2015年四川省高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 22 页）2015 年四川省高考数学试卷（文科）年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 M=x|1x2，集合 N=x|1x3，则 MN=（ ）Ax|1x3Bx|1x2Cx|1x3Dx|1x22 （5 分）设向量 =（2，4）与向量 =（x，6）共线，则实数 x=（ ）A2B3C4D63 （5 分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差

2、异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A抽签法 B系统抽样法 C分层抽样法 D随机数法4 （5 分）设 a，b 为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx6 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ）第 2 页（共 22 页）ABCD7 （5 分）过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直

3、线，交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|=（ ）AB2C6D48 （5 分）某食品保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：）满足函数关系 y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b 为常数） 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是（ ）A16 小时 B20 小时 C24 小时 D28 小时9 （5 分）设实数 x，y 满足，则 xy 的最大值为（ ）ABC12D1610 （5 分）设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点 M，且 M 为

4、线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（ ）A （1，3）B （1，4）C （2，3） D （2，4）第 3 页（共 22 页）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数 i= 12 （5 分）lg0.01+log216 的值是 13 （5 分）已知 sin+2cos=0，则 2sincoscos2 的值是 14 （5 分）在三棱住 ABCA1B1C1中，BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设 M，N

5、，P 分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是 15 （5 分）已知函数 f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中 aR） 对于不相等的实数x1、x2，设 m=，n=现有如下命题：对于任意不相等的实数 x1、x2，都有 m0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、x2，都有 n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x2，使得 m=n；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x2，使得 m=n其中的真命题有 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证

6、明过程或演算步骤算步骤16 （12 分）设数列an（n=1，2，3）的前 n 项和 Sn，满足 Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn17 （12 分）一辆小客车上有 5 名座位，其座号为 1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为 1，2，3，4，5他们按照座位号顺序先后上车，乘客 P1因身体原因没有坐自己 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位如果自己的座位已第 4 页（共 22 页）有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位（）

7、若乘客 P1坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P53214532451座位号（）若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 P5坐到 5 号座位的概率18 （12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示（）请按字母 F，G，H 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（）判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系并说明你的结论（）证明：直线 DF平面 BEG19 （12 分）已知 A、B、C 为ABC 的内角，tanA，tanB

8、是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求 C 的大小（）若 AB=3，AC=，求 p 的值20 （13 分）如图，椭圆 E：=1（ab0）的离心率是，点P（0，1）在短轴 CD 上，且=1第 5 页（共 22 页）（）求椭圆 E 的方程；（）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点是否存在常数 ，使得+为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由21 （14 分）已知函数 f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中 a0（）设 g（x）是 f（x）的导函数，讨论 g（x）的单调性；（）证明：存在 a（0，1） ，使得 f（x）0 恒成立，且 f（x）=0

9、在区间（1，+）内有唯一解第 6 页（共 22 页）2015 年四川省高考数学试卷（文科）年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 M=x|1x2，集合 N=x|1x3，则 MN=（ ）Ax|1x3Bx|1x2Cx|1x3Dx|1x2【分析】根据并集的定义解答即可【解答】解：根据并集的定义知：MN=x|1x3，故选：A【点评】本题考查了并集运算，熟练掌

10、握并集的定义是解题的关键2 （5 分）设向量 =（2，4）与向量 =（x，6）共线，则实数 x=（ ）A2B3C4D6【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出 x【解答】解；因为向量 =（2，4）与向量 =（x，6）共线，所以 4x=26，解得 x=3；故选：B【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量 =（x，y）与向量 =（m，n）共线，那么 xn=ym3 （5 分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A抽签法 B系统抽样法 C分层抽样法 D随机数法【分析

11、】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，第 7 页（共 22 页）而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题4 （5 分）设 a，b 为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】先求出 log2alog2b0 的充要条件，再和 ab1 比较，从而求出答案【解答】解：若 log2alog2b0

12、，则 ab1，故“ab1”是“log2alog2b0”的充要条件，故选：A【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题5 （5 分）下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可【解答】解：y=cos（2x+）=sin2x，是奇函数，函数的周期为：，满足题意，所以 A 正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：，不满足题意，所以 B 不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+） ，函数是非奇非

