小学六年级奥数36讲(下).pdf

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1、第 13 讲 植树问题内容概述几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题典型问题 1 今有 10 盆花要在平地上摆成5 行，每行都通过4 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析与解】如下图所示：2今有 9 盆花要在平地上摆成10 行，每行都通过3 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析与解】如下图所示：3今有 10 盆花要在平地上摆成10 行，每行都通过3 盆花 请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析与解】如下图所示：4 今有20 盆花要在平地上摆成18 行，每行都通过4 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直

2、线表示行【分析与解】如下图所示：5 今有 20 盆花要在平地上摆成20 行，每行都通过4 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行【分析与解】如下图所示：第 14 讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题典型问题 1 ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表 1 至 9 中的不同的数字已知 ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD EFG的最大值与最小值相差多少?【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小 A 显然只能为1，则 B

3、CD+EFG=993，当 ABCD 与 EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则 BCD尽可能小，EFG尽可能大，有 BCD最小为 234，对应 EFG为 759，所以有1234 759 是满足条件的最大乘积；当 ABCD 与 EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则 BCD尽可能大，EFG尽可能小，有 EFG最小为 234，对应 BCD为 759，所以有1759234 是满足条件的最小乘积；它们的差为12347591759234=(1000+234)759一(10 00+759)234=1000（759234)=525000 2.有 9 个分数的和为1，它们的分子都是1其中的 5 个

4、是13,17,19,111,133另外 4 个数的分母个位数字都是5请写出这4 个分数【分析与解】l一(13+17+19+111+133)=2 10133 711=1010335 711需要将 1010 拆成 4 个数的和，这4 个数都不是5 的倍数，而且都是3371l的约数因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693经试验得693+231+77+9=1010所以，其余的4 个分数是：15,115,145,1385.3.请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式【分 析 与 解】1988=2277l=4 497，112+1413，在等 式 两边

5、同时 乘 上1497，就得15964+1198811491显然满足题意又135+114=110，两边同乘以1142，就得14970+1198811420显然也满足13053+1198811204，18094+1198811596均满足.4 小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数1=对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14 1 的表中有人发现表中14 个数中有两个数是错的请你改正问改正后的两个数的和是多少?【分析与解】甲组的前三个数0.625，23，914都是小于1 的数，21732与这三个数运算后，得 5.05，45164，4516；不论减 1 还

6、是加 l 后，这三个数都比21732大，而这是21732与小于 1 的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号现在验算一下：217320.625=813285=8120=4.05；2173223=813232=31564；21732914=8132149=6316=31516；217323=2732.从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4516是错的按照算式乙组的数甲组的数+1,*23+1=123，显然不为1.5，上面已认定3 是正确的，因此，只有把2 改为1.5，才有1.53+1=112，而 1.50.625+l=3.4，1.523+1=3.25 由此可见，确定的算式*是

7、正确的表中有两个错误，4516应改为 41516，2 应改为 1.5，41516+112=5+15816=6716改正后的两个数的和是6716 5 图 143 中有大、中、小3 个正方形，组成了8 个三角形现在先把1，2，3，4 分别填在大正方形的4 个顶点上，再把1，2，3，4 分别填在中正方形的4 个顶点上，最后把1，2，3，4 分别填在小正方形的4个项点上 (1)能否使 8 个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由 (2)能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由【分析与解】(1)无论怎样填法，都不可以使八个

8、三角形顶点上数字之和相等事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为 k在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：8k=(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)，即 8k=60,k 不为整数，矛盾，所以假设是错误的 (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1+1+2=4，最大为3+4+411而 411 共 8 个数，于是有可能使得

9、8 个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一图(a)和图(b)是两种填法 6 图 14 5 中有 11 条直线请将1 至 11 这 11 个数分别填在11 个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数【分析与解】表述 1：设每行的和为S，在左下图中，除了a 出现 2 次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+,+11)+a=66+a；在右上图中除了a 出现5 次，其他数字均只出现了1 次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+,11)+4a66+4a综合以上两式466(1)5664(2)SaSa，5-

10、4 得 66-11a=0，所以 a=6，则 S=18考虑到含有*的五条线，有 4*+(1+2+3+4+,+11)-t=5S=90 即 4*-t=24，由 t 是 111 间的数且t*，可知*=7，而每行相等的和S为 18.表述 2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x，首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a 的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a 的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有：(111)112+a=4S，即 66+a=4S再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、

