电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方.pdf

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1、 -1-一章习题解答 1.1 给定三个矢量A、B和C如下：23xyzAeee 4yz Bee 52xzCee 求：1Aa；2AB；3A B；4AB；5A在B上的分量；6A C；7()A BC和()AB C；8()ABC和()ABC.解 12222312314141412(3)xyzAxyz eeeAaeeeA 2AB(23)(4)xyzyz eeeee6453xyzeee 3A B(23)xyzeee(4)yzee11 4 由 cosAB11111417238 A BA B;得 1cosAB11()135.5238 5A在B上的分量 BA AcosAB1117 A BB 6A C123502x

2、yzeee41310 xyzeee 7 由于B C041502xyzeee8520 xyzeee A B123041xyzeee1014xyzeee 所以 ()A BC(23)xyzeee(8520)42xyz eee ()AB C(1014)xyzeee(52)42xz ee 8()ABC1014502xyzeee2405xyzeee()ABC1238520 xyzeee554411xyzeee -2-1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P.1 判断123PP P是否为一直角三角形；2 求三角形的面积.解 1 三个顶点1(0,1,2)P、2(4,

3、1,3)P和3(6,2,5)P的位置矢量分别为 12yzree;243xyzreee;3625xyzreee 则 12214xzRrree;233228xyzRrreee;311367xyz Rrreee 由此可见 1223(4)(28)0 xzxyzRReeeee 故123PP P为一直角三角形.2 三角形的面积 12231223111176917.13222S RRRR 1.3 求(3,1,4)P 点到(2,2,3)P点的距离矢量R及R的方向.解 34Pxyz reee;223Pxyzreee;则 53P PPPxyzRrreee 且P PR与x、y、z轴的夹角分别为 115cos()co

4、s()32.3135xP PxP Pe RR 113cos()cos()120.4735yP PyP PeRR 111cos()cos()99.7335zP PzP Pe RR 1.4 给定两矢量234xyzAeee和456xyzBeee;求它们之间的夹角和A在B上的分量.解 A与B之间的夹角为 1131cos()cos()1312977ABA BA B A在B上的分量为 313.53277BA BAB 1.5 给定两矢量234xyzAeee和64xyz Beee;求A B在xyzCeee上的分量.解 A B234641xyzeee132210 xyzeee 所以A B在C上的分量为 ()CA

5、B()2514.433 A B CC 1.6 证明：如果A B A C和A BA C;则BC；-3-解 由A BA C;则有()()AABAA C;即()()()()A B AA A BA C AA A C 由于A B A C;于是得到 ()()A A BA A C 故 BC 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积;那么便可以确定该未知矢量.设A为一已知矢量;p A X而PAX;p和P已知;试求X.解 由PAX;有()()()()pAPAAXA X AA A XAA A X 故得 pAAPXA A 1.8 在圆柱坐标中;一点的位置由2(4,3)3定出;求该点在：1 直角坐标中的

6、坐标；2 球坐标中的坐标.解 1 在直角坐标系中 4cos(23)2x、4sin(23)23y、3z 故该点的直角坐标为(2,2 3,3).2 在球坐标系中 22435r、1tan(4 3)53.1、23120 故该点的球坐标为(5,53.1,120)1.9 用球坐标表示的场225rrEe;1 求在直角坐标中点(3,4,5)处的E和xE；2 求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量22xyzBeee构成的夹角.解 1 在直角坐标中点(3,4,5)处;2222(3)4(5)50r ;故 22512rrEe 133 2cos2205 2xxrxE e EE 2 在直角坐标中点(3,4,5)处;34

7、5xyz reee;所以 23345252510 2xyzrreeerE 故E与B构成的夹角为 1119(10 2)cos()cos()153.63 2EBE BE B 1.10 球坐标中两个点111(,)r 和222(,)r 定出两个位置矢量1R和2R.证明1R和2R间夹角的余弦为 121212coscoscossinsincos()解 由 111111111sincossinsincosxyzrrrReee 222222222sincossinsincosxyzrrrReee -4-得到 1212cosR RR R 1122112212sincossincossinsinsinsincos

