2022国考公务员考试《行政职业能力测验》讲义和练习答案-数量关系.pdf

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1、 中央机关及其直属机构公务员录用考试行政职业能力测验考情分析 第一篇 常考题型 第二篇 常用方法 参考答案与解析 考试情况综述 行政职业能力测验一直是中央机关及其直属机构公务员录用考试（简称国考）的必考科目，经过多年的发展变化，考试内容日趋稳定，已形成了完整、系统的体系，包括常识判断、言语理解与表达、数量关系、判断推理和资料分析五大部分，题目全部为客观性试题，考试时限 120 分钟。2017-2020 2017 年 2018 年 2019 年 2020 年 常识判断 20/20 20/20 20/20 20/20 言语理解与表达 40/40 40/40 40/40 40/40 数量关系 数学运

2、算 15/10 15/10 15/10 15/10 判断推理 图形推理 10/10 10/10 10/10 10/10 定义判断 10/10 10/10 10/10 10/10 类比推理 10/10 10/10 10/10 10/10 逻辑判断 10/10 10/10 10/10 10/10 资料分析 20/20 20/20 20/20 20/20 合计 135/130 135/130 135/130 135/130 数量关系考情 近四年国考行测分省级和市地级两套试卷，其中数量关系在省级试卷中考查 15 题，市地级中考查 10 题，且市地级题目包含于省级试卷中。/数量关系只考查数学运算一种题型

3、，考查了计算问题、行程问题、工程问题、利润问题、排列组合、概率问题、极值问题、容斥问题、几何问题、函数图像问题等。其中计算问题、工程问题、排列组合、概率问题和函数图像每年都考，行程问题、几何问题近四年中有 3 年进行了考查，这七大题型是高频题型也是备考重点。2017-2020 题型 2017 年 2018 年 2019 年 2020 年 题量 主要考点 题量 主要考点 题量 主要考点 题量 主要考点 等差数列 6 方 程 等差数列分段计算 整除 其他 计算问题 6 比例整除 比值混合 3 比例其他 5 比例整除 其他 其他 行程问题 1 普通行程 2 普通行程 直线追及 2 环形追及 多次相遇

4、 工程问题 2 多者合作 1 多者合作 2 多者合作 1 利润问题 3 排列组合 1 1 1 2 概率问题 2 古典概率 1 古典概率 2 古 典 概 率 独立重复试验 1 独立事件 极值问题 2 和定最值 1 和定最值 容斥问题 1 两者容斥极值 几何问题 3 平面几何 立体几何 2 平面几何 2 平面几何 立体几何 函数图像 1 1 1 1 2017-2020 题型 2017 年 2018 年 2019 年 2020 年 题量 主要考点 题量 主要考点 题量 主要考点 题量 主要考点 4 等差数列比 例 整 除 其他 方程 计算问题 3 比例其他 2 比例其他 5 等差数列分段计算 整除

5、其他 行程问题 1 直线追及 1 环形追及 工程问题 1 多者合作 1 多者合作 1 多者合作 1 利润问题 2 排列组合 1 基本排列组合 1 基本排列组合 1 基本排列组合 2 概率问题 1 古典概率 1 古典概率 2 古 典 概 率 独立重复试验 极值问题 1 和定最值 1 和定最值 容斥问题 1 两者容斥极值 几何问题 2 平面几何立体几何 1 平面几何 1 平面几何 函数图像 1 1 备考策略 2021 年国考行政职业能力测验高效备考计划表 阶段 学习内容 复习目标 一、公考初识 1.可登录中公教育官方网站，查阅对公告及大纲的 深度分析；2.可选择中公题库 APP，认真做一套最新公考

6、考题，认识行测每一种题型，将其作为自测卷，记录自己作答情况；3.参加线上或者线下的理论体验课程。1.宏观了解考试考查趋 势、考点设置规律；2.了解自身基本情况，有针对性地制定备考计划，使后期备考复习更高效。二、系统学习 1.选择中公教育网校课程或者图书教材进行学习；2.考生可以根据自身情况选择基础理论课程，除了解题目的解题方法外，更应重视题目分析和思路拆解训练。1.掌握行测基本题型的 解题方法；2.通过思路拆解训练养成正确的思维习惯。三、强化训练 1.加强题目训练，尤其注意根据自身的薄弱环节，做质量有保证的、有针对性的专项训练；2.考生可以根据自身情况选择专项题库视频课程，在老师的帮助下以题带