11、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到 66+4a=5S综合两个等式6646645aSaS，可得 a 为 6，每条直线上和S为 18最后考虑含x 的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)其中除了x出现了 5 次，e 没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：66+4x e=5S=90，即 4x-e=24，由 e 是 111 间的数且e x 可知 x=7即每行相等的和S为 18，*所填的数为7 7 一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5 次所得的新数连同原来的

12、六位数共6 个数称为一组循环数已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l 倍，2 倍，3 倍，4 倍，5 倍，6 倍，求这个六位数【分析与解】方法一：17=.0.142857，27=.0.285714，37.0.4 28571，47.0.571428，57.0.714285，67.0.85714 2。对应有 142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857 的 1、2、3、4、5、6 倍且只用了1、4、2、8、5、7 这 6 个数字，满足题意所以这个六位数为142857方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然 2*的 6

13、 倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为1abcde，那么 6 个六位数中必定存在一个数为1abcde.而个位数字1，只能由11，37 或 99 得到但是1abcde只能对应为1abcde(2 6)，所以只能是1abcde3 得到即1abcde=1abcde3于是，我们不难递推出d 为 5，c 为 8，b 为 2，a 为 4，所以这个六位数为142857方法三：部分同方法二，1abcde=1abcde3那么有abcde10+l=(100000+abcde)3，解得abcde=42857所以这个六位数为14285715 讲 计数综合 1 内容概述将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问

14、题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案与分数、几何等相关联的计数综合题典型问题 1 一个长方形把平面分成两部分，那么3 个长方形最多把平面分成多少部分?【分析与解】一个长方形把平面分成两部分第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成 2 部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9 的部分)还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10 部分第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，

15、其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加34=12 个部分而第三个长方形的4 个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4 个部分所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26 2 一个楼梯共有10 级台阶，规定每步可以迈1 级台阶或2 级台阶，最多可以迈3 级台阶从地面到最上面1 级台阶，一共可以有多少种不同的走法?【分析与解】我们知道最后一步可以迈1 级台阶、2 级台阶或3 级台阶，也就是说可以从倒数第1、2或 3 级台阶直接迈入最后一级台阶即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2 和 3 级台阶的走法和而倒数第l 级台阶的走法等于倒数第 2、3

16、和 4 级台阶的走法和，,如果将 1、2、3,级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4 项开始，每一项等于前3 项的和有 1，2，3级台阶的走法有1，2，4 种走法，所以4，5，6，7，8，9，10 级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274 种走法 3 一个圆上有12 个点 A1，A2，A3，,，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?【分析与解】我们采用递推的方法 I如果圆上只有3 个点，那么只有一种连法如果圆上有6 个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对

17、应的圆弧上，表1 给出这时有可能的连法如果圆上有9 个点，考虑A1所在的三角形此时，其余的6 个点可能分布在：A1所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上在表 2 中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧如果是情形，则由，这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法共有 12 种连法最后考虑圆周上有12 个点同样考虑A1所在三角形，剩下9 个点的分布有三种可能：9 个点都在同一段弧上：有 6 个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上得到表3共有 123+36+1 55 种所以当圆周上有

18、12 个点时，满足题意的连法有55 种.4 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速“希望牌”变速自行车主动轴上有3 个齿轮，齿数分别是 48，36，24；后轴上有4 个齿轮，齿数分别是36，24，16，12问：这种变速车一共有多少挡不同的车速?【分析与解】算出全部的传动比，并列成表：这里有 4 对传动比是相同的：1，32，2，3，将重复的传动比去掉，剩下8 个不同的比，所以共有 8 挡不同的车速5分子小于6，分母小于60 的不可约真分数有多少个?【分析与解】分子的取值范围是从1 到 5当分子为1 时，分母可

19、从2到 59，共有 58 个真分数，它们当然都是不可约分数由于 2，3，5 都是质数，因此当分子分别为2，3，5 时，分母必须而且只需适合下列两个条件：分母大于分子且小于60分母不是分子的倍数易知：当分子为2 时，适合条件的分母有29 个；当分子为3 时，适合条件的分母有38 个：当分子为5 时，适合条件的分母有44 个；最后来看分子为4 的情形，与分子为2 基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3所以共有28(=29 1)个总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28197 个 6 一个正方形的内部有1996 个点，以正方形的4 个顶点和内部的1996 个点为顶点，将它剪成一些三角

20、形 问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出1 个点、2 个点、3 个点,时可剪出的三角形个数，需剪的刀数不难看出，当正方形内部有n 个点时，可以剪成2n2 个三角形，需剪3n+l 刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成21996+2=3994 个三角形，需剪31996+1=5989 刀方法二：我们知道内部一个点贡献360 度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有 n 个点时，共有 360n+360 度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)18

