2013年上海市高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 22 页）2013 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 14 题，满分题，满分 56 分）分） ，考生应在答题纸相应编号的空格，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1 （4 分）不等式0 的解为 2 （4 分）在等差数列an中，若 a1+a2+a3+a4=30，则 a2+a3= 3 （4 分）设 mR，m2+m2+（m21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= 4 （4 分）已知，则 y= 5 （4 分）已知AB

2、C 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若a2+ab+b2c2=0，则角 C 的大小是 6 （4 分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 7 （4 分）设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中 x7项的系数为10，则 a= 8 （4 分）方程的实数解为 9 （4 分）若 cosxcosy+sinxsiny=，则 cos（2x2y）= 10 （4 分）已知圆柱 的母线长为 l，底面半径为 r，O 是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线 OA 与 BC 所

3、成角的大小为，则= 11 （4 分）盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）12 （4 分）设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且CBA=，若 AB=4，BC=第 2 页（共 22 页），则 的两个焦点之间的距离为 13 （4 分）设常数 a0，若 9x+对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为 14 （4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若 i，j，k，l1，2，3，且 ij，kl，则的最小值是

4、 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律分，否则一律得零分得零分15 （5 分）函数 f（x）=x21（x0）的反函数为 f1（x） ，则 f1（2）的值是（ ）ABC1+D116 （5 分）设常数 aR，集合 A=x|（x1） （xa）0，B=x|xa1，若AB=R，则 a 的取值范围为（ ）A （，2）B （，2C （2，+）D2，+）17 （5 分）钱大姐常说“

5、好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件18 （5 分）记椭圆围成的区域（含边界）为 n（n=1，2，） ，当点（x，y）分别在 1，2，上时，x+y 的最大值分别是 M1，M2，则Mn=（ ）A0BC2D2第 3 页（共 22 页）三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤号的规定区域内写出必要的步骤19 （12 分）如图，正三棱锥 OABC 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及表

6、面积20 （14 分）甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10） ，每一小时可获得的利润是 100（5x+1）元（1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a（5+）元；（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润21 （14 分）已知函数 f（x）=2sin（x） ，其中常数 0（）令 =1，判断函数的奇偶性，并说明理由（） 令 =2，将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）的图象对任意 aR，求 y=g（x）在区间a，a+10上的零点个数的所有可能22 （1

7、6 分）已知函数 f（x）=2|x|，无穷数列an满足 an+1=f（an） ，nN*（1）若 a1=0，求 a2，a3，a4；（2）若 a10，且 a1，a2，a3成等比数列，求 a1的值（3）是否存在 a1，使得 a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1，若不存在，说明理由23 （18 分）如图，已知双曲线 C1：，曲线 C2：|y|=|x|+1，P 是平面内一点，若存在过点 P 的直线与 C1，C2都有公共点，则称 P 为“C1C2型点”第 4 页（共 22 页）（1）在正确证明 C1的左焦点是“C1C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不

8、要求验证） ；（2）设直线 y=kx 与 C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1C2型点”；（3）求证：圆 x2+y2=内的点都不是“C1C2型点”第 5 页（共 22 页）2013 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 14 题，满分题，满分 56 分）分） ，考生应在答题纸相应编号的空格，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1 （4 分）不等式0 的解为 0x 【分析】根据两数相除商为负

9、，得到 x 与 2x1 异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集【解答】解：原不等式化为或，解得：0x，故答案为：0x【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题2 （4 分）在等差数列an中，若 a1+a2+a3+a4=30，则 a2+a3= 15 【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得 a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求 a2+a3【解答】解：因为数列an是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由 a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则 a2+a3=15故答案为

10、：15【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若 m，n，p，q，tN*，且m+n=p+q=2t，则 am+an=ap+aq=2at，此题是基础题3 （4 分）设 mR，m2+m2+（m21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= 2 第 6 页（共 22 页）【分析】根据纯虚数的定义可得 m21=0，m210，由此解得实数 m 的值【解答】解：复数 z=（m2+m2）+（m1）i 为纯虚数，m2+m2=0，m210，解得 m=2，故答案为：2【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m2=0，m210，是解题的关键，属于基础题4 （4 分）已知，则 y= 1 【分析】利用二

11、阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解 y 即可【解答】解：由已知，所以 x2=0，xy=1所以 x=2，y=1故答案为：1【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题5 （4 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若a2+ab+b2c2=0，则角 C 的大小是 【分析】利用余弦定理表示出 cosC，将已知等式变形后代入求出 cosC 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数【解答】解：a2+ab+b2c2=0，即 a2+b2c2=ab，cosC=，C 为三角形的内角，C=故答案为：第 7 页（共 22

