2016年北京市高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 20 页）2016 年北京市高考数学试卷（文科）年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1 （5 分）已知集合 A=x|2x4，B=x|x3 或 x5，则 AB=（ ）Ax|2x5Bx|x4 或 x5Cx|2x3Dx|x2 或 x52 （5 分）复数=（ ）AiB1+i CiD1i3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ）A8B9C27D364 （5 分）下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（ ）Ay=By=cosxCy=ln（x+1） Dy=2x5 （5 分）圆（x+1

2、）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为（ ）A1B2CD26 （5 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）ABCD7 （5 分）已知 A（2，5） ，B（4，1） 若点 P（x，y）在线段 AB 上，则 2xy 的最大值为（ ）A1B3C7D8第 2 页（共 20 页）8 （5 分）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号 1 23 45 67 89 10立定跳远（单位：米）1.961.92 1.821.801.781.761.741.721.681.6030

3、 秒跳绳（单位：次）63a 7560 6372 70a1 b65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30秒跳绳决赛的有 6 人，则（ ）A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分）9 （5 分）已知向量 =（1，） ， =（，1） ，则 与 夹角的大小为 10 （5 分）函数 f（x）=（x2）的最大值为 11 （5 分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为

4、12 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（，0） ，则 a= ，b= 第 3 页（共 20 页）13 （5 分）在ABC 中，A=，a=c，则= 14 （5 分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品最少有 种三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分）15 （13 分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，

5、a1=b1，a14=b4（1）求an的通项公式；（2）设 cn=an+bn，求数列cn的前 n 项和16 （13 分）已知函数 f（x）=2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求 的值；（2）求 f（x）的单调递增区间17 （13 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为多少

6、？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该第 4 页（共 20 页）市居民该月的人均水费18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面 PAC；（2）求证：平面 PAB平面 PAC；（3）设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由19 （14 分）已知椭圆 C：+=1 过点 A（2，0） ，B（0，1）两点（1）求椭圆 C 的方程及离心率；（2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB与 x 轴交于点 N，

7、求证：四边形 ABNM 的面积为定值20 （13 分）设函数 f（x）=x3+ax2+bx+c（1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）设 a=b=4，若函数 f（x）有三个不同零点，求 c 的取值范围；（3）求证：a23b0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件第 5 页（共 20 页）2016 年北京市高考数学试卷（文科）年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1 （5 分）已知集合 A=x|2x4，B=x|x3 或 x5，则 AB=（

8、）Ax|2x5Bx|x4 或 x5Cx|2x3Dx|x2 或 x5【分析】由已知条件利用交集的定义能求出 AB【解答】解：集合 A=x|2x4，B=x|x3 或 x5，AB=x|2x3故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用2 （5 分）复数=（ ）AiB1+i CiD1i【分析】将分子分线同乘 2+i，整理可得答案【解答】解：=i，故选：A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ）第 6 页（共 20 页）A8B9C27D36【分析】根据已知

9、的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，故 S=0，k=1，当 k=1 时，满足进行循环的条件，故 S=1，k=2，当 k=2 时，满足进行循环的条件，故 S=9，k=3，当 k=3 时，不满足进行循环的条件，故输出的 S 值为 9，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答4 （5 分）下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（ ）Ay=By=cosxCy=ln（x+1） Dy=2x【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以

10、及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（1，1）上的单调性，从而找出正确选项【解答】解：Ax 增大时，x 减小，1x 减小，增大；函数在（1，1）上为增函数，即该选项错误；By=cosx 在（1，1）上没有单调性，该选项错误；第 7 页（共 20 页）Cx 增大时，x+1 增大，ln（x+1）增大，y=ln（x+1）在（1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；根据指数函数单调性知，该函数在（1，1）上为减函数，该选项正确故选：D【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算5 （5 分）圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+

11、3 的距离为（ ）A1B2CD2【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2 的圆心，再利用点到到直线 y=x+3 的距离公式求解【解答】解：圆（x+1）2+y2=2 的圆心为（1，0） ，圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为：d=故选：C【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用6 （5 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）ABCD【分析】从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率【解答】解：从

12、甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，基本事件总数 n=10，甲被选中包含的基本事件的个数 m=4，第 8 页（共 20 页）甲被选中的概率 p=故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用7 （5 分）已知 A（2，5） ，B（4，1） 若点 P（x，y）在线段 AB 上，则 2xy 的最大值为（ ）A1B3C7D8【分析】平行直线 z=2xy，判断取得最值的位置，求解即可【解答】解：如图 A（2，5） ，B（4，1） 若点 P（x，y）在线段 AB 上，令 z=2xy，则平行 y=2xz 当直线经过 B 时截距最小，Z 取得最大值，