21、0=2n+2个三角形 2n+2个三角形共有3(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4 条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+64=6n+2 条边，又知道每条边被2 个三角形共用，即每2 条边是重合的，所以只用剪(6n+2)2 3n+1 刀本题中 n=1996，所以可剪成3994 个三角形，需剪5989 刀7如图 153，某城市的街道由5 条东西与7 条南北向马路组成现在要从西南角的A 处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法?【分析与解】因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走

22、法之和，并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有1 种走法因为 C点不能通过，所以C处所标的数字为0如下图所示：所以，从A到 B满足条件的走法共有120 种8经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打有一天共有9 封信打，经理按第1 封，第 2 封，,，第9 封的顺序交给秘书午饭时，秘书告诉同事，已把第8 封信打印好了，但未透露上午工作的其他情况，这个同事很想知道是按什么顺序来打印根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)【分析与解】我们根据最后一封信来计数：(1)第 9 封信在上午送给秘书；于是，T=1，2，3

23、，4，5，6，7，9 则下午打印的每种可能都是T 的一个子集，因为秘书可以把不在子集中的信件上午一送来就打完了，而未打别的信集T 有 8 个元素，故有28=256 个不同子集(包括空集)(2)第 9 封信在午后才送给秘书令 S1，2，3，4，5，6，7，则上午未打印的信的号码是S的一个子集 若将 9 排在子集之后，则与中的情形相同，故只有子集中至少有一封信已把号码9 放在该子集的非最后的位置上对于有 k 个元素的子集，号码 9 有 k 个位置可放，即可放在第i 一 1 个元素之后和i 个元素之前，i=1，2，,，k于是不同的顺序总数为：0C07+1C17+2C27+,+7C77=7272=72

24、6=448 即下午有448 种可能的打印顺序所以，下午共有256+448=704 种打印的方法第 16 讲 逻辑推理内容概述体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题典型问题 1共有 4 人进行跳远、百米、铅球、跳高4 项比赛，规定每个单项中，第一名记5 分，第二名记3 分，第三名记2 分，第四名记1 分已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11 分，其中跳高

25、得分高于其他项得分问总分第二名在铅球项目中的得分是多少?【分析与解】每个单项的4 人共得分5+3+2+1=11 分，所以 4 个单项的总分为114=44 分，而第一，三名得分为17、11 分，所以第二、四名得分之和为44(1711)16分 其中第四名得分最少为4 分，此时第二名得分最高，为16-4=12 分；又因为第三名为11 分，那么第二名最低为12 分；那么第二名只能为12 分，此时第四名4 分于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4 分，而 17 只能是5+5+5+2，4 只能是 1+1+1+1.不难得到下表：由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3 分 2 4 支足球队进

26、行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得3 分，负者得0 分，平局各得1 分比赛结果，各队的总得分恰好是4 个连续的自然数问：输给第一名的队的总分是多少?【分析与解】四个队共赛了244362C场，6场总分m在 12(=62)与 18(=6 3)之间由于m是 4 个连续自然数的和，所以m=234=5 14 或m=3+4+5=18如果m=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1 表明两场踢平，矛盾所以m=14，14=32+24表明 6 场中只有2 场分出胜负 此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这

27、样第一名还有1局胜，第二名还有1 局负，所以第一名胜第二名即输给第一名的队得4 分如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条,AB，表示A胜,B各队用它们的得分来表示评注：常见的体育比赛模式N个队进行淘汰赛，至少要打1N场比赛：每场比赛淘汰一名选手；N个队进行循环赛，一共要打2(1)2NN NC场比赛：每个队要打1N场比赛循环赛中常见的积分方式：两分制：胜一场得2 分，平一场得1 分，负一场得0 分；核心关系：总积分=2比赛场次；三分制：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得O分；核心关系：总计分=3比赛场次-1 赛平场次3 6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜

28、者得3 分，负者得0 分，平局各得 1 分现在比赛已进行了4 轮，即每队都已与4 个队比赛过，各队已赛4 场的得分之和互不相同已知总得分居第三位的队共得7 分，并且有4 场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?【分析与解】每轮赛 3 场，最多产生3 39分，四轮最多4 936分现在有4 场踢成平局，每平一场少1 分，所以总分为364 132前三名得分的和至少为78924.所以后三名的得分的和至多为32248.第 5 名如果得4 分，则后三名的得分的和至少为459,这不可能，所以第 5 名最多得3 分，图(a)为取 3 分时的一种可能的赛况图显然第 5 名最少得1 分

