2017年天津市高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 24 页）2017 年天津市高考数学试卷（文科）年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=1，2，6，B=2，4，C=1，2，3，4，则（AB）C=（ ）A2 B1，2，4C1，2，4，6D1，2，3，4，62 （5 分）设 xR，则“2x0”是“|x1|1”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3 （5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不

2、同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）ABCD4 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19，则输出 N 的值为（ ）A0B1C2D3第 2 页（共 24 页）5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ，则双曲线的方程为（ ）ABCD6 （5 分）已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数若 a=f（） ，b=f（log24.1） ，c=f（20.8） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccba Dcab7 （5 分）设函数 f（x

3、）=2sin（x+） ，xR，其中 0，|若f（）=2，f（）=0，且 f（x）的最小正周期大于 2，则（ ）A=，=B=，=C=，=D=，=8 （5 分）已知函数 f（x）=，设 aR，若关于 x 的不等式 f（x）|+a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A2，2 BCD二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.9 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，若为实数，则 a 的值为 10 （5 分）已知 aR，设函数 f（x）=axlnx 的图象在点（1，f（1） ）处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 11 （5

4、分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 12 （5 分）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A若FAC=120，则圆的方程为 第 3 页（共 24 页）13 （5 分）若 a，bR，ab0，则的最小值为 14 （5 分）在ABC 中，A=60，AB=3，AC=2若=2，=（R） ，且=4，则 的值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤15 （13 分）

5、在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知asinA=4bsinB，ac=（a2b2c2）（）求 cosA 的值；（）求 sin（2BA）的值16 （13 分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连

6、续剧的次数（I）用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（）求证：PD平面 PBC；（）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值第 4 页（共 24 页）18 （13 分）已知an为等差数列，前 n 项和为 Sn（nN*） ，bn是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2+b3=12，b3=a42a1，S11=11b4（）

7、求an和bn的通项公式；（）求数列a2nbn的前 n 项和（nN*） 19 （14 分）设 a，bR，|a|1已知函数 f（x）=x36x23a（a4）x+b，g（x）=exf（x） （）求 f（x）的单调区间；（）已知函数 y=g（x）和 y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在 x=x0处的导数等于 0；（ii）若关于 x 的不等式 g（x）ex在区间x01，x0+1上恒成立，求 b 的取值范围20 （14 分）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F（c，0） ，右顶点为A，点 E 的坐标为（0，c） ，EFA 的面积为（I）求椭圆的离心率；（II）设点

8、Q 在线段 AE 上，|FQ|=c，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M，N在 x 轴上，PMQN，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c（i）求直线 FP 的斜率；（ii）求椭圆的方程第 5 页（共 24 页）2017 年天津市高考数学试卷（文科）年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=1，2，6，B=2，4，C=1，2，3，4，则（AB）C=（ ）A2 B1，2，4C1，2，

9、4，6D1，2，3，4，6【分析】由并集定义先求出 AB，再由交集定义能求出（AB）C【解答】解：集合 A=1，2，6，B=2，4，C=1，2，3，4，（AB）C=1，2，4，61，2，3，4=1，2，4故选：B【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用2 （5 分）设 xR，则“2x0”是“|x1|1”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 2x0 得 x2，由|x1|1 得1x11，得 0x2则“2x0”是“|x1|1”的

10、必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键第 6 页（共 24 页）3 （5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）ABCD【分析】先求出基本事件总数 n=10，再求出取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m=4，由此能求出取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率【解答】解：有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这 5 支彩笔中任取 2 支不同

11、颜色的彩笔，基本事件总数 n=10，取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m=4，取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 p=故选：C【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题4 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19，则输出 N 的值为（ ）第 7 页（共 24 页）A0B1C2D3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可【解答】解：第一次 N=19，不能被 3 整除，N=191=183 不成立，第二次 N=18，18 能被 3 整除，N=6，N=63 不成立，第三次 N=6，能被 3 整除

12、，N=23 成立，输出 N=2，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ，则双曲线的方程为（ ）ABCD【分析】利用三角形是正三角形，推出 a，b 关系，通过 c=2，求解 a，b，然后第 8 页（共 24 页）等到双曲线的方程【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ，可得 c=2，即，解得 a=1，b=，双曲线的焦点坐标在