13、偶函数，周期为 ，所以 C 不正确；y=sinx+cosx=sin（x+） ，函数是非奇非偶函数，周期为 2，所以 D 不正确；第 8 页（共 22 页）故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力6 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ）ABCD【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k 的值，当 k=5 时满足条件 k4，计算并输出 S 的值为【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件 k4，k=3不满足条件 k4，k=4不满足条件 k4，k=5满足条件 k4，S=sin=，输出 S 的值为故选：D【

14、点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题第 9 页（共 22 页）7 （5 分）过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|=（ ）AB2C6D4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出 AB 的方程，得到 AB 坐标，即可求解|AB|【解答】解：双曲线 x2=1 的右焦点（2，0） ，渐近线方程为 y=，过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，x=2，可得 yA=2，yB=2，|AB|=4故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用8 （5 分）某食品保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单

15、位：）满足函数关系 y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b 为常数） 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是（ ）A16 小时 B20 小时 C24 小时 D28 小时【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出 ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解 e33k+b即可【解答】解：y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b 为常数） 当 x=0 时，eb=192，当 x=22 时 e22k+b=48，e22k=第 10 页（共 22 页）e11k=eb=192当 x=

16、33 时，e33k+b=（ek）33（eb）=（）3192=24故选：C【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解9 （5 分）设实数 x，y 满足，则 xy 的最大值为（ ）ABC12D16【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知 y102x，则 xyx（102x）=2x（5x） ）2（）2=，当且仅当 x=，y=5 时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故 xy 的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决第 11 页（共 22 页）本题的关

17、键10 （5 分）设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（ ）A （1，3）B （1，4）C （2，3） D （2，4）【分析】先确定 M 的轨迹是直线 x=3，代入抛物线方程可得 y=2，所以交点与圆心（5，0）的距离为 4，即可得出结论【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ，斜率存在时，设斜率为 k，则 y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2） （y1y2）=4（x1x2） ，当 l 的斜率

18、存在时，利用点差法可得 ky0=2，因为直线与圆相切，所以=，所以 x0=3，即 M 的轨迹是直线 x=3将 x=3 代入 y2=4x，得 y2=12，2，M 在圆上，（x05）2+y02=r2，r2=y02+412+4=16，直线 l 恰有 4 条，y00，4r216，故 2r4 时，直线 l 有 2 条；斜率不存在时，直线 l 有 2 条；所以直线 l 恰有 4 条，2r4，故选：D【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）

19、设 i 是虚数单位，则复数 i= 2i 第 12 页（共 22 页）【分析】直接利用复数的运算法则求解即可【解答】解：复数 i=i=i+i=2i故答案为：2i【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力12 （5 分）lg0.01+log216 的值是 2 【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【解答】解：lg0.01+log216=2+4=2故答案为：2【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力13 （5 分）已知 sin+2cos=0，则 2sincoscos2 的值是 1 【分析】已知等式移项变形求出 tan 的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将 tan 的值代入计

20、算即可求出值【解答】解：sin+2cos=0，即 sin=2cos，tan=2，则原式=1，故答案为：1【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14 （5 分）在三棱住 ABCA1B1C1中，BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设 M，N，P 分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥 PAMN 的体积即可第 13 页（共 22 页）【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰

21、直角三角形直角边长为 1，高为 1 的直三棱柱，底面积为，所求三棱锥的高为NP=1，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的，所求三棱锥 PA1MN 的体积是：=故答案为：【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力15 （5 分）已知函数 f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中 aR） 对于不相等的实数x1、x2，设 m=，n=现有如下命题：对于任意不相等的实数 x1、x2，都有 m0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、x2，都有 n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x2，使得 m=n；对于任意

22、的 a，存在不相等的实数 x1、x2，使得 m=n其中的真命题有 （写出所有真命题的序号） 【分析】运用指数函数的单调性，即可判断；由二次函数的单调性，即可判断；通过函数 h（x）=x2+ax2x，求出导数判断单调性，即可判断；通过函数 h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断【解答】解：对于，由于 21，由指数函数的单调性可得 f（x）在 R 上递增，第 14 页（共 22 页）即有 m0，则正确；对于，由二次函数的单调性可得 g（x）在（，）递减，在（，+）递增，则 n0 不恒成立，则错误；对于，由 m=n，可得 f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2） ，即为 g（x1