29、，图(b)为取 1分时的一种可能的赛况图评注：以下由第5 名得分情况给出详细赛况：4某商品的编号是一个三位数现有5 个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字那么这个三位数是多少?【分析与解】方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765，123，364，925 百位上五个数各不相同，十位上有两个6 和两个2，个位上有两个4 和两个 5因此，商品编号的个位数字一定和给定5 个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定 5 个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位

30、数字只能跟5 个数中的一个百位数字相同若商品编号的个位数字是5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要求(事实上，十位数字只能取7，而十位上只有一个7)若商品编号的个位数字是4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2，可取十位数字为2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7，所以商品的编号为724如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5如果是 3，那么 874，765，364，925 这 4 个数中至多有三个数与商品编号有相

31、同数字(百位有一个相同，十位有两个相同)，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾如果是 5，那么 765，925 的个位数字是5，从而商品号码的十位数字不是6、2，因此必须是7这时123、364 中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾所以，该商品号码的个位数字只能是4，而且这个号码应为724即这个三位数为724 5 某楼住着4 个女孩和2 个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10 岁，最小的4 岁，最大的女孩比最小的男孩大4 岁，最大的男孩比最小的女孩大4 岁求最大的男孩的岁数【分析与解】本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10 岁，那么最小的男孩为104

32、6 岁，则 4 岁定是最小的女孩，那么最大的男孩是4+4：8 岁，满足题意；当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10 岁，那么最小的女孩为10 4=6 岁.则 4 岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为4+4=8 岁，也就是说4 个年龄不同的女孩的年龄在68 之间，显然得不到满足于是，最大的男孩为8 岁 6 某次考试满分是100 分，A，B，C，D，E这 5 个人参加了这次考试 A 说：“我得了94 分”B 说：“我在5 个人中得分最高”C 说：“我的得分是A和 D的平均分，且为整数”D 说：“我的得分恰好是5 个人的平均分”E 说：“我比C多得了 2 分，并且在5 个人中居第二”问这 5 个人

33、各得了多少分?【分析与解】B、E分别为第一、二名，C介于 A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，得 5 人平均分的人为最后一名，显然不满足于是 D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为94 分，C为 D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98 或 96(如果为 100，则 B、E无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94 或 96、95、94，有 E比 C高 2 分，则 E、D、C、A得分依次为 98、98、96、94 或 97、96、95、94.对应 5 个人的平均分为98 或 96，而 B 的得分对应为104

34、 或98，显然 B得不到 104 分所以 B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94 7 在一次射击练习中，甲、乙、丙3 位战士各打了4 发子弹，全部中靶其命中情况如下：每人 4 发子弹所命中的环数各不相同；每人 4 发子弹所命中的总环数均为17 环；乙有 2 发命中的环数分别与甲其中的2 发一样，乙另2 发命中的环数与丙其中的2 发一样：甲与丙只有1 发环数相同；每人每发子弹的最好成绩不超过7 环问：甲与丙命中的相同环数是几?【分析与解】条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过7 环、四发子弹命中

35、的环型不相同，和为17 环的所有情况；第二步：在这些情况中去掉不符合条件、的，剩下的就是符合全部条利的情况，即为答案满足条件、的只有如下四种情况：甲乙.763117()17.754117()AB杯都有 和；杯丙.753217()45.654217()CD杯都有和杯从上述四个式子中看出式A与式 B 有数字 1、7 相同；式B与式 D有数字 4 和 5 相同式B 既与式 A有两个数字相同，又与式D有两个数字相同，式B就是乙式 A与式 D对应为甲和丙式 A与式 D相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6第 17 讲 赛况分析内容概述赛况分析是一些学校近年考试的热点，我们再给出几例，希望大家在掌握了下

36、面的知识点以后，多多练习常见的体育比赛模式：N个队进行淘汰赛，至少要打N-1 场比赛：每场比赛淘汰一名选手；N个队进行循环赛，一共要打2NNN-1C2（）场比赛：每个队要打N-1 场比赛循环赛中常见的积分方式：两分制：胜一场得2 分，平一场得1 分，负一场得0 分；核心关系：总积分=2比赛场次；三分制：胜一场得3 分，平一场得1 分。负一场得0 分；核心关系：总计分=3比赛场次一1赛平场次典型问题 2一次围棋比赛共有10 名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每队不少于2 人，每个人都与其他的9 人比赛，每盘胜者得2 分，负者得0分，平居各得1分结果乙队平均得分为5.2 分，丙队平均分17