13、x 轴，所得双曲线方程为：故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6 （5 分）已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数若 a=f（） ，b=f（log24.1） ，c=f（20.8） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccba Dcab【分析】根据奇函数 f（x）在 R 上是增函数，化简 a、b、c，即可得出a，b，c 的大小【解答】解：奇函数 f（x）在 R 上是增函数，a=f（）=f（log25） ，b=f（log24.1） ，c=f（20.8） ，又 120.82log24.1log25，f（20.8）f（log24.1）f（log25） ，即

14、cba故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题7 （5 分）设函数 f（x）=2sin（x+） ，xR，其中 0，|若f（）=2，f（）=0，且 f（x）的最小正周期大于 2，则（ ）第 9 页（共 24 页）A=，=B=，=C=，=D=，=【分析】由题意求得，再由周期公式求得 ，最后由若 f（）=2 求得 值【解答】解：由 f（x）的最小正周期大于 2，得，又 f（）=2，f（）=0，得，T=3，则，即f（x）=2sin（x+）=2sin（x+） ，由 f（）=，得 sin（+）=1+=，kZ取 k=0，得 =，=故选：A【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式

15、，考查 y=Asin（x+）型函数的性质，是中档题8 （5 分）已知函数 f（x）=，设 aR，若关于 x 的不等式 f（x）|+a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A2，2 BCD【分析】根据题意，作出函数 f（x）的图象，令 g（x）=|+a|，分析 g（x）的图象特点，将不等式 f（x）|+a|在 R 上恒成立转化为函数 f（x）的图象在g（x）上的上方或相交的问题，分析可得 f（0）g（0） ，即 2|a|，解可得a 的取值范围，即可得答案第 10 页（共 24 页）【解答】解：根据题意，函数 f（x）=的图象如图：令 g（x）=|+a|，其图象与 x 轴相交与点（2a，0

16、） ，在区间（，2a）上为减函数，在（2a，+）为增函数，若不等式 f（x）|+a|在 R 上恒成立，则函数 f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有 f（0）g（0） ，即 2|a|，解可得2a2，故选：A【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数 f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.9 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，若为实数，则 a 的值为 2 【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为 0，解方程即可得到所求值【解

17、答】解：aR，i 为虚数单位，=i第 11 页（共 24 页）由为实数，可得=0，解得 a=2故答案为：2【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为 0，考查运算能力，属于基础题10 （5 分）已知 aR，设函数 f（x）=axlnx 的图象在点（1，f（1） ）处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 1 【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出 l 在 y 轴上的截距【解答】解：函数 f（x）=axlnx，可得 f（x）=a，切线的斜率为：k=f（1）=a1，切点坐标（1，a） ，切线方程 l 为：ya=（a

18、1） （x1） ，l 在 y 轴上的截距为：a+（a1） （1）=1故答案为：1【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力11 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可【解答】解：设正方体的棱长为 a，这个正方体的表面积为 18，6a2=18，则 a2=3，即 a=，第 12 页（共 24 页）一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即 R=，则球的体积 V=（）3=；故答案为：【点评】本题主要考

19、查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键12 （5 分）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A若FAC=120，则圆的方程为 （x+1）2+=1 【分析】根据题意可得 F（1，0） ，FAO=30，OA=1，由此求得 OA的值，可得圆心 C 的坐标以及圆的半径，从而求得圆 C 方程【解答】解：设抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0） ，准线 l：x=1，点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切与点 A，FAC=120，FAO=30，OA=1，OA

20、=，A（0，） ，如图所示：C（1，） ，圆的半径为 CA=1，故要求的圆的标准方程为 ，故答案为：（x+1）2+=1第 13 页（共 24 页）【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题13 （5 分）若 a，bR，ab0，则的最小值为 4 【分析】 【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值【解答】解：【解法一】a，bR，ab0，=4ab+2=4，当且仅当，即，即 a=，b=或 a=，b=时取“=”；上式的最小值为 4第 14 页（共 24 页）【解法二】a，bR，ab0，=+