23、）f（x1）=g（x2）f（x2） ，考查函数 h（x）=x2+ax2x，h（x）=2x+a2xln2，当 a，h（x）小于 0，h（x）单调递减，则错误；对于，由 m=n，可得 f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2），考查函数 h（x）=x2+ax+2x，h（x）=2x+a+2xln2，对于任意的 a，h（x）不恒大于 0 或小于 0，则正确故答案为：【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演

24、算步骤算步骤16 （12 分）设数列an（n=1，2，3）的前 n 项和 Sn，满足 Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn【分析】 （）由条件 Sn满足 Sn=2ana1，求得数列an为等比数列，且公比q=2；再根据 a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列an的通项公式（）由于=，利用等比数列的前 n 项和公式求得数列的前 n 项和Tn第 15 页（共 22 页）【解答】解：（）由已知 Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1（n2） ，即 an=2an1（n2） ，从而 a2=2a1

25、，a3=2a2=4a1又因为 a1，a2+1，a3成等差数列，即 a1+a3=2（a2+1）所以 a1+4a1=2（2a1+1） ，解得：a1=2所以，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列故 an=2n（）由（）得=，所以 Tn=+=1【点评】本题主要考查数列的前 n 项和与第 n 项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前 n 项和公式，属于中档题17 （12 分）一辆小客车上有 5 名座位，其座号为 1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为 1，2，3，4，5他们按照座位号顺序先后上车，乘客 P1因身体原因没有坐自己 1 号座位，这时司机要求余下的

26、乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位（）若乘客 P1坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P53214532451座位号3 2 4 1 5 第 16 页（共 22 页）3 2 5 4 1 （）若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 P5坐到 5 号座位的概率【分析】 （）根据题意，可以完成表格；（）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客 P1坐到 5 号座位的概率【解答】

27、解：（）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5321453245132415座位号32541（）若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客 P1 P2 P3 P4 P52 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5 1座位号2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共 8 种，设“乘客 P5坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4，所以P（A）=答：乘客 P5坐到 5 号座位的概率是【点评】本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是

28、关键第 17 页（共 22 页）18 （12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示（）请按字母 F，G，H 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（）判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系并说明你的结论（）证明：直线 DF平面 BEG【分析】 （）直接标出点 F，G，H 的位置（）先证 BCHE 为平行四边形，可知 BE平面 ACH，同理可证 BG平面ACH，即可证明平面 BEG平面 ACH（）连接 FH，由 DHEG，又 DHEG，EGFH，可证 EG平面 BFHD，从而可证 DFEG，同理 DFBG，即可证明 DF平面 BEG【解答】解：（）点 F，G，H

29、 的位置如图所示（）平面 BEG平面 ACH，证明如下：ABCDEFGH 为正方体，BCFG，BC=EH，又 FGEH，FG=EH，BCEH，BC=EH，BCHE 为平行四边形BECH，又 CH平面 ACH，BE平面 ACH，BE平面 ACH，同理 BG平面 ACH，第 18 页（共 22 页）又 BEBG=B，平面 BEG平面 ACH（）连接 FH，ABCDEFGH 为正方体，DHEG，又EG平面 EFGH，DHEG，又 EGFH，EGFH=O，EG平面 BFHD，又 DF平面 BFHD，DFEG，同理 DFBG，又EGBG=G，DF平面 BEG【点评】本题主要考查了简单空间图形的直观图、空

30、间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题19 （12 分）已知 A、B、C 为ABC 的内角，tanA，tanB 是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求 C 的大小（）若 AB=3，AC=，求 p 的值第 19 页（共 22 页）【分析】 （）由判别式=3p2+4p40，可得 p2，或 p，由韦达定理，有 tanA+tanB=p，tanAtanB=1p，由两角和的正切函数公式可求tanC=tan（A+B）=，结合 C 的范围即可求 C 的值（）由正弦定理可求 sinB=，解得 B，A，由两角和的正切函数公式可求 tanA=tan75，从