7、点巩固不同题型的解题方法，也可以选择中公题库 APP，不局限于时间和空间，通过刷题查缺补漏。1.巩固解题方法，侧重实战训练；2.针对不足，查缺补漏。四、临考冲刺 1.选择考前封闭预测课程，了解最新考试动态，感受全真模拟的考试氛围，最大化提升自己的能力；2.对学过的理论知识进行梳理，系统整合，制定适合自己的考试策略。1.把握考试重点，切实提高做题效率；2.多次全真模拟，消除怯场情绪。数量关系 第 1 次课 1.学习内容：工程问题、行程问题 2.重点掌握：（1）工程问题的基本公式，熟练运用特值法解决多者合作问题。（2）行程问题的基本数量关系，结合行程图分析题干信息，应用相遇追及 的公式解决直线、环

8、形上的实际问题。第一章 工程问题 一批零件，小王单独加工需要 2 小时完成，每小时可以加工 60 个，问这批零件共有多少个？什么是工程问题？工程问题是数学运算中的高频题型，主要考查工作总量、工作效率、工作时间这三个量之间的关系。工作总量 工作效率 工作时间 工作时间 工作总量 工作效率 工作效率 工作总量 工作时间 常利用基本公式结合方程法求解 1.多者合作一般根据不同工作方式下工作总量相等来构建等量关系 2.在解决工程问题时，经常可以通过设工作总量或者工作效率为特值来解决（1）已知多个主体完工时间，一般将工作总量设为 1 或多个完工时间的公倍数（2）已知多个主体效率关系时，一般将效率设为效率

9、比的最简份数（3）已知多个劳动力的效率相同时，一般将每个劳动力的效率设为 1 一、普通工程 例题精讲 【例】对某批零件进行加工，原计划要 18 小时完成，改进工作效率后只需 12 小时 就能完成，已知后来每小时比原计划每小时多加工 8 个零件，问这批零件共有多少个？A.96 B.144 C.288 D.300 问题一：题中存在什么样的等量关系？问题二：设这批零件有 x 个，则可得到什么样的方程？问题三：请求解。问题四：若设原计划每小时加工零件 x 个，则可得到什么样的方程？请求解。二、多者合作 例题精讲 【例 1】一项工程，甲单独做要 10 天，乙单独做要 15 天。若甲乙两人合作，需要多少天

10、？A.5 B.6 C.7 D.8 问题一：要求甲乙合作需要的天数，需要知道哪些量？是否已知？问题二：根据题意，设何量为特值方便求解？问题三：设特值并求解。【例 2】有一个工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 30 天完成，甲乙两队同 做 8 天后，余下的由丙队单独做需要 6 天完成。这个工程由丙队单独做要几天完成？A.12 B.13 C.14 D.15 问题一：要求丙队单独做需要的天数，需要知道哪些量？是否已知？问题二：根据题意，设何量为特值方便求解？问题三：设特值并求解。【例 3】完成一项工程，甲、乙的工作效率比为 34。这项工程，甲单独做，7 天完成。问两人合作多少天完成？A.2 B

11、.3 C.4 D.5 问题一：要求两人合作需要的天数，需要知道哪些量？是否已知？问题二：若设甲的效率为 3x，如何求解？问题三：本题是否可以设特值，设何量为特值方便求解？问题四：设特值并求解。【例 4】A 工程队的效率是 B 工程队的 2 倍，工程交给两队共同完成需要 6 天。如果两队的工作效率均提高一倍，且 B 队中途休息了 1 天，问要保证工程按原来的时间完成，A 队中途最多可以休息几天？A.4 B.3 C.2 D.1 问题一：要求 A 队中途最多可以休息的天数，需要求出其工作的时间，要求工作的时间需要知道哪些量？是否已知？问题二：根据题意，设何量为特值方便求解？问题三：设特值并求解。【例

12、 5】一批零件，由 3 台效率相同的机器同时生产，需用 10 天完工。生产了 2 天之后，车间临时接到工厂通知，这批零件需要提前 2 天完成，若每台机器的效率不变，需要再投入多少台相同的机器？A.1 B.2 C.3 D.4 问题一：要求后来增加的机器数，需要知道哪些量？是否已知？问题二：分析已知条件，每台机器的效率存在什么关系？问题三：设何量为特值方便求解？问题四：设特值并求解。随堂巩固 1.某服装生产厂承接了一批服装订单，如果每天完成 40 件，要比原计划晚 4 天完 成，如果每天完成 50 件，则要比原计划提前 3 天完成，则这一批订单共需要完成服装多少件？A.1100 B.1400 C.

