 3 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可【解答】解：不等式组表示的平面区域

23、如图所示，由得 A（3，3） ，z=2xy 可转换成 y=2xz，z 最大时，y 值最小，即：当直线 z=2xy 过点 A（3，3）时，在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值 3故答案为：3【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15 （5 分）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB平面 ，H第 16 页（共 26 页）为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为 【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为 R，根据题意知由与球心距离为R 的平面截球所得的截面圆的面积是 ，我们易求出截面圆的半径为 1，

24、根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积【解答】解：设球的半径为 R，AH：HB=1：2，平面 与球心的距离为R， 截球 O 所得截面的面积为 ，d=R 时，r=1，故由 R2=r2+d2得 R2=12+（R）2，R2=球的表面积 S=4R2=故答案为：【点评】若球的截面圆半径为 r，球心距为 d，球半径为 R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即 R2=r2+d216 （5 分）设当 x= 时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos= 【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公

25、式化为一个角的正弦函数，由 x= 时，函数 f（x）取得最大值，得到 sin2cos=，与sin2+cos2=1 联立即可求出 cos 的值【解答】解：f（x）=sinx2cosx=（sinxcosx）=sin（x） （其中cos=，sin=） ，x= 时，函数 f（x）取得最大值，sin（）=1，即 sin2cos=，第 17 页（共 26 页）又 sin2+cos2=1，联立得（2cos+）2+cos2=1，解得 cos=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键三三.解答题：解答应写出文字说明，证

26、明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0，S5=5（）求an的通项公式；（）求数列的前 n 项和【分析】 （）设出等差数列an的首项和公差，直接由 S3=0，S5=5 列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（）把（）中求出的通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列的前 n 项和【解答】解：（）设数列an的首项为 a1，公差为 d，则由已知可得，即，解得 a1=1，d=1，故an的通项公式为 an=a1+（n1）d=1+（n1）（1）=2n；（）由（）知从而数列的前 n 项和S

27、n=【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题第 18 页（共 26 页）18 （12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3

28、.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【分析】 （）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成【解答】解：（）设 A 药观测数据的平均数据的平均数为 ，设 B 药观测数据的平均数据的平均数为 ，则=（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.

29、5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6由以上计算结果可知：由此可看出 A 药的效果更好（）根据两组数据得到下面茎叶图：第 19 页（共 26 页）从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在 2，3 上而 B药疗效的试验结果由的叶集中在 0，1 上由此可看出 A 药的疗效更好【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB

30、，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若 AB=CB=2，A1C=，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积【分析】 （）由题目给出的边的关系，可想到去 AB 中点 O，连结 OC，OA1，可通过证明 AB平面 OA1C 得要证的结论；（）在三角形 OCA1中，由勾股定理得到 OA1OC，再根据 OA1AB，得到OA1为三棱柱 ABCA1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积【解答】 （）证明：如图，取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B因为 CA=CB，所以 OCAB由于 AB=AA1，故AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB因为 OCOA1

31、=O，所以 AB平面 OA1C又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C；第 20 页（共 26 页）（）解：由题设知ABC 与AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以又，则，故 OA1OC因为 OCAB=O，所以 OA1平面 ABC，OA1为三棱柱 ABCA1B1C1的高又ABC 的面积，故三棱柱 ABCA1B1C1的体积【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题20 （12 分）已知函数 f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处切线方程为 y=4x+4（）求 a，b 的值；（）讨论

32、 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值【分析】 （）求导函数，利用导数的几何意义及曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处切线方程为 y=4x+4，建立方程，即可求得 a，b 的值；（）利用导数的正负，可得 f（x）的单调性，从而可求 f（x）的极大值【解答】解：（）f（x）=ex（ax+b）x24x，f（x）=ex（ax+a+b）2x4，曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处切线方程为 y=4x+4f（0）=4，f（0）=4b=4，a+b=8第 21 页（共 26 页）a=4，b=4；（）由（）知，f（x）=4ex（x+1）x24x，f（x）=4ex（x+2）2x4=4（x+2）（