8、cos 121211212sinsin(coscossinsin)coscos 121212sinsincos()coscos 1.11 一球面S的半径为5;球心在原点上;计算：(3sin)drSeS的值.解 (3sin)d(3sin)drrrSSSeSee22200d3sin5 sind75 1.12 在由5r、0z 和4z 围成的圆柱形区域;对矢量22rzrzAee验证散度定理.解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rrzrrrzA 所以 425000ddd(32)d1200zrrrA 又 2d(2)(ddd)rzrrzzSSrzSSSASeeeee 4 25 220 00 055dd2

9、4 d d1200zrr 故有 d1200AdSAS 1.13 求 1 矢量22222324xyzxx yx y zAeee的散度；2 求 A对中心在原点的一个单位立方体的积分；3 求A对此立方体表面的积分;验证散度定理.解 12222232222()()(24)2272xx yx y zxx yx y zxyzA 2 A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 21 21 222221 21 21 21d(2272)d dd24xx yx y zxy z A 3A对此立方体表面的积分 1 21 21 21 2221 21 21 21 211d()dd()dd22Sy zy z AS 1 21

10、 21 21 222221 21 21 21 2112()d d2()d d22xx zxx z 1 21 21 21 22232231 21 21 21 211124()d d24()d d2224x yx yx yx y 故有 1d24AdSAS -5-1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分;并求 r对球体积的积分.解 22300dddsind4rSSSaaa rSr e 又在球坐标系中;221()3r rrrr;所以 2230 0 0d3sind dd4arra r 1.15 求矢量22xyzxxy zAeee沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分;此正方形

11、的两边分别与x轴和y轴相重合.再求 A对此回路所包围的曲面积分;验证斯托克斯定理.解 222220000ddd2 d0d8CxxxxyyAl 又 2222xyzxzyzxxyzxxy zeeeAee 所以 2 20 0d(22)d d8xzzSyzxxyASeee 故有 d8CAldS AS 1.16 求矢量2xyxxyAee沿圆周222xya的线积分;再计算 A对此圆面积的积分.解 2dddCCxxxyyAl2424220(cossincossin)d4aaa d()dyxzzSSAASxyASee242220 0dsind d4aSaySrrr 1.17 证明：13R；2R0；3()A R

12、A.其中xyzxyzReee;A为一常矢量.解 13xyzxyzR 2 xyzxyzxyyeeeR0 3 设xxyyzzAAAAeee;则xyzA xA yA zA R;故 -6-()()()xxyzyxyzA xA yA zA xA yA zxyA Ree()zxyzA xA yA zzexxyyzzAAAeeeA 1.18 一径向矢量场()rf rFe表示;如果0F;那么函数()f r会有什么特点呢 解 在圆柱坐标系中;由 1 d()0drf rrrF 可得到()Cf rr C为任意常数.在球坐标系中;由 221 d()0dr f rrrF 可得到 2()Cf rr 1.19 给定矢量函数

13、xyyxEee;试求从点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P的线积分dEl：1 沿抛物线2xy；2 沿连接该两点的直线.这个E是保守场吗 解 1 dddxyCCExEyElddCyxxy 2221d(2)2dyyyy2216d14yy 2 连接点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为 2812xxyy 即 640 xy 故 21dddd(64)(64)dxyCCExEyyyyyEl21(124)d14yy 由此可见积分与路径无关;故是保守场.1.20 求标量函数2x yz的梯度及在一个指定方向的方向导数;此方向由单位矢量345505050 xyzeee定出；求(2,3,1)点的

14、方向导数值.解 222()()()xyzx yzx yzx yzxyzeee 222xyzxyzx zx yeee 故沿方向345505050lxyzeeee的方向导数为 22645505050lxyzx zx yle 点(2,3,1)处沿le的方向导数值为 r r z o y r z z 1.21 -7-36166011250505050l 1.21 试采用与推导直角坐标中yxzAAAxyzA相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1()zrAArAr rrzA.解 在圆柱坐标中;取小体积元如题 1.21 图所示.矢量场A沿re方向穿出该六面体的表面的通量为()d dd dzzzzrrrrrrzzA

15、rrrArr ()(,)(,)rrrr A rrzrA rzz ()()1rrrArArzrrr 同理 d dd drr zzrr zzrzrzArzArz (,)(,)A rzA rzr z AArzr d dd drrrrzzzzzzrrArrArr (,)(,)zzA rzzA rz r rz zzAAr rzzz 因此;矢量场A穿出该六面体的表面的通量为()1rzrzArAArrrz 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1limrzArAArrrz A 1.22 方程222222xyzuabc给出一椭球族.求椭球表面上任意点的单位法向矢量.解 由于 222222xyzxyzuabc e