13、1500 D.1600 2.某项工程，甲、乙、丙三人分别用 10 天、15 天、12 天可独自完成。现三人合作，在工作过程中，乙休息了 5 天，丙休息了 2 天，而甲一直坚持到工程结束，则最后他们完成这项工程一共所需要的天数是：A.6 B.9 C.7 D.8 3.甲、乙、丙三个工程队的效率比为 654，现将 A、B 两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A 工程，乙队负责B 工程，丙队参与A 工程若干天后转而参与 B 工程。两项工程同时开工，耗时 16 天同时结束。问丙队在 A 工程中参与施工多少天？A.6 B.7 C.8 D.9 4.工程队接到一项工程，投入 80 台挖掘机。如连续施

14、工 30 天，每天工作 10 小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有 10 天时间无法施工，工期还剩 8 天时，工程队增派 70 台挖掘机并加班施工。工程队若想按期完成，平均每天需要多工作多少个小时？A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 课堂小结 1.利用行程问题的基本公式求解 2.结合基本公式构造等量关系列方程求解 3.利用路程、速度、时间三者间的正反比关系求解 速度相同时，路程与时间成正比时间相同时，路程与速度成正比路程相同时，速度与时间成反比 第二章 行程问题 一辆汽车从 A 地开到 B 地需要 2 个小时，速度为每小时 75 公里，问 AB 两地相距多少公里？什么是行程问题？

15、行程问题主要研究速度、时间、路程这三个量之间的关系。路程 速度时间 时间 路程 速度 速度 路程 时间 一、普通行程 例题精讲【例 1】A、B 两地相距 480 米，甲原计划 7:40 从 A 地出发 8 点可到 B 地。现在还是按原时间离开A 地，不过每分钟比原来多走 16 米，那么甲几点就可到B 地？问题一：看问题，求，其相关量为。问题二：求解。【例 2】一个人骑车去工厂上班。他从家出发，用 30 分钟骑行了一半的路程后，他加快了速度，以每分钟比原来快 50 米的速度，又骑行了 10 分钟，这时发现距离工厂还有 2 千米。那么从他家到工厂之间的距离为（）千米。A.6 B.7.5 C.8 D

16、.8.5 问题一：画行程图。问题二：看问题，求，如何求解？问题三：寻找等量关系并求解。【例 3】经技术改进，A、B 两城间列车的运行速度由 150 千米/小时提升到 250 千米/小时，行车时间因此缩短了 48 分钟，则A、B 两城间的距离为：A.300 千米 B.291 千米 C.310 千米 D.320 千米 问题一：在 s=vt 中，哪个量不变？剩余两个量成什么关系？问题二：列车运行速度提升前后速度比、时间比各为多少？问题三：求解。1.相遇问题 路程和=速度和相遇时间 2.追及问题 路程差=速度差追及时间 二、相遇追及 例题精讲【例 1】甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行，甲每分钟行

17、 55 米，乙每分钟行45 米，5 分钟后两人相遇，则 A、B 两地相距 米；若两人同时同向而行，甲追上乙需要 分钟。问题一：画行程图。问题二：看问题，分别求 与，其相关量分别为 与。问题三：寻找等量关系并求解。【例 2】甲乙两座城市相距530 千米，货车和客车从两城出发，相向而行。货车每小时行50 千米，客车每小时行70 千米。客车因故比货车晚出发 1 小时，两车在途中某地相遇。问相遇时货车行驶多少千米？A.100 B.150 C.200 D.250 问题一：画行程图。问题二：看问题，求，其相关量为。问题三：从客车出发到两车相遇，这个过程中它们的路程和是多少？问题四：求解。【例 3】一只猎豹

18、锁定了距离自己 200 米远的一只羚羊，以 108 千米/小时的速度发起进攻，2 秒钟后，羚羊意识到危险，以 72 千米/小时的速度快速逃命。问猎豹捕捉到羚羊时，羚羊跑了多少路程？A.520 米 B.360 米 C.280 米 D.240 米 问题一：看问题，求，其相关量为。问题二：如何统一题目中的速度单位？问题三：羚羊跑的时间如何求解？问题四：求解。【例 4】老林和小陈绕着周长为 720 米的小花园匀速散步，小陈比老林速度快。若两人同时从某一起点同向出发，则每隔 18 分钟相遇一次；若两人同时从某一起点向相 反方向出发，则每隔 6 分钟相遇一次。由此可知，小陈绕小花园散步一圈需要多少分钟？A