13、可得 2xy 的最大值为：241=7故选：C【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键8 （5 分）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号 1 23 45 67 89 10立定跳远 1.92 第 9 页（共 20 页）（单位：米）1.961.821.801.781.761.741.721.681.6030 秒跳绳（单位：次）63a 7560 6372 70a1 b65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30秒跳绳决赛的有 6 人，则

14、（ ）A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛【分析】根据已知中这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，逐一分析四个答案的正误，可得结论【解答】解：这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，故编号为 1，2，3，4，5，6，7，8 的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则 3，6，7 号同学必进入 30 秒跳绳决赛，剩下 1，2，4，5，8 号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a

15、1 有且只有 3 人进入 30 秒跳绳决赛，故成绩为 63 的同学必进入 30 秒跳绳决赛，故选：B【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分）9 （5 分）已知向量 =（1，） ， =（，1） ，则 与 夹角的大小为 【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案【解答】解：向量 =（1，） ， =（，1） ， 与 夹角 满足：第 10 页（共 20 页）cos=，又0，=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面

16、向量的夹角公式，是解答的关键10 （5 分）函数 f（x）=（x2）的最大值为 2 【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在2，+）上为减函数，从而 x=2 时 f（x）取最大值，并可求出该最大值【解答】解：；f（x）在2，+）上单调递减；x=2 时，f（x）取最大值 2故答案为：2【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法11 （5 分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 第 11 页（共 20 页）【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案【解答】解：由已

17、知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积 S=（1+2）1=，棱柱的高为 1，故棱柱的体积 V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键12 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（，0） ，则 a= 1 ，b= 2 【分析】由双曲的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（，0） ，列出方程组，由此能出 a，b【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（，0） ，解得 a=1，b=2故答案为：1，2【点评】本题考查双曲线

18、中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用13 （5 分）在ABC 中，A=，a=c，则= 1 第 12 页（共 20 页）【分析】利用正弦定理求出 C 的大小，然后求出 B，然后判断三角形的形状，求解比值即可【解答】解：在ABC 中，A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则 B=三角形是等腰三角形，B=C，则 b=c，则=1故答案为：1【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力14 （5 分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3

19、种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种；这三天售出的商品最少有 29 种【分析】由题意画出图形得答案；求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数【解答】解：设第一天售出商品的种类集为 A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为 C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种；由知，前两天售出的商品种类为 19+133=29 种，当第三天售出的 18 种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为 29 种故答案为：16；29第 13 页（共 20 页）【点评】本题考查集合的包含关系及其应用

20、，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分）15 （13 分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4（1）求an的通项公式；（2）设 cn=an+bn，求数列cn的前 n 项和【分析】 （1）设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列，运用通项公式可得 q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得 cn=an+bn=2n1+3n1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：（1）设an是公差

21、为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列，由 b2=3，b3=9，可得 q=3，bn=b2qn2=33n2=3n1；即有 a1=b1=1，a14=b4=27，则 d=2，则 an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）cn=an+bn=2n1+3n1，则数列cn的前 n 项和为（1+3+（2n1） ）+（1+3+9+3n1）=n2n+=n2+【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题第 14 页（共 20 页）16 （13 分）已知函数 f（x）=2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（

22、1）求 的值；（2）求 f（x）的单调递增区间【分析】 （1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得 的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x 的取值范围得 f（x）的单调递增区间【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=由 T=，得 =1；（2）由（1）得，f（x）=再由，得f（x）的单调递增区间为（kZ） 【点评】本题考查 y=Asin（x+）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题17 （13 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按

23、10 元/立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价第 15 页（共 20 页）格为 4 元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费【分析】 （1）由频率分布直方图得：用水量在0.5，1）的频率为 0.1，用水量在1，1.5）的频率为 0.15，用水量在1.5，2）的频率为 0.2，用水量在2，2.5）的频率为 0.25，用水量在2.5，3）的频率为 0.15，用水量在3，3