16、ee 2222222()()()xyzuabc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 222222222()()()()xyzuxyzxyzabcabcuneee 1.23 现有三个矢量A、B、C为 -8-sincoscoscossinrAeee 22sincos2sinrzzzrzBeee 22(32)2xyzyxxzCeee 1 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示 哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示 2 求出这些矢量的源分布.解 1 在球坐标系中 22111()(sin)sinsinrAr AArrrr A 22111(sincos)(sincoscos)(sin)sinsinrrrrr

17、 2cos2sincoscossincos0sinsinrrrr 2sin1sinsinrrrrrrArArAeeeA 2sin10sinsincoscoscossinsinrrrrrrreee 故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示;也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中 11()zrBBrBr rrzB=2211(sin)(cos)(2sin)rzzrzrrrz 22sinsin2 sin2 sinzzrrrr 22110sincos2sinrzrzrzrrrrzrrzBrBBzrzrzeeeeeeB 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中 yxzCCCxyzC=-9

18、-22(32)()(2)0yxxzxyz 22(26)322xyzzxyxyzyxxzeeeCe 故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示.2 这些矢量的源分布为 0A;0A；2 sinr B=;0B；0C;(26)zxyCe 1.24 利用直角坐标;证明()fffAAA 解 在直角坐标中()()yxzxyzAAAffffffAAAxyzxyz AA()()()yxzxyzAAAffffAfAfAxxyyzz()()()()xyzfAfAfAfxyz A 1.25 证明()AHHAAH 解 根据算子的微分运算性质;有()()()AH AHAHAH 式中A表示只对矢量A作微分运算;H表示只对矢量H作

19、微分运算.由()()a b cc ab;可得()()()AA AHHAHA 同理 ()()()HH AHAHAH 故有 ()AHHAAH 1.26 利用直角坐标;证明()fff GGG 解 在直角坐标中()()()yyxxzzxyzGGGGGGffyzzxxyGeee f G()()()xzyyxzzyxffffffGGGGGGyzzxxyeee 所以 -10-ff GG()()yzxzyGGffGfGfyyzze()()xzyxzGGffGfGfzzxxe()()yxzyxGGffGfGfxxyye()()yzxfGfGyze()()xzyfGfGzxe()()yxzfGfGxye()fG

20、1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u 及()0 A;试证明之.解 1 对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S;由斯托克斯定理有()dddd0SCCCuuululSl 由于曲面S是任意的;故有()0u 2 对于任意闭合曲面S为边界的体积;由散度定理有 12()d()d()d()dSSS AASASAS 其中1S和2S如题 1.27 图所示.由斯托克斯定理;有 11()ddSCASAl;22()ddSCASAl 由题1.27 图可知1C和2C是方向相反的同一回路;则有 12ddCC AlAl 所以得到 1222()ddddd0CCCC AAlAlAlAl 由于体积是任

21、意的;故有 ()0 A 二章习题解答 2.1 一 个 平 行 板 真 空 二 极 管 内 的 电 荷 体 密 度 为4 32 30049U dx;式中阴极板位于0 x;阳极板位于xd;极间电压为0U.如果040VU、1cmd、横截面210cmS;求：10 x 和xd区域内的总电荷量Q；22xd和xd区域内的总电荷量Q.1n 1C 2C 2S 1S 2n 题 1.27 图 -11-解 1 4 32 30004d()d9dQU dxSx 110044.72 10C3U Sd 2 4 32 30024d()d9ddQU dxSx 1100341(1)0.97 10C32U Sd 2.2 一个体密度为

22、732.32 10C m的质子束;通过1000V的电压加速后形成等速的质子束;质子束内的电荷均匀分布;束直径为2mm;束外没有电荷分布;试求电流密度和电流.解 质子的质量271.7 10kgm、电量191.6 10Cq.由 212mvqU 得 621.37 10vmqU m s 故 0.318Jv 2A m 26(2)10IJd A 2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷;球体以匀角速度绕一个直径旋转;求球内的电流密度.解 以球心为坐标原点;转轴一直径为z轴.设球内任一点P的位置矢量为r;且r与z轴的夹角为;则P点的线速度为 sinrvre 球内的电荷体密度为 343Qa 故