12、 页）【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6 （4 分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 【分析】设该年级男生有 x 人，女生有 y 人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数【解答】解：设该班男生有 x 人，女生有 y 人，这次考试

13、该年级学生平均分数为 a根据题意可知：75x+80y=（x+y）a，且=40%所以 a=78，则这次考试该年级学生平均分数为 78故答案为：78【点评】本题主要考查了平均数解答此题的关键：设该班男生有 x 人，女生有 y 人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题7 （4 分）设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中 x7项的系数为10，则 a= 2 【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第 r+1 项，令 x 的指数为 7 求得 x7的系数，列出方程求解即可【解答】解：的展开式的通项为 Tr+1=C5rx102r（）r=C5rx103rar令 1

14、03r=7 得 r=1，x7的系数是 aC51第 8 页（共 22 页）x7的系数是10，aC51=10，解得 a=2故答案为：2【点评】本题主要考查了二项式系数的性质二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具8 （4 分）方程的实数解为 log34 【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数 x 的取值【解答】解：令 t=3x（t0）则原方程可化为：（t1）2=9（t0）t1=3，t=4，即 x=log34 可满足条件即方程的实数解为 log34故答案为：log34【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程

15、是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断9 （4 分）若 cosxcosy+sinxsiny=，则 cos（2x2y）= 【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出 cos（xy）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将 cos（xy）的值代入计算即可求出值【解答】解：cosxcosy+sinxsiny=cos（xy）=，cos（2x2y）=cos2（xy）=2cos2（xy）1=第 9 页（共 22 页）故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键10 （4 分）已知圆柱 的母线长为 l，

16、底面半径为 r，O 是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线 OA 与 BC 所成角的大小为，则= 【分析】过 A 作与 BC 平行的母线 AD，由异面直线所成角的概念得到OAD 为在直角三角形 ODA 中，直接由得到答案【解答】解：如图，过 A 作与 BC 平行的母线 AD，连接 OD，则OAD 为直线OA 与 BC 所成的角，大小为在直角三角形 ODA 中，因为，所以则故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题11 （4 分）盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶

17、数的概率是 （结果用最简分数表示）【分析】从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，两球编号之积为偶数包括均为第 10 页（共 22 页）偶数、一奇一偶两种情况，有=15 种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案【解答】解：从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15 种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=故答案为：【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中 n（A）为事件 A 所包含的基本事件数，m 为基本事件总数12 （4 分）设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且CBA

18、=，若 AB=4，BC=，则 的两个焦点之间的距离为 【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出 C 的坐标，再根据点 C 在椭圆上求得 b 值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2CBA=，BC=，点 C 的坐标为 C（1，1） ，因点 C 在椭圆上，b2=，c2=a2b2=4=，c=，第 11 页（共 22 页）则 的两个焦点之间的距离为 故答案为：【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用13 （4 分）设常数 a0，若 9x+对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范

19、围为 ，+） 【分析】由题设数 a0，若 9x+对一切正实数 x 成立可转化为（9x+）mina+1，利用基本不等式判断出 9x+6a，由此可得到关于 a 的不等式，解之即可得到所求的范围【解答】解：常数 a0，若 9x+a+1 对一切正实数 x 成立，故（9x+）mina+1，又 9x+6a，当且仅当 9x=，即 x=时，等号成立故必有 6aa+1，解得 a故答案为，+）【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14 （4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，记以 A 为起点，其余顶点为终点的第 12 页（共 22 页）向量分别为；以 C 为

20、起点，其余顶点为终点的向量分别为，若 i，j，k，l1，2，3，且 ij，kl，则的最小值是 5 【分析】如图建立直角坐标系不妨记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为，以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为，再分类讨论当 i，j，k，l 取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值【解答】解：不妨记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为，以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为，如图建立坐标系（1）当 i=1，j=2，k=1，l=2 时，则=（1，0）+（1，1）（1，0）+（1，1）=5；（2）当 i=1，j=2，k=1，l=3 时，则=（1，0）+（1，1）（

21、1，0）+（0，1）=3；（3）当 i=1，j=2，k=2，l=3 时，则=（1，0）+（1，1）（1，1）+（0，1）=4；（4）当 i=1，j=3，k=1，l=2 时，则=（1，0）+（0，1）（1，0）+（1，1）=3；同样地，当 i，j，k，l 取其它值时，=5，4，或3则的最小值是5故答案为：5第 13 页（共 22 页）【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生分）每题