31、而可求 p=（tanA+tanB）的值【解答】解：（）由已知，方程 x2+pxp+1=0 的判别式：=（p）24（p+1）=3p2+4p40，所以 p2，或 p由韦达定理，有 tanA+tanB=p，tanAtanB=1p所以，1tanAtanB=1（1p）=p0，从而 tan（A+B）=所以 tanC=tan（A+B）=，所以 C=60（）由正弦定理，可得 sinB=，解得 B=45，或 B=135（舍去） 于是，A=180BC=75则 tanA=tan75=tan（45+30）=2+所以 p=（tanA+tanB）=（2+）=1【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，

32、考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题第 20 页（共 22 页）20 （13 分）如图，椭圆 E：=1（ab0）的离心率是，点P（0，1）在短轴 CD 上，且=1（）求椭圆 E 的方程；（）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点是否存在常数 ，使得+为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由【分析】 （）通过 e=、=1，计算即得 a=2、b=，进而可得结论；（）分情况对直线 AB 斜率的存在性进行讨论：当直线 AB 的斜率存在时，联立直线 AB 与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当 =1 时+=3；当直线 AB 的斜率不存在时

33、，+=3【解答】解：（）根据题意，可得 C（0，b） ，D（0，b） ，又P（0，1） ，且=1，解得 a=2，b=，椭圆 E 的方程为：+=1；（）结论：存在常数 =1，使得+为定值3理由如下：对直线 AB 斜率的存在性进行讨论：当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1，第 21 页（共 22 页）A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立，消去 y 并整理得：（1+2k2）x2+4kx2=0，=（4k）2+8（1+2k2）0，x1+x2=，x1x2=，从而+=x1x2+y1y2+x1x2+（y11） （y21）=（1+） （1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1

34、=2当 =1 时，2=3，此时+=3 为定值；当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD，此时+=+=21=3；故存在常数 =1，使得+为定值3【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题21 （14 分）已知函数 f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中 a0（）设 g（x）是 f（x）的导函数，讨论 g（x）的单调性；（）证明：存在 a（0，1） ，使得 f（x）0 恒成立，且 f（x）=0 在区间（1，+）内有唯一解【分析】 （I）函数 f（x

35、）=2xlnx+x22ax+a2，其中 a0可得：x0g（x）=f（x）=2（x1lnxa） ，可得 g（x）=，分别解出 g（x）第 22 页（共 22 页）0，g（x）0，即可得出单调性（II）由 f（x）=2（x1lnxa）=0，可得 a=x1lnx，代入 f（x）可得：u（x）=（1+lnx）22xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在 x0（1，e） ，使得u（x0）=0，令 a0=x01lnx0=v（x0） ，再利用导数研究其单调性即可得出【解答】 （I）解：函数 f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中 a0可得：x0g（x）=f（x）=2（x1lnxa） ，g（x）=，当

36、0x1 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减；当 1x 时，g（x）0，函数 g（x）单调递增（II）证明：由 f（x）=2（x1lnxa）=0，解得 a=x1lnx，令 u（x）=2xlnx+x22（x1lnx）x+（x1lnx）2=（1+lnx）22xlnx，则 u（1）=10，u（e）=2（2e）0，存在 x0（1，e） ，使得 u（x0）=0，令 a0=x01lnx0=v（x0） ，其中 v（x）=x1lnx（x1） ，由 v（x）=10，可得：函数 v（x）在区间（1，+）上单调递增0=v（1）a0=v（x0）v（e）=e21，即 a0（0，1） ，当 a=a0时，有f（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0再由（I）可知：f（x）在区间（1，+）上单调递增，当 x（1，x0）时，f（x）0，f（x）f（x0）=0；当 x（x0，+）时，f（x）0，f（x）f（x0）=0；又当 x（0，1，f（x）=2xlnx0故当 x（0，+）时，f（x）0 恒成立综上所述：存在 a（0，1） ，使得 f（x）0 恒成立，且 f（x）=0 在区间（1，+）内有唯一解【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题