33、ex） ，令 f（x）=0，得 x=ln2 或 x=2x（，2）或（ln2，+）时，f（x）0；x（2，ln2）时，f（x）0f（x）的单调增区间是（，2） ， （ln2，+） ，单调减区间是（2，ln2）当 x=2 时，函数 f（x）取得极大值，极大值为 f（2）=4（1e2） 【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键21 （12 分）已知圆 M：（x+1）2+y2=1，圆 N：（x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l

34、与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|【分析】 （I）设动圆的半径为 R，由已知动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y） ，由于|PM|PN|=2R242=2，所以R2，当且仅当P 的圆心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4分l 的倾斜角为 90，此时 l 与 y 轴重合，可得|AB|若 l 的倾斜角不为 90，由于M 的半径 1R，可知 l 与 x

35、 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为Q，根据，可得 Q（4，0） ，所以可设 l：y=k（x+4） ，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出第 22 页（共 26 页）【解答】解：（I）由圆 M：（x+1）2+y2=1，可知圆心 M（1，0） ；圆N：（x1）2+y2=9，圆心 N（1，0） ，半径 3设动圆的半径为 R，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，a=2，c=1，b2=a2c2=3曲线 C 的方程为（x2） （II）设曲线 C

36、 上任意一点 P（x，y） ，由于|PM|PN|=2R231=2，所以 R2，当且仅当P 的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|=若 l 的倾斜角不为 90，由于M 的半径 1R，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则，可得 Q（4，0） ，所以可设 l：y=k（x+4） ，由 l 于 M 相切可得：，解得当时，联立，得到 7x2+8x8=0，|AB|=由于对称性可知：当时，也有|AB|=综上可知：|AB|=或第 23 页（共 26 页）【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆

37、相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。号后的方框涂黑。22 （10 分） （选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点

38、 E，DB 垂直 BE 交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径【分析】 （I）连接 DE 交 BC 于点 G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分线可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知 DBBE，可知 DE 为O 的直径，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB（II）由（I）可知：DG 是 BC 的垂直平分线，即可得到 BG=设 DE 的中点为 O，连接 BO，可得BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30得到CFBF进而得到 RtBCF 的外接圆的半径=【解答

39、】 （I）证明：连接 DE 交 BC 于点 G由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE又DBBE，DE 为O 的直径，DCE=90第 24 页（共 26 页）DBEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC故 DG 是 BC 的垂直平分线，BG=设 DE 的中点为 O，连接 BO，则BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30CFBFRtBCF 的外接圆的半径=【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力23已知曲线 C1的参数方程为

40、（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2sin（1）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1与 C2交点的极坐标（0，02） 【分析】 （1）曲线 C1的参数方程消去参数 t，得到普通方程，再由，能求出 C1的极坐标方程（2）曲线 C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与 C1的普通方程联立，求出 C1与 C2交点的直角坐标，由此能求出 C1与 C2交点的极坐标【解答】解：（1）将，消去参数 t，化为普通方程（x4）2+（y5）2=25，即 C1：x2+y28x10y+16=0，第 25 页（共 26 页）将代入 x2+y28x10

41、y+16=0，得 28cos10sin+16=0C1的极坐标方程为 28cos10sin+16=0（2）曲线 C2的极坐标方程为 =2sin曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y22y=0，联立，解得或，C1与 C2交点的极坐标为（）和（2，） 【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题24已知函数 f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 x，时，f（x）

42、g（x） ，求 a 的取值范围【分析】 （）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30设 y=|2x1|+|2x2|x3，画出函数 y 的图象，数形结合可得结论（）不等式化即 1+ax+3，故 xa2 对 x，都成立，分析可得a2，由此解得 a 的取值范围【解答】解：（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30第 26 页（共 26 页）设 y=|2x1|+|2x2|x3，则 y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y0 的解集为（0，2） ，故原不等式的解集为（0，2） （）设 a1，且当 x，时，f（x）=1+a，不等式化为 1+ax+3，故 xa2 对 x，都成立故a2，解得 a，故 a 的取值范围为（1，【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式