19、.6 B.9 C.15 D.18 问题一：同向出发时，相遇一次，两人的路程是什么关系？能得到什么信息？问题二：反向出发时，相遇一次，两人的路程是什么关系？能得到什么信息？问题三：小陈的速度是多少？小陈绕小花园散步一圈的时间是多少？随堂巩固 1.一辆汽车第一天行驶了 5 个小时，第二天行驶了 600 千米，第三天比第一天少行 驶 200 千米，三天共行驶 18 小时，已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，则三天共行驶了多少千米？A.800 B.900 C.1000 D.1100 2.货车早上 8:00 出发以 60 千米/小时的速度匀速驶往 40 公里外的货场装运货物，装运结束后以去时

20、2 的速度匀速返回，并于正午 12:00 到达，则货车装运货物的时间是 3 其在路上行驶时间的（）倍。A.1 B.1.4 C.1.5 D.1.8 3.一支 600 米长的队伍行军，队尾的通讯员要与最前面的连长联系，他用 3 分钟跑 步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了 2 分 24 秒。如队伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间？A.48 秒 B.1 分钟 C.1 分 48 秒 D.2 分钟 4.环形跑道的周长为 400 米，甲乙两人骑车同时从同一地点出发，匀速相向而行，16 秒后甲乙相遇。相遇后，乙立即调头，6 分 40 秒后甲第一次追

21、上乙，问甲追上乙的地点距原来的起点多少米？A.8 B.20 C.180 D.192 课堂小结 数量关系 第 2 次课 1.学习内容：利润问题、和定最值问题、浓度问题 2.重点掌握：（1）利润问题的基本公式和常用方法。（2）和定最值问题的解题原则和思路。（3）运用方程法和十字交叉法解决浓度问题。第三章 利润问题 某商场柜台销售一款时装，成本为 200 元，销售价为 300 元。则利润为多少元？利润率是百分之几？什么是利润问题？考试中，利润问题常涉及成本、售价、利润、利润率、打折这些基本概念。一、基本公式 利润 售价-成本 售价 成本（1 利润率）打N折 售价10 定价 利润率 利润100%成本

22、成本 售价 1 利润率 方程法 往往可以根据利润问题的基本公式建立等量关系进行求解 例题精讲 【例】某商场柜台销售一款时装，若将进价的 20%作为利润，则销售价为 240 元。若该款时装销售价为 300 元，此时利润率是：A.50%B.45%C.40%D.35%问题一：要求该款时装销售价为 300 元时的利润率，需要知道哪个量？问题二：根据题意，结合利润问题基本公式，可求得该款时装的进价为多少？问题三：求解。二、常用方法 例题精讲 【例】某商场采购一种电冰箱，先按进价 15%的利润定价，此后按定价的 90%出售，结果每台获利 210 元，问这种电冰箱的进价是多少元？A.6000 B.5000

23、C.4000 D.3000 问题一：题中存在怎样的等量关系？问题二：设未知数并通过等量关系列方程。问题三：求解。随堂巩固 1.某种汉堡包每个成本 4.5 元，售价 10.5 元。当天卖不完的汉堡包即不再出售。在 过去十天里，餐厅每天都会准备 200 个汉堡包，其中有六天正好卖完，四天各剩余 25 个。问这十天该餐厅卖汉堡包共赚了多少元？A.10850 B.10950 C.11050 D.11350 2.某单位向商店订购定价为 100 元的某商品 80 件，单位订货员向商店经理提出：“如果商店肯降价，那么每降价 1 元，单位就多订购 4 件。”商店经理算了一下，若降价 5%，由于订货员多订货，获

24、得的利润反而比原来多 100 元，则该商品每件成本是：A.71 元 B.70 元 C.68 元 D.67 元 3.某商品今年的成本比去年减少 15%，由于售价不变，利润率比去年增加了 24 个百分点，则该商品去年的利润率为：A.24%B.30%C.36%D.42%课堂小结 求某个量的最大值，让其余量尽可能小，从最小开始分析求某个量的最小值，让其余量尽可能大，从最大开始分析 第四章 和定最值问题 两个不同的正整数之和为10，求最大数的最大值是多少？最大数的最小值又是多少？什么是和定最值问题？和定最值：多个数的和一定，求其中某个量的最大或最小值的问题。解题原则 例题精讲 【例 1】要把 21 棵桃