37、 分，试求甲队的平均分【分析与解】因为每队的总分均为整数，所以乙队为5 人，那么乙队的总为26 分考虑丙队的情况：选手所能得到的最高分为18 分，而丙队中的最高不少于17 分当最高分为18 分，次高分至多为16 分，第三名至多14 分，,，前两名的平均分为17 分当最高分为17 分，次高分至多为17 分，第三名至多14 分，,，第一名/前两名的平均分为17分因为丙队不少于2 人，所以丙队2 人，则丙队的总分为34 分所以甲队有10-5-2=3 人，总分为210C2263430分，所以平均分为303=10 分 4 五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛胜一场得3 分，平一场得1 分，负一

38、场得0 分最后发现各队得分都不相同，第三名得了7 分，并且和第一名打平，那么这五支球队的得分从高到低依次是多少?【分析与解】每个队各赛4 场，共赛 542：10 场第三名得7 分，与第一名打平，那么剩下的 3 场，得 6 分，只能是3+3+0，即第二名的比赛输了，所以只能是1+0+3+3那么，第一名为+3+1+3+3，第二名为0+3+3+3，第三名为1+0+3+第四名为0+0+0+3，第五名为0+0+0+0+所以，这五支球队的得分从高到低依次是10、9、7、3、0 6.有五支足球队进行循环赛，每两个队之间进行一场比赛，胜者得3 分，平者各得1 分，负者得0 分现在还有一些比赛没有进行，各个队目

39、前的得分恰好是五个连续的偶数，其中甲队积2 分，并且负于乙队，那么乙队现在积多少分?【分析与解】最高分为34=12，而赛完后5 支队伍的最高分为25C3=30 分，因为出现2 分，所以 5 个连续的偶数，可能是0、2、4、6、8；2、4、6、8、10但是，2+4+6+8+10=30 分，而还有些比赛没有进行，所以只能是0、2、4、6、8甲：1+0+1+1+，乙：3+1+，丙：1+，丁：1+，戊：所以，只能是戊为0 分当乙为8 分时，只能是3+1+1+3，因为丙、丁在我们看来完全等价，当丁为6 分时 1+1+1+3，此时丙只能是4 分，只能是1+1+1+1，而这时戊一定有得分所以不满足当乙为6

40、分时，只能是3+0+0+3，当丙为8 分时 1+3+1+3，此时丁只能是4分，但是只能是1+3+1+，超过4 分所以不满足当乙为4 分时，只能是3+l+0+，当丁为8 分时 l+3+1+3，此时丙只能为6 分，为 1+1+l+3 满足所以，乙的得分为48五支足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得2 分，负者得 0 分，平局各得1 分已知：(1)4队获得了冠军；(2)B 队、C队和 D队的得分相同，且无其它并列情况；(3)在 C队参加的比赛中，平局只有一场，那场的对手是B队；(4)D 队战胜了A队请你根据上述信息，分析出每场比赛的胜、平、负情况【分析与解】根

41、据已知条件可以画出如下赛况图：因为每场比赛2 个队共得 2 分，所以5 个队的总分为25C 2=20分 (1)当 B、C、D均得 2 分，而 A最多得到6 分，E最少得到 20-23-6=8 分，超过 A，而 A是冠军，所以不满足；(2)当 B、C、D均得 3 分，此时 E的得分最少为20-33-6=5 分，所以此时只能是A得 6 分，B、C、D均得 3 分，E得 5 分于是，A的另外三场均是A胜 E 于是只能一场平，另外的2 场为胜由条件3 知，E不可能与C平，所以只能是与B或 D打平当 E与 D平，有，有如左下图的赛况表当 E与 B平，有，有如右上图的赛况表 (3)当 B、C、D均得 4

42、分，因为 C 只能平一场得到1 分，而其他情况，要么得到2 分，要么不得分，所以不可能；(4)当 B、C、D均得 5 分，那么只能是A得 5 分，E得 0 分，不满足综上所述，有2 种赛况表满足，第 18 讲 方程与方程组 1 内容概述二元、三元一次方程组的代入与加减消元法各种可通过列方程与方程组解的应用题，求解时要恰当地选取未知数，以便于将已知条件转化为方程典型问题1一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是15那么原来的分数是多少?【分 析 与 解】方 法 一：设 这 个 分 数 为122aa，则 分 子、分 母 都 减 去19为19191=(122)1