23、333sinsin434QQrraaJvee 2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q;同样以匀角速度绕一个直径旋转;求球表面的面电流密度.解 以球心为坐标原点;转轴一直径为z轴.设球面上任一点P的位置矢量为r;且r与z轴的夹角为;则P点的线速度为 sinavre 球面的上电荷面密度为 24Qa 故 2sinsin44SQQaaaJvee 2.5 两点电荷18Cq 位于z轴上4z 处;24Cq 位于y轴上4y 处;求(4,0,0)处的电场强度.解 电荷1q在(4,0,0)处产生的电场为 111330014424(4 2)xzqeerrErr -12-电荷2q在(4,0,0)处产生的电场为 2

24、22330024414(4 2)xyq eerrErr 故(4,0,0)处的电场为 120232 2xyzeeeEEE 2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l;求垂直于圆平面的轴线上za处的电场强度(0,0,)aE;设半圆环的半径也为a;如题 2.6 图所示.解 半圆环上的电荷元ddllla在轴线上za处的电场强度为 30dd4(2)laarrE 0(cossin)d8 2zxylaeee 在半圆环上对上式积分;得到轴线上za处的电场强度为(0,0,)da EE 220(cossin)d8 2lzxyaeee0(2)8 2lzxaee 2.7 三根长度均为L;均匀带电荷密度分别为1 l、2l和3

25、l地线电荷构成等边三角形.设1 l22l32l;计算三角形中心处的电场强度.解 建立题 2.7 图所示的坐标系.三角形中心到各边的距离为 3tan3026LdL 则 111003(cos30cos150)42llyydLEee 2120033(cos30sin30)(3)28llxyxyLLEeeee 3130033(cos30sin30)(3)28llxyxyLLEeeee 故等边三角形中心处的电场强度为 123EEEE 111000333(3)(3)288lllyxyxyLLLeeeee1034lyLe 2.8 点电荷q位于(,0,0)a处;另点电荷2q位于(,0,0)a处;空间有没有电场

26、强度0E的点 a z x y ld l P dE r r 题 2.6 图 2l 1 l 3l x y o 1E 3E 2E 题 2.7 图 -13-解 电荷q在(,)x y z处产生的电场为 1222 3 20()4()xyzxayzqxayzeeeE 电荷2q在(,)x y z处产生的电场为 2222 3 20()24()xyzxayzqxayz eeeE(,)x y z处的电场则为12EEE.令0E;则有 222 3 2()()xyzxayzxayzeee222 3 22()()xyzxayzxayzeee 由上式两端对应分量相等;可得到 222 3 2222 3 2()()2()()xa

27、xayzxaxayz 222 3 2222 3 2()2()y xayzy xayz 222 3 2222 3 2()2()z xayzz xayz 当0y 或0z 时;将式或式代入式;得0a.所以;当0y 或0z 时无解；当0y 且0z 时;由式;有 33()()2()()xa xaxa xa 解得(32 2)xa 但32 2xaa 不合题意;故仅在(32 2,0,0)aa处电场强度0E.29 一个很薄的无限大导电带电面;电荷面密度为.证明：垂直于平面的z轴上0zz 处的电场强度E中;有一半是有平面上半径为03z的圆内的电荷产生的.解 半径为r、电荷线密度为dlr的带电细圆环在z轴上0zz

28、处的电场强度为 022 3 200dd2()zr zrrzEe 故整个导电带电面在z轴上0zz 处的电场强度为 0022 3 222 1 20000000d12()2()2zzzr zrzrzrzEeee 而半径为03z的圆内的电荷产生在z轴上0zz 处的电场强度为 00330022 3 222 1 20000000d112()2()42zzzzzr zrzrzrzEeeeE 2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q;当球体以均匀角速度绕一个直径旋转;如题 2.10 图所示.求球心处的磁感应强度B.解 球面上的电荷面密度为 24Qa a Q b z o Id 题 2.10 图 -14-当球体