21、4=4，当且仅当，即，即 a=，b=或 a=，b=时取“=”；上式的最小值为 4故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题14 （5 分）在ABC 中，A=60，AB=3，AC=2若=2，=（R） ，且=4，则 的值为 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出 的值【解答】解：如图所示，ABC 中，A=60，AB=3，AC=2，=2，=+=+=+（）=+，又=（R） ，第 15 页（共 24 页）=（+）（）=（）+=（）32cos6032+22=4，=1，解得 =故答案为：【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中

22、档题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知asinA=4bsinB，ac=（a2b2c2）（）求 cosA 的值；（）求 sin（2BA）的值【分析】 （）由正弦定理得 asinB=bsinA，结合 asinA=4bsinB，得 a=2b再由，得，代入余弦定理的推论可求 cosA的值；（）由（）可得，代入 asinA=4bsinB，得 sinB，进一步求得cosB利用倍角公式求 sin2B，cos2B，展

23、开两角差的正弦可得 sin（2BA）的值【解答】 （）解：由，得 asinB=bsinA，第 16 页（共 24 页）又 asinA=4bsinB，得 4bsinB=asinA，两式作比得：，a=2b由，得，由余弦定理，得；（）解：由（） ，可得，代入 asinA=4bsinB，得由（）知，A 为钝角，则 B 为锐角，于是，故【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题16 （13 分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时

24、长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数（I）用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】 （）直接由题意结合图表列关于 x，y 所满足得不等式组，化简后即第 17 页（共 24 页）可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（）写出总收视人次 z=60x+25y化目标函数为直线方程的斜

25、截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】 （）解：由已知，x，y 满足的数学关系式为，即该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（）解：设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z=60x+25y考虑 z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随 z 变化的一族平行直线为直线在 y 轴上的截距，当取得最大值时，z 的值最大又x，y 满足约束条件，由图可知，当直线 z=60x+25y 经过可行域上的点 M 时，截距最大，即 z 最大解方程组，得点 M 的坐标为（6，3） 电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多第 18 页（共

26、24 页）【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（）求证：PD平面 PBC；（）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值【分析】 （）由已知 ADBC，从而DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角，由此能求出异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值（）由 AD平面 PDC，得 ADPD，由 BCAD，得 PDBC，再由 PDPB，得到 PD平面 PBC（）

27、过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角，由 PD平面 PBC，得到DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角，由此能求出直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值【解答】解：（）如图，由已知 ADBC，第 19 页（共 24 页）故DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角因为 AD平面 PDC，所以 ADPD在 RtPDA 中，由已知，得，故所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为证明：（）因为 AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC，所以 ADPD又因为 BCAD，所以 P

28、DBC，又 PDPB，所以 PD平面 PBC解：（）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角由于 ADBC，DFAB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BCBF=2又 ADDC，故 BCDC，在 RtDCF 中，可得所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识考查空间想象能力、运算求解能力和

29、推理论证能力，是中档题18 （13 分）已知an为等差数列，前 n 项和为 Sn（nN*） ，bn是首项为 2 的第 20 页（共 24 页）等比数列，且公比大于 0，b2+b3=12，b3=a42a1，S11=11b4（）求an和bn的通项公式；（）求数列a2nbn的前 n 项和（nN*） 【分析】 （）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q通过b2+b3=12，求出 q，得到然后求出公差 d，推出 an=3n2（）设数列a2nbn的前 n 项和为 Tn，利用错位相减法，转化求解数列a2nbn的前 n 项和即可【解答】 （）解：设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为

30、q由已知 b2+b3=12，得，而 b1=2，所以 q2+q6=0又因为 q0，解得q=2所以，由 b3=a42a1，可得 3da1=8由 S11=11b4，可得 a1+5d=16，联立，解得 a1=1，d=3，由此可得 an=3n2所以，an的通项公式为 an=3n2，bn的通项公式为（）解：设数列a2nbn的前 n 项和为 Tn，由 a2n=6n2，有，上述两式相减，得=得所以，数列a2nbn的前 n 项和为（3n4）2n+2+16【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力19 （14 分）设 a，bR，|a|1已知函数 f（x）=x36x23a