22、有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律分，否则一律得零分得零分15 （5 分）函数 f（x）=x21（x0）的反函数为 f1（x） ，则 f1（2）的值是（ ）ABC1+D1【分析】根据反函数的性质，求 f1（2）的问题可以变为解方程2=x21（x0） 【解答】解：由题意令 2=x21（x0） ，解得 x=所以 f1（2）=故选：A【点评】本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题16 （5 分）设常数 aR，集合 A=x|（x1） （xa）0，B=x

23、|xa1，若AB=R，则 a 的取值范围为（ ）A （，2）B （，2C （2，+）D2，+）第 14 页（共 22 页）【分析】当 a1 时，代入解集中的不等式中，确定出 A，求出满足两集合的并集为 R 时的 a 的范围；当 a=1 时，易得 A=R，符合题意；当 a1 时，同样求出集合 A，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集得到 a 的范围综上，得到满足题意的 a 范围【解答】解：当 a1 时，A=（，1a，+） ，B=a1，+） ，若 AB=R，则 a11，1a2；当 a=1 时，易得 A=R，此时 AB=R；当 a1 时，A=（，a1，+） ，B=a1，+） ，若 AB=R，则

24、a1a，显然成立，a1；综上，a 的取值范围是（，2故选：B【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键17 （5 分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件【分析】 “好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若 pq 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件结论故“好货”是“不便宜”的充分条件故选：A【点评】本题考查了必要条

25、件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题第 15 页（共 22 页）18 （5 分）记椭圆围成的区域（含边界）为 n（n=1，2，） ，当点（x，y）分别在 1，2，上时，x+y 的最大值分别是 M1，M2，则Mn=（ ）A0BC2D2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（ 为参数） ，再由三角函数知识求 x+y 的最大值，从而求出极限的值【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（ 为参数） ，x+y=2cos+sin，（x+y）max=Mn=2故选：D【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用三、解答题（本大题共有三、解答题（

26、本大题共有 5 题，满分题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤号的规定区域内写出必要的步骤19 （12 分）如图，正三棱锥 OABC 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及表面积第 16 页（共 22 页）【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥 OABC 的底面边长为 2，高为 1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积【解答】解：OABC 是正三棱锥，其底面三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形，其面积为，该三棱锥的体积=；设 O是正三角形 ABC 的中心，则 OO平面 ABC，延长 AO交 BC 于 D则

27、 AD=，OD=，又 OO=1，三棱锥的斜高 OD=，三棱锥的侧面积为=2，该三棱锥的表面积为【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题20 （14 分）甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10） ，每一小时可获得的利润是 100（5x+1）元（1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a（5+）元；（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速第 17 页（共 22 页）度？并求此最大利润【分析】 （1）由题意可得生产 a 千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是

28、 100（5x+1）元，即可得到生产 a 千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产 1 千克所获得的利润为 90000（5+） ，1x10进而得到生产 900 千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）生产 a 千克该产品所用的时间是小时，每一小时可获得的利润是 100（5x+1）元，获得的利润为 100（5x+1）元因此生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a（5+）元（2）生产 900 千克该产品获得的利润为 90000（5+） ，1x10设 f（x）=，1x10则 f（x）=，当且仅当 x=6 取得最大值故获得最大利润为=457500 元因此甲

29、厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润 457500 元【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键21 （14 分）已知函数 f（x）=2sin（x） ，其中常数 0（）令 =1，判断函数的奇偶性，并说明理由（） 令 =2，将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）的图象对任意 aR，求 y=g（x）在区间a，a+10上的零点个数的所有可能【分析】 （1）特值法：=1 时，写出 f（x） 、F（x） ，求出 F（） 、F（） ，第 18 页（共 22 页）结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出 g（

30、x） ，令 g（x）=0 可得 g（x）可能的零点，而a，a+10恰含 10 个周期，分 a 是零点，a 不是零点两种情况讨论，结合图象可得 g（x）在a，a+10上零点个数的所有可能值；【解答】解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx） ，F（）=2，F（）=0，F（）F（） ，F（）F（） ，所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）f（x）=2sin2x，将 y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位后得到 y=2sin2（x+）+1 的图象，所以 g（x）=2sin2（x+）+1令 g（x）=