29、以均匀角速度绕一个直径旋转时;球面上位置矢量rare点处的电流面密度为 Szra Jv ree sinsin4Qaaee 将球面划分为无数个宽度为ddla的细圆环;则球面上任一个宽度为ddla细圆环的电流为 ddsind4SQIJl 细圆环的半径为sinba;圆环平面到球心的距离cosda;利用电流圆环的轴线上的磁场公式;则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 20223 2dd2()zbIbdBe23022223 2sind8(sincos)zQaaa e30sind8zQa e 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3000sind86zzQQaa Bee 2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈

30、;各有N匝;相互隔开距离为d;如题 2.11 图所示.电流I以相同的方向流过这两个线圈.1 求这两个线圈中心点处的磁感应强度xxBBe；2 证明：在中点处ddxBx等于零；3 求出b与d之间的关系;使中点处22ddxBx也等于零.解 1 由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2022 3 22()zIaazBe 得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 20223 2(4)xNIbbdBe 2 两线圈的电流在其轴线上x)0(dx 处的磁感应强度为 220022 3 222 3 22()2()xNIbNIbbxbdxBe 所以 220022 5 222 5 2d33()d2()2()xBNIb xNIb

31、dxxbxbdx 故在中点2dx 处;有 2200225 2225 2d32320d2424xBNIb dNIb dxbdbd 3 222200222 7 222 5 2d153d2()2()xBNIb xNIbxbxbx 2220022 7 222 5 215()32()2()NIb dxNIbbdxbdx 令 0dd222dxxxB;有 041445252227222dbdbd b I b I d 题 2.11 图 x -15-1p 2p y z 1 2 r 2.13 即 445222dbd 故解得 bd 2.12 一条扁平的直导体带;宽为a2;中心线与z轴重合;通过的电流为I.证明在第一

32、象限内的磁感应强度为 04xIBa;021ln4yIrBar 式中、1r和2r如题 2.12 图所示.解 将导体带划分为无数个宽度为xd的细条带;每一细条带的电流xaIId2d.由安培环路定理;可得位于x处的细条带的电流Id在点),(yxP处的磁场为 00ddd24IIxBRaR022 1 2d4()Ixa xxy 则 022dddsin4()xIyxBBa xxy 022()dddcos4()yI xxxBBa xxy 所以 022d4()axaIyxBa xxy 0arctan4aaIxxay 0arctanarctan4Iaxaxayy 0arctanarctan4Ixaxaayy 02

33、1()4Ia04Ia 022()d4()ayaI xxxBa xxy220ln()8aaIxxya22022()ln8()Ixayaxay021ln4Irar 2.13 如题 2.13 图所示;有一个电矩为1p的电偶极子;位于坐标原点上;另一个电矩为2p的电偶极子;位于矢径为r的某一点上.试证明两偶极子之间相互作用力为 121212403(sinsincos2cos cos)4rp pFr 式中11,r p;22,r p;是两个平面1(,)r p和2(,)r p间的夹角.并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大 解 电偶极子1p在矢径为r的点上产生的电场为 1115303()14rrp r

34、 rpE 所以1p与2p之间的相互作用能为 1212215303()()14eWrrp r p rp pp E a a I x y 2r 1r),(yxP dB R 1 2 题 2.12图 -16-因为11,r p;22,r p;则 111cosprp r 222cosp rp r 又因为是两个平面1(,)r p和2(,)r p间的夹角;所以有 2121212()()sinsincosr p prprp 另一方面;利用矢量恒等式可得 1212()()()rprprprp2112()rpr p rp21212()()()rp pr pr p 因此 12121221()()()()()rp prp

35、rpr pr p1212sinsincosp p1212coscosp p 于是得到 eW12304p pr12sinsincos122cos cos 故两偶极子之间的相互作用力为 erq constWFr1204p p12sinsincos122cos cos3d1()dr r 124034p pr12sinsincos122cos cos 由上式可见;当120时;即两个偶极子共线时;相互作用力值最大.2.14 两平行无限长直线电流1I和2I;相距为d;求每根导线单位长度受到的安培力mF.解 无限长直线电流1I产生的磁场为 0 112IrBe 直线电流2I每单位长度受到的安培力为 10 1