25、树栽到街心公园里 5 处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪最多栽多少棵桃树？A.7 B.8 C.10 D.11 问题一：此题中是否存在“和”？“和”为多少？所求是什么？问题二：若要面积最大草坪栽种的桃树最多，则其他面积应栽的桃树应该如何？问题三：求解。【例 2】6 名同学参加一次百分制考试，已知 6 人的分数是互不相同的整数。若 6 名同学的总分是 513 分，求分数最低的最多得了多少分？A.83 B.84 C.85 D.86 问题一：此题中是否存在“和”？“和”为多少？所求是什么？问题二：要想分数最低的得分最多，其他 5 名同学得分应该

26、如何？问题三：求解。【例 3】某单位 2011 年招聘了 65 名毕业生，拟分配到该单位的 7 个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？A.10 B.11 C.12 D.13 问题一：此题中是否存在“和”？“和”为多少？所求是什么？问题二：要使行政部门分得的毕业生人数最少，则其他部门分得的毕业生人数应该如何？问题三：求解。【例 4】期末考试中前六名学生成绩的平均分是 92.5 分，且 6 人的成绩是互不相同 的整数，最高分是 99 分，则第三名至少得多少分？A.91 B.93 C.96 D.97 问题一：此题中是否存在“和”？“和”为多少

27、？所求是什么？问题二：若要第三名的得分尽可能少，则其他几名同学的得分应如何？问题三：求解。随堂巩固 1.假设 7 个相异正整数的平均数是 14，中位数是 18，则此 7 个正整数中最大的数最大是多少？A.33 B.35 C.36 D.47 2.某高校要从 7 个专业抽调 256 人组成一个方阵，7 个专业因为总人数不同抽调的人数互不相同，则抽调人数最多的专业最少抽调了多少人？A.39 B.40 C.41 D.42 3.六一儿童节期间，100 名幼儿园学生参加 5 项活动，参加人数最多的活动人数不超过参加人数最少活动人数的 2 倍，则参加人数最少的活动最少有多少人参加？A.10 B.11 C.1

28、2 D.13 4.22 台电脑分给 5 个部门，每个部门分得的电脑数量互不相同，且每个部门均分到电脑，问分得电脑第三多的部门最多分得多少台电脑？A.4 B.5 C.6 D.7 课堂小结 浓度 溶质的质量100%溶液的质量 浓度 溶质的质量 溶液的质量 浓度 溶液的质量 溶质的质量 第五章 浓度问题 将 10 克糖加到 40 克水中溶解成糖水，问该糖水的浓度为多少？什么是浓度问题？溶质溶于溶剂，形成溶液，溶质在溶液中所占的比重即为浓度。故浓度问题主要研究的是浓度、溶质、溶剂这几个量之间的关系。基本公式 例题精讲 【例】要将浓度分别为 20%和 5%的 A、B 两种食盐水混合配成浓度为 15%的食

29、盐水 900 克。问 5%的食盐水需要多少克？A.250 B.285 C.300 D.325 方法一：方程法 问题一：结合浓度问题的公式，找出题目中存在的等量关系。问题二：设未知数，列方程求解。知识小结 总结十字交叉模型的三组计算关系 1.2.3.随堂巩固 方法二：十字交叉法 将相应数据填入括号内 部分比值 总体比值 交叉作差 最简比 实际量 A 食盐水（）（）（）（）（）B 食盐水（）（）（）（）问题一：得到的最简比指的是哪两个量的比？问题二：求解。1.有两瓶质量均为 100 克且浓度相同的盐溶液，在一瓶中加入 20 克水，在另一瓶中加入 50 克浓度为 30%的盐溶液后，它们的浓度仍然相等

30、，则这两瓶盐溶液原来的浓度是：A.36%B.64%C.50%D.60%2.甲容器中有浓度为 4%的盐水 150 克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出 450 克盐水，放入甲中混合成浓度为 8.2%的盐水，那么乙容器中的浓度是：A.9.6%B.9.8%C.9.9%D.10.1%课堂小结 十字交叉模型 部分比值 总体比值 交叉作差 最简比 实际量 a r-b r-b A r b a-r a-r B 注：arb 1.三组计算关系：第一列和第二列交叉作差得到第三列（大数减小数）。第三列、第四列和第五列的比值相等。第一列的差等于第三列的和。2.最简比（实际量之比）为比值的分母之比。数量关系 第