31、0，得 x=k+或 x=k+（kz） ，因为a，a+10恰含 10 个周期，所以，当 a 是零点时，在a，a+10上零点个数 21，当 a 不是零点时，a+k（kz）也都不是零点，区间a+k，a+（k+1）上恰有两个零点，故在a，a+10上有 20 个零点综上，y=g（x）在a，a+10上零点个数的所有可能值为 21 或 20【点评】本题考查函数 y=Asin（x+）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键22 （16 分）已知函数 f（x）=2|x|，无穷数列an满足 an+1=f（an） ，nN*（1）若 a1=0，求 a2，

32、a3，a4；（2）若 a10，且 a1，a2，a3成等比数列，求 a1的值（3）是否存在 a1，使得 a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1，若不存在，说明理由【分析】 （1）由题意代入式子计算即可；（2）把 a2，a3表示为 a1的式子，通过对 a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，第 19 页（共 22 页）根据 a1，a2，a3成等比数列可得关于 a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则 a1，a2，a3成等差数列，即 2a2=a1+a3，亦即2a1+|2|a1|=2|a1|（*） ，分情况当 a12 时当 0a12 时当 a10 时讨论，由（*）式可求得

33、a1进行判断；当 a10 时，由公差 d2 可得矛盾；【解答】解：（1）由题意，代入计算得 a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2|a1|=2a1，a3=2|a2|=2|2a1|，当 0a12 时，a3=2（2a1）=a1，所以，得 a1=1；当 a12 时，a3=2（a12）=4a1，所以，得（舍去）或综合得 a1=1 或（3）假设这样的等差数列存在，那么 a2=2|a1|，a3=2|2|a1|，由 2a2=a1+a3得 2a1+|2|a1|=2|a1|（*） ，以下分情况讨论：当 a12 时，由（*）得 a1=0，与 a12 矛盾；当 0a12 时，由（*）得 a1=1，从而 an=

34、1（n=1，2，） ，所以an是一个等差数列；当 a10 时，则公差 d=a2a1=（a1+2）a1=20，因此存在 m2 使得 am=a1+2（m1）2，此时 d=am+1am=2|am|am0，矛盾综合可知，当且仅当 a1=1 时，a1，a2，an，成等差数列【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大23 （18 分）如图，已知双曲线 C1：，曲线 C2：|y|=|x|+1，P 是平面第 20 页（共 22 页）内一点，若存在过点 P 的直线与 C1，C2都有公共点，则称 P 为“C1C2型点”（1

35、）在正确证明 C1的左焦点是“C1C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证） ；（2）设直线 y=kx 与 C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1C2型点”；（3）求证：圆 x2+y2=内的点都不是“C1C2型点”【分析】 （1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（） ，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线 y=kx 与 C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与 C1

36、和 C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线 y=x1 与 y=x1 之间，进而说明当|k|1 时过圆内的点且斜率为 k 的直线与 C2无公共点，当|k|1 时，过圆内的点且斜率为 k 的直线与 C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出 k 的范围，结果与|k|1 矛盾从而证明了结论【解答】 （1）解：C1的左焦点为（） ，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中（2）证明：因为直线 y=kx 与 C2有公共点，第 21 页（共 22 页）所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得若原点是“C1C2型点”，则存在过原点的直线与 C1、C2都有公共点考虑过原点与 C

37、2有公共点的直线 x=0 或 y=kx（|k|1） 显然直线 x=0 与 C1无公共点如果直线为 y=kx（|k|1） ，则由方程组，得，矛盾所以直线 y=kx（|k|1）与 C1也无公共点因此原点不是“C1C2型点”（3）证明：记圆 O：，取圆 O 内的一点 Q，设有经过 Q 的直线 l 与C1，C2都有公共点，显然 l 不与 x 轴垂直，故可设 l：y=kx+b若|k|1，由于圆 O 夹在两组平行线 y=x1 与 y=x1 之间，因此圆 O 也夹在直线 y=kx1 与 y=kx1 之间，从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2无公共点，矛盾，所以|k|1因为 l 与 C1由公共点，

38、所以方程组有实数解，得（12k2）x24kbx2b22=0因为|k|1，所以 12k20，因此=（4kb）24（12k2） （2b22）=8（b2+12k2）0，即 b22k21因为圆 O 的圆心（0，0）到直线 l 的距离，所以，从而，得 k21，与|k|1 矛盾第 22 页（共 22 页）因此，圆内的点不是“C1C2型点”【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法属难题