36、21221120d2mzI IIzd FeBe 式中12e是由电流1I指向电流2I的单位矢量.同理可得;直线电流1I每单位长度受到的安培力为 0 1 22112122mmI Id FFe 2.15 一根通电流1I的无限长直导线和一个通电流2I的圆环在同一平面上;圆心与导线的距离为d;如题 2.15 图所示.证明：两电流间相互作用的安培力为 0 1 2(sec1)mFI I 这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角.解 无限长直线电流1I产生的磁场为 0 112IrBe 圆环上的电流元22dIl受到的安培力为 0 1 22212ddd2myI IIxFlBle z x d 1I 22dIl a o

37、 2.15 -17-由题 2.15 图可知 2d(sincos)dxza lee cosxda 所以 201 20(sincos)d2(cos)mzxaI IdaFee 201 20cosd2(cos)xaI Idae01 20 1 22222()(sec1)2xxaI IdI Iaada ee 2.16 证 明 在 不 均 匀 的 电 场 中;某 一 电 偶 极 子p绕 坐 标 原 点 所 受 到 的 力 矩 为()rpEp E.解 如题 2.16 图所示;设dqpl(d1)l;则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为 2211()()qq TrE rrE r dddd()()()()2222q

38、qllllrE rrE r dddd()()d()()22222qq llllrE rE rlE rE r 当d1l 时;有 dd()()()()22llE rE rE r dd()()()()22llE rE rE r 故得到(d)()d()qq TrlE rlE r()rpEpE 三章习题解答 3.1 真空中半径为a的一个球面;球的两极点处分别设置点电荷q和q;试计算球赤道平面上电通密度的通量如题 3.1 图所示.解 由点电荷q和q共同产生的电通密度为 334qRRRRD 22 3 222 3 2()()4()()rzrzrzarzaqrzarzaeeee 则球赤道平面上电通密度的通量 r

39、 1r 2r q q dl z y o x 题 2.16 图 q a 赤道平面 3.1 -18-0ddzzSSSDSD e 22 3 222 3 20()2d4()()aqaar rrara 22 1 201(1)0.293()2aqaqqra 3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为ar的球体原子模型;其球体内均匀分布有总电荷量为Ze的电子云;在球心有一正电荷ZeZ是原子序数;e是质子电荷量;通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314raZerrrDe;试证明之.解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 124rZerDe 原子内电子云的电荷体密度为 333434aaZ

40、eZerr 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344rrarZe rrr Dee 故原子内总的电通量密度为 122314raZerrrDDDe 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中;体密度为30C m;两圆柱面半径分别为a和b;轴线相距为c)(abc;如题 3.3 图()a所示.求空间各部分的电场.解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布;不能直接用高斯定律求解.但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0的两种电荷分布;这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为0的均匀电荷分布;而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为0的均匀电荷分布;如题 3.3 图()b所示.空间任一

41、点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加.在br 区域中;由高斯定律0dSqES;可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 2200120022rbbrrrEe 2200120022raarr rEe 题 3.3 图()a a b c 0 -19-点P处总的电场为 2211220()2barrrrEEE 在br 且ar 区域中;同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 220022rrrrEe 22220022raarr rEe 点P处总的电场为 202220()2arrEEEr 在ar 的空腔区域中;大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 20030022r

42、rrrEe 20030022rrr rEe 点P处总的电场为 003300()22EEErrc 3.4 半径为a的球中充满密度()r的体电荷;已知电位移分布为 32542()()rrArraDaAarar 其中A为常数;试求电荷密度()r.解：由D;有 221 d()()drrr Drr D 故在ra区域 23220021 d()()(54)drrrArrArrr 在ra区域 5420221 d()()0daAarrrrr 3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜;球内充满总电荷量为Q为的体电荷;球壳上又另充有电荷量Q.已知球内部的电场为4()rr aEe;设球内介质为真空.计算

43、：1 球内的电荷分布；2 球壳外表面的电荷面密度.解 1 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 20021 d()dr ErrE432002441 d()6drrrrraa 题 3.3 图()b a b c 0 a b c 0 a b c 0 -20-2 球体内的总电量Q为 3220040d64d4arQrraa 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q;而且在球壳外表面上还要感应电荷Q;所以球壳外表面上的总电荷为 2Q;故球壳外表面上的电荷面密度为 02224Qa 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为ra和rb()ba;圆柱表面分别带有密度为1和2的面电荷.1 计算各处的电位移0D；2