31、3 次课 1.学习内容：排列组合问题、概率问题 2.重点掌握：（1）排列组合问题中的计数原理、排列与组合以及 4 种常用方法。（2）古典概率、独立事件、多次独立重复试验的题型特征与计算公式，正难 则反思想的应用。1.分类分步（1）分类是做事时按不同的方式去做，且每种方式均能完成此事（2）分步是做事时分不同步骤去做，所有步骤完成后才能完成此事 2.加法原理和乘法原理（1）加法原理指的是如果做一件事情分成了若干类，将每一类方法数相加，即为完成这件事的方法数（2）乘法原理指的是如果做一件事情分成了若干步，将每一步方法数相乘，即为完成这件事的方法数 第六章 排列组合问题 某机关共有10 人，现要选出3

32、 人去参加普法宣传活动，问共有多少种不同的选法？什么是排列组合问题？排列组合问题的本质是计数问题，需明确题目要求我们完成一件什么事以及需要计数的对象是什么。一、分类分步与加乘原理 例题精讲 【例 1】王某从甲地出差去乙地，若每天从甲地到乙地分别有 4 趟航班、6 列火车、3 班长途汽车，问王某从甲地到乙地共有多少种不同的方法？A.13 B.15 C.18 D.24 问题一：此题在解决什么事情？如果选择乘坐长途汽车，能否解决这件事？问题二：此题需分类还是分步？问题三：求解。【例 2】从甲地去丙地有 3 条路，从丙地去乙地有 2 条路，问从甲地去乙地有多少种不同的方法？A.2 B.3 C.5 D.

33、6 问题一：此题在解决什么事情？如果只从甲到丙，或者只从丙到乙，能否解决这件事？问题二：此题需分类还是分步？问题三：求解。1.排列与组合 排列与组合研究的是从一个大集合中，选取若干个不同元素的方法数的问题（1）排列在选取元素的时候有顺序要求，改变选取的顺序对结果有影响（2）组合在选取元素的时候无顺序要求，改变选取的顺序对结果无影响 2.排列数与组合数（1）排列数用Am 表示，Am=n（n-1）（n-2）（n-m+1）n n（2）组合数用C 表示，C m m n （n 1）（n 2）n（n m 1）n m!二、排列组合与排列数组合数 例题精讲 【例 1】（1）判断下列题目是排列还是组合问题。a.

34、从甲、乙、丙 3 人中选出 2 人主持节目，其中 1 名为正主持人，1 名为候补主持人，有多少种不同的方法？b.从甲、乙、丙3 人中选出 2 人主持节目，有多少种不同的选法？（2）判断下列题目是排列还是组合问题，并写出相应方法数的表达式。a.从 9 个人中选出 4 个人，排成一排，有多少种不同的排法？b.从 10 盆不同的红花中任选 3 盆，有多少种不同的选法？6 6 7 4 2 7 （3）计算下列各式。A 3=C3=C2=A 4=C2=C5=【例 2】林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的两种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少

35、种不同选择方法？A.4 B.24 C.72 D.144 问题一：此题需分类还是分步？如何分类或分步？问题二：林辉挑选某类食物时，是排列还是组合？问题三：求解。【例 3】有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？A.24 B.48 C.64 D.72 问题一：此题需分类还是分步？如何分类或分步？问题二：每一类或每一步中灯的次序对信号有影响吗？是排列还是组合？问题三：求解。1.优限法 题型特征：有绝对限制条件的元素 2.捆绑法 题型特征：元素相邻 3.插空法 题型特征：元素不相邻 4.间接法 题型特征：正面求解比较复杂（一般出

36、现“至多”或“至少”）【例 4】一张试卷上有 4 道选择题和 3 道证明题，选择题每道 10 分，证明题每道 20 分。小王作答这张试卷一共得了 50 分，求一共有多少种不同的情况？A.8 B.12 C.16 D.24 问题一：选择题和证明题需要各对多少题就可以得到50 分？需要分类还是分步？问题二：如果分类，每一类是排列还是组合？如果分步，每一步是排列还是组合？问题三：求解。三、常用方法 随堂巩固 例题精讲 【例】由数字 1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位数，（1）数字 1 必须在首位或末尾的五位数有（）个。（2）两个偶数必相邻的五位数有（）个。（3）两个偶数互不相邻的五位数有（）个。