31、（a4）第 21 页（共 24 页）x+b，g（x）=exf（x） （）求 f（x）的单调区间；（）已知函数 y=g（x）和 y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在 x=x0处的导数等于 0；（ii）若关于 x 的不等式 g（x）ex在区间x01，x0+1上恒成立，求 b 的取值范围【分析】 （）求出函数 f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得 f（x）的单调区间；（） （i）求出 g（x）的导函数，由题意知，求解可得得到 f（x）在 x=x0处的导数等于 0；（ii）由（I）知 x0=a且 f（x）在（a1，a）内单调递

32、增，在（a，a+1）内单调递减，故当 x0=a 时，f（x）f（a）=1 在a1，a+1上恒成立，从而 g（x）ex在x01，x0+1上恒成立由 f（a）=a36a23a（a4）a+b=1，得b=2a36a2+1，1a1构造函数 t（x）=2x36x2+1，x1，1，利用导数求其值域可得 b 的范围【解答】 （）解：由 f（x）=x36x23a（a4）x+b，可得 f（x）=3x212x3a（a4）=3（xa） （x（4a） ） ，令 f（x）=0，解得 x=a，或 x=4a由|a|1，得 a4a当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表：x（，a）（a，4a）（4a，+）f（x）+

33、第 22 页（共 24 页）f（x）f（x）的单调递增区间为（，a） ， （4a，+） ，单调递减区间为（a，4a） ；（） （i）证明：g（x）=ex（f（x）+f（x） ） ，由题意知，解得f（x）在 x=x0处的导数等于 0；（ii）解：g（x）ex，xx01，x0+1，由 ex0，可得 f（x）1又f（x0）=1，f（x0）=0，故 x0为 f（x）的极大值点，由（I）知 x0=a另一方面，由于|a|1，故 a+14a，由（）知 f（x）在（a1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当 x0=a 时，f（x）f（a）=1 在a1，a+1上恒成立，从而 g（x）ex在x01，x

34、0+1上恒成立由 f（a）=a36a23a（a4）a+b=1，得 b=2a36a2+1，1a1令 t（x）=2x36x2+1，x1，1，t（x）=6x212x，令 t（x）=0，解得 x=2（舍去） ，或 x=0t（1）=7，t（1）=3，t（0）=1，故 t（x）的值域为7，1b 的取值范围是7，1【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是第 23 页（共 24 页）压轴题20 （14 分）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F（c，0） ，右顶点为A，点 E 的坐标为（0，c） ，EFA 的面积为

35、（I）求椭圆的离心率；（II）设点 Q 在线段 AE 上，|FQ|=c，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M，N在 x 轴上，PMQN，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c（i）求直线 FP 的斜率；（ii）求椭圆的方程【分析】 （）设椭圆的离心率为 e通过转化求解椭圆的离心率（） （）依题意，设直线 FP 的方程为 x=myc（m0） ，则直线 FP 的斜率为通过 a=2c，可得直线 AE 的方程为，求解点 Q 的坐标为利用|FQ|=，求出 m，然后求解直线 FP 的斜率（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线 FP 的方程为 3x4y+3c=0，与

36、椭圆方程联立通过，结合直线 PM 和 QN 都垂直于直线FP结合四边形 PQNM 的面积为 3c，求解 c，然后求椭圆的方程【解答】解：（）设椭圆的离心率为 e由已知，可得又由b2=a2c2，可得 2c2+aca2=0，即 2e2+e1=0又因为 0e1，解得所以，椭圆的离心率为；（） （）依题意，设直线 FP 的方程为 x=myc（m0） ，则直线 FP 的斜率为第 24 页（共 24 页）由（）知 a=2c，可得直线 AE 的方程为，即 x+2y2c=0，与直线 FP 的方程联立，可解得，即点 Q 的坐标为由已知|FQ|=，有，整理得 3m24m=0，所以，即直线 FP 的斜率为（ii）解：由 a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为由（i）得直线 FP 的方程为 3x4y+3c=0，与椭圆方程联立消去 y，整理得 7x2+6cx13c2=0，解得（舍去） ，或 x=c因此可得点，进而可得，所以由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN都垂直于直线 FP因为 QNFP，所以，所以FQN 的面积为，同理FPM 的面积等于，由四边形 PQNM 的面积为3c，得，整理得 c2=2c，又由 c0，得 c=2所以，椭圆的方程为【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力