44、 欲使rb区域内00D;则1和2应具有什么关系 解 1 由高斯定理0dSqDS;当ra时;有 010D 当arb时;有 02122rDa ;则 102rarDe 当br时;有 0312222rDab ;则 1203rabrDe 2 令 12030rabrDe;则得到 12ba 3.7 计算在电场强度xyyxEee的电场中把带电量为2 C的点电荷从点1(2,1,1)P移到点2(8,2,1)P时电场所做的功：1 沿曲线22xy；2 沿连接该两点的直线.解 1ddddxyCCCWqq ExEyFlEl 2221ddd(2)2dCq yxxyq yyyy22616d1428 10()qyyqJ 2 连

45、接点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为 2812xxyy 即 640 xy 故W 21ddd(64)(64)dCq yxxyq yyyy261(124)d1428 10()qyyqJ 3.8 长度为L的细导线带有均匀电荷;其电荷线密度为0l.1 计算线电荷平分面上任意点的电位；2 利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E;并用 E核对.解 1建立如题3.8图所示坐标系.根据电位的积分表达式;线电荷平分面上任意点P的电位为 202220d(,0)4LlLzrrz 222020ln()4LlLzrz 2L 2 P z r o 0l 3.8 -21-220220(2)2ln4(

46、2)2lrLLrLL 2200(2)2ln2lrLLr 2 根据对称性;可得两个对称线电荷元zld0在点P的电场为 0220dddcos2lrrrzErzEee0223 20d2()lrr zrze 故长为L的线电荷在点P的电场为 20223 200dd2()Llrr zrzEEe202200()2Llrzrrze02204(2)lrLrrLe 由 E求E;有 22002(2)ln2lLrLr E 2200dln2(2)ln2dlrLrLrre 022220122(2)(2)lrrrLrLrLe02204(2)lrLrrLe 3.9 已知无限长均匀线电荷l的电场02lrrEe;试用定义式()d

47、PrrrEl求其电位函数.其中Pr为电位参考点.解 000()ddlnln222PPPrrrlllPrrrrrrrrrEl 由于是无限长的线电荷;不能将Pr选为无穷远点.3.10 一点电荷q位于(,0,0)a;另一点电荷2q位于(,0,0)a;求空间的零电位面.解 两个点电荷q和2q在空间产生的电位 222222012(,)4()()qqx y zxayzxayz 令(,)0 x y z;则有 222222120()()xayzxayz 即 2222224()()xayzxayz -22-故得 222254()()33xayza 由此可见;零电位面是一个以点5(,0,0)3a为球心、43a为半

48、径的球面.3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 2013()()422aaZerrrrr 解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 124rZerDe 电子云在原子外产生的电通量密度则为 32224344arrrZerr Dee 所以原子外的电场为零.故原子内电位为 230011()d()d4aarrarrZerrD rrrr2013()422aaZerrrr 3.12 电场中有一半径为a的圆柱体;已知柱内外的电位函数分别为 2()0()()cosrraarA rrar 1 求圆柱内、外的电场强度；2 这个圆柱是什么材料制成的 表面有电荷分布吗 试求之.解 1 由E;可得到 r

49、a时;0 E ra时;E22()cos ()cos raaA rA rrrrree 2222(1)cos(1)sinraaAArree 2 该圆柱体为等位体;所以是由导体制成的;其表面有电荷分布;电荷面密度为 0002cosrr ar aA n Ee E 3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20 1sin()sin()hzkxly e 其中222hkl；2cos()sin()nrnAn 圆柱坐标；3cos()nrn 圆柱坐标；4cosr 球坐标；52cosr 球坐标.解 1 在直角坐标系中 2222222xyz 而 22222sin()sin()sin()sin()hzhzkxl

50、y ekkxly exx -23-22222sin()sin()sin()sin()hzhzkxly elkxly eyy 22222sin()sin()sin()sin()hzhzkxly ehkxly ezz 故 2222()sin()sin()0hzklhkxly e 2 在圆柱坐标系中 2222221()rr rrrz 而 11()cos()sin()nrrrnAnr rrr rr22cos()sin()nn rnAn 222221cos()sin()nn rnAnr 2222cos()sin()0nrnAnzz 故 20 3 2211()cos()cos()nnrrrnn rnr r