37、（4）万位和千位上至少有一个奇数的五位数有（）个。1.餐厅需要使用 9 升食用油，现在库房里库存有 15 桶 5 升装的，3 桶 2 升装的，8 桶 1 升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的 9 升食用油？A.4 B.5 C.6 D.7 2.张老师要将 3 本不同的外文书、1 本科技书和 2 本不同的计算机书摆成一排放在书架上，若科技书必须放在两端，则有（）种不同的摆放顺序。A.480 B.240 C.120 D.60 3.为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺

38、序的种数在以下哪个范围之内？A.小于 1000 B.10005000 C.500120000 D.大于 20000 4.某单位举办职工大会，5 名优秀员工坐一排，其中有 2 名男员工，若要求 2 名男员工不能坐在一起，则有多少种不同的座次安排？A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 5.单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由 3 名男职工和 3 名女职工组成。假设比 赛时要求 3 名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有多少种不同的站位。A.432 B.504 C.576 D.720 6.某单位要求职工参加 20 课时线上教育课程，其中政治理论 10 课时，专业技能 10 课

39、时。可供选择的政治理论课共 8 门、每门 2 课时；可供选择的专业技能课共 10 门。其中 2 课时的有 5 门，1 课时的有 5 门。问可选择的课程组合共有多少种？A.616 B.1848 C.5600 D.5656 课堂小结 如果试验中可能出现的等可能事件数有 n 个，而事件 A 包含的等可能事件数有 m 个，那么事件A 发生的概率为：m P(A)=n 第七章 概率问题 抛一枚硬币，观察向上的面是字面还是花面，问字面向上的概率为多少？什么是概率问题？表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。概率是一个在 0 到 1 之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量。一、古典概率 例题精

40、讲 【例】箱子内有除颜色外都相同的 5 个白球，4 个红球。（1）从中任取一球，取到白球的概率为；（2）从中任取两球，取到的两球都是红球的概率为。问题一：问题（1）（2）的总事件分别是什么？总事件数分别为多少？问题二：问题（1）（2）所求事件分别是什么？所求事件数分别为多少？问题三：问题（1）所求概率为多少？问题（2）所求概率为多少？独立事件指的是某事件发生与否对其他事件发生的概率没有影响多个独立事件同时发生的概率为多个事件分别发生的概率之积 （3）从中任取两球，取到的两球至少有 1 个是白球的概率为。方法一：问题一：总事件是什么？总事件数为多少？问题二：所求事件是什么？所求事件数为多少？问题

41、三：所求概率为多少？方法二：问题一：总事件是什么？总事件数为多少？问题二：所求事件的对立事件是什么？对立事件数为多少？问题三：所求概率为多少？二、独立事件 例题精讲 【例】小王开车上班需经过 4 个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为 0.1、0.2、0.25、0.4，则他上班经过 4 个路口全是红灯的概率是：A.0.001 B.0.002 C.0.01 D.0.02 在相同条件下，将某试验重复进行 n 次，且每次试验中任何一事件的概率不 受其他次试验结果的影响，这类试验称为 n 次独立重复试验。如果在一次试验中事件 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发

42、生k 次的概率为：P（事件A 发生 k 次）=C p k k n 1-pn-k 问题一：经过每个路口是否遇到红灯，相互之间有影响吗？问题二：所求概率为多少？三、多次独立重复试验 例题精讲 【例】某人向单位圆形状的靶子内投掷一个靶点，连续投掷 4 次，若恰有 3 次落在第一象限的位置（假设以靶心为坐标原点，水平和竖直方向分别为横、纵坐标轴建立平面直角坐标系）请你帮他计算一下这种可能性大小为：3 1 1 3 A.B.C.D.64 64 4 4 问题一：每次投掷是否落在第一象限，相互之间有影响吗？问题二：每次投掷落入第一象限的概率是否相同？问题三：所求概率的列式为，具体数值为。随堂巩固 1.某人想要

43、通过掷骰子的方法做一个决定：他同时掷 3 颗完全相同且均匀的骰子，如果向上的点数之和为 4，他就做此决定。那么，他能做这个决定的概率是：A.1 B.1 C.1 D.1 36 64 72 81 2.从装有 4 个红球、4 个白球的袋中任取 4 个球，则所取的 4 个球中包括两种不同颜色的概率是：A.69 B.7 C.33 D.34 70 8 35 35 3.某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相同。小张、小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：A.不高于 15%B.高于 15%但低于 20%C.正好为 20%D.高于 20%4.已知甲乙两队进行篮球比赛，采取 7 局 4 胜制，甲队