24、.5）的频率为 0.05，用水量在3.5，4）的频率为 0.05，用水量在4，4.5）的频率为 0.05，由此能求出为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立方米，w 至少定为 3 立方米（2）当 w=3 时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在0.5，1）的频率为 0.1，用水量在1，1.5）的频率为 0.15，用水量在1.5，2）的频率为 0.2，用水量在2，2.5）的频率为 0.25，用水量在2.5，3）的频率为 0.15，用水量在3，3.5）的频率为 0.05，用水量在3.5，4）的频率为 0.05，用水量在4，4.5）的频率为

25、 0.05，用水量小于等于 3 立方米的频率为 85%，为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立方米，w 至少定为 3 立方米（2）当 w=3 时，该市居民的人均水费为：（0.11+0.151.5+0.22+0.252.5+0.153）4+0.0534+0.050.510+0.0534+0.05110+0.0534+0.051.510=10.5，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费为 10.5 元第 16 页（共 20 页）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当 w=3 时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用18 （

26、14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面 PAC；（2）求证：平面 PAB平面 PAC；（3）设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理证明 DC平面 PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明 AB平面 PAC，即可证明平面 PAB平面PAC；（3）在棱 PB 上存在中点 F，使得 PA平面 CEF利用线面平行的判定定理证明【解答】 （1）证明：PC平面 ABCD，DC平面 ABCD，PCDC，DCAC，PCAC=C，DC平面 PAC；（2）证明：A

27、BDC，DCAC，ABAC，PC平面 ABCD，AB平面 ABCD，PCAB，PCAC=C，第 17 页（共 20 页）AB平面 PAC，AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAC；（3）解：在棱 PB 上存在中点 F，使得 PA平面 CEF点 E 为 AB 的中点，EFPA，PA平面 CEF，EF平面 CEF，PA平面 CEF【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19 （14 分）已知椭圆 C：+=1 过点 A（2，0） ，B（0，1）两点（1）求椭圆 C 的方程及离心率；（2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 P

28、A 与 y 轴交于点 M，直线 PB与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值【分析】 （1）由题意可得 a=2，b=1，则，则椭圆 C 的方程可求，离心率为 e=；（2）设 P（x0，y0） ，求出 PA、PB 所在直线方程，得到 M，N 的坐标，求得|AN|，|BM|由，结合 P 在椭圆上求得四边形 ABNM 的面积为定值 2【解答】 （1）解：椭圆 C：+=1 过点 A（2，0） ，B（0，1）两点，a=2，b=1，则，椭圆 C 的方程为，离心率为 e=；（2）证明：如图，第 18 页（共 20 页）设 P（x0，y0） ，则，PA 所在直线方程为 y=，取 x=0，得；

29、，PB 所在直线方程为，取 y=0，得|AN|=，|BM|=1=四边形 ABNM 的面积为定值 2【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题第 19 页（共 20 页）20 （13 分）设函数 f（x）=x3+ax2+bx+c（1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）设 a=b=4，若函数 f（x）有三个不同零点，求 c 的取值范围；（3）求证：a23b0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件【分析】 （1）求出 f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由 f（x）=0，可得c=x3+

30、4x2+4x，由 g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）=0，可得单调区间有 3 个，求出导数，由导数的图象与 x 轴有两个不同的交点，运用判别式大于 0，可得a23b0；再由 a=b=4，c=0，可得若 a23b0，不能推出 f（x）有 3 个零点【解答】解：（1）函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 的导数为 f（x）=3x2+2ax+b，可得 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线斜率为 k=f（0）=b，切点为（0，c） ，可得切线的方程为 y=bx+c；（2）设 a

31、=b=4，即有 f（x）=x3+4x2+4x+c，由 f（x）=0，可得c=x3+4x2+4x，由 g（x）=x3+4x2+4x 的导数 g（x）=3x2+8x+4=（x+2） （3x+2） ，当 x或 x2 时，g（x）0，g（x）递增；当2x时，g（x）0，g（x）递减即有 g（x）在 x=2 处取得极大值，且为 0；g（x）在 x=处取得极小值，且为由函数 f（x）有三个不同零点，可得c0，解得 0c，则 c 的取值范围是（0，） ；（3）证明：若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）=0，第 20 页（共 20 页）可得 f（x）的图象与 x 轴有三个不同的交点即有 f（x）有 3 个单调区间，即为导数 f（x）=3x2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点，可得0，即 4a212b0，即为 a23b0；若 a23b0，即有导数 f（x）=3x2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点，当 c=0，a=b=4 时，满足 a23b0，即有 f（x）=x（x+2）2，图象与 x 轴交于（0，0） ， （2，0） ，则 f（x）的零点为2 个故 a23b0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题