44、每局获胜的概率是 0.6，求甲队以 43 战胜对手的概率在以下哪个范围？A.10%以下 B.10%20%C.20%30%D.30%40%课堂小结 数量关系 第 4 次课 1.学习内容：容斥问题、几何问题、函数图像问题 2.重点掌握：（1）容斥问题的核心公式，文氏图的画法以及在实际解题中的应用。（2）几何问题的相关公式、性质，能够画出几何图形，并解决实际问题。（3）常见函数的图像及相关性质，明确一般函数图像问题的解题思路。第八章 容斥问题 某班有 38 名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有 26 人，答对第二 题的有 24 人，两题都答对的有 17 人，则两题都答错的人数为多少？什么是

45、容斥问题？容斥问题主要是研究集合间交叉关系的一类问题，其中集合是具有某种相同属性的元素汇总而成的集体。集合间关系往往需要通过画文氏图进行梳理，一般用矩形表示全集，圆圈表示不同集合。计算全集时，为了不重复计数，需要把握的原则是不重不漏。A A B B 非A且非B I I A B-A B 非A且非B 一、两者容斥 例题精讲 【例 1】某公司组织歌舞比赛，共 68 人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有 12 人，参加歌唱比赛的有 18 人，45 人什么比赛都没有参加。问同时参加歌舞比赛的有多少人？A.7 B.8 C.9 D.10 问题一：本题出现了几个概念？概念间是否有交叉关系？问题二：是否可以用公式求解

46、？问题三：如何求解？【例 2】接受采访的 100 个大学生中，88 人在网上求职，76 人参加招聘会求职，其中只在网上求职的有 15 人，则这 100 个学生中只参加招聘会求职的有多少人？A.25 B.15 C.5 D.3 问题一：画出文氏图，将数据填入相应的区域。问题二：求解。A B A B A B C A C B C C 非A非B且非C I I A B C-A B-B C-A C A B C 非A非B且非C 二、三者容斥 例题精讲 【例 1】针对 100 名旅游爱好者进行调查发现，28 人喜欢泰山，30 人喜欢华山，42 人喜欢黄山，8 人既喜欢泰山又喜欢华山，10 人既喜欢泰山又喜欢黄山

47、，5 人既喜欢华山又喜欢黄山，3 人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人？A.20 B.18 C.17 D.15 问题一：本题出现了几个概念？概念间是否有交叉关系？问题二：是否可以用公式求解？问题三：如何求解？（A B）min A B-I（A BC）min A BC-2I 【例 2】某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有 8 种产品的低温柔度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有 7 种，有 1 种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？A.34 B.35 C.36 D.37 问题一：画出

48、文氏图，将数据填入相应的区域。问题二：如何将重复的化为一层？问题三：求解。三、容斥极值 例题精讲 【例】阅览室有 100 本杂志。小赵借阅过其中 75 本，小王借阅过 70 本，小刘借阅 过 60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有多少本？A.5 B.10 C.15 D.30 问题一：本题出现了几个概念？概念间是否有交叉关系？问题二：是否可以用公式求解？问题三：如何求解？随堂巩固 1.运动会上 100 名运动员排成一列，从左向右依次编号为 1-100，选出编号为 3 的 倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为 5 的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？A

49、.46 B.47 C.53 D.54 2.某研究室有 12 人，其中 7 人会英语，7 人会德语，6 人会法语，4 人既会英语又会德语，3 人既会英语又会法语，2 人既会德语又会法语，1 人三种语言都会。会且只会一种语言的有多少人？A.8 B.4 C.5 D.6 3.某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为 90%。调查对象中有 179 人使用搜索引擎获取信息，146 人从官方网站获取信息，246 人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有 115 人，使用其中两种的有 24 人，另有 52 人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？A.310 B.360 C.390 D.

50、410 4.玩具厂 2014 年第一季度有 80%的人全勤，第二季度有 85%的人全勤，第三季度有 95%的人全勤，第四季度有 90%的人全勤。该厂全年全勤的人最少占全厂的百分之几？A.40%B.50%C.60%D.70%课堂小结 第九章 几何问题 几何问题主要研究几何图形中存在的数量关系，作出几何图形是解题的前提。解决几何问题需要掌握常见平面和立体图形的周长、面积、表面积、体积等计算公式。内容讲解 一、平面几何 （一）基本公式 图形 周长（C）面积（S）三角形 a+b+c 1 ah 2 长方形 2（a+b）ab 正方形 4a a 2 菱形 4a 1 mn（m、n 为互相垂直的对角线）2 梯形