43、91035aaaa,即5-95=103-aa,解得33a,则 122-33=89 所以原来的分数是3389方 法 二：设 这 个 分 数 为 变 化 后 为5aa，那 么 原 来 这 个 分 数 为19519aa，并 且 有(1 9)(51 9aa=122,，解得。=14所以原来的分数是33892有两堆棋子，A堆有黑子350 和白子 500 个，B堆有黑子400 个和白子100 个为了使A堆中黑子占 50，B堆中黑子占75，那么要从B堆中拿到A堆黑子多少个?白子多少个?【分析与解】要使 A堆中黑、白子一样多，从 B堆中拿到A堆的黑子应比白子多150 个，设从 B堆中拿白子x个，则拿黑子(x+1

44、50)个依题意有400(15).400100(2150)xx=75,解得x=25.所以要拿黑子25+150=175 个白子25 个3A 种酒精中纯酒精的含量为40，B 种酒精中纯酒精的含量为36，C种酒精中纯酒精的含量为 35它们混合在一起得到了纯酒精的含量为385,的酒精 11 升，其中 B种酒精比C种酒精多3升那么其中的A种酒精有多少升?【分析与解】设 c 种酒精 x 升，则 B种酒精戈 x+3 升，A种酒精 ll-x-(x+3)升.有：11-x-(x+3)+4+(x+3)36+x 35=11385解得 x=0.5 其中 A种酒精为11-2x-3=7(升)4.校早晨 6：00 开校门，晚上

45、6：40 关校门。下午有位同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的13加上现在到关校门时间的14，就是现在的时间那么现在的时间是下午几点?【分析与解】设现在为下午x点那么上午6：00 距下午x点为 6+x小时；下午x点距下午6：40为 623x小时有：112(6)6343xxx，解得 x=4所以现在的时间为下午4 点5如图 182 中的短除式所示，一个自然数被8 除余 1，所得的商被8 除余 1，再把第二次所得的商被 8 除后余 7，最后得到的一个商是a图 18-3 中的短除式表明：这个自然数被17 除余 4，所得的商被 17 除余 15，最后得到的一个商是a的 2 倍求这个自然数【

46、分析与解】由题意知878 18 1172174,aa整理得 512a+457=578a+259，即66a=198，a=3于是，(80+1)8+1 8+1=1993 6一堆彩色球，有红、黄两种颜色首先数出的50 个球中有49 个红球；以后每数出的8 个球中都有 7 个红球一直数到最后8 个球，正好数完如果在已经数出的球中红球不少于90，那么这堆球的数目最多只能有多少个?【分析与解】方法一：首先数出的50 个球中，红球占4950100=98以后每次数出的球中，红球占78 100=875取得次数越多，红球在所取的所有球中的百分数将越低设取得x次后，红球恰占90共取球50+8z，红球为 49+7x (

47、49+7x)(50+8x)100=90，解得x=20，所以最多可取20 次，此时这堆球的数目最多只能有50+820=210 个方法二：设,除了开始数出的50 个球，以后数了n次，那么,共有红球49+7n，共有球50+8n,有497508nn?90，即49+7n?45+72n,解得n?20，所以n 的最大值20.则这堆球的数目最多只能有50+820：210 个 7.有甲、乙、丙、丁4 人，每 3 个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l 和 17这 4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?【分析与解】设这些人中的年龄从大到小依次为x、y、z、w，+十得：2(x+y+z+w)=90，则3

48、xyzw=15,-得：2143x,x=21；-得：223z，z=3；所以最大年龄与最小年龄的差为xw=21 3=18(岁)第 19 讲 方程与方程组 2 内容概述一般的，把含有未知数的等式称为方程1将含有未知数的个数称为“元”，如：x+y=2 就是一个二元方程，而两个含有2 个未知数的方程合在一起，就组成了二元方程组，2346.5x yxy就是一个二元一次方程组把未知数的最高次数称为“次”，如2225xy就是一个二元二次方程如果方程组的个数等于未知数的个数，我们就称这个方程为适定方程；如果方程组的个数少于未知数的个数，我们就称这个方程为不定方程；一般的不定方程没有确定解方程的基本性质：1 方程

49、两边同时加上或减去某个数，等号仍然成立；2 方程两边同时乘以或除以某个非零数，等号仍然成立在解方程中最常用的一种技巧是移项，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫移项如3x+12=18，可以将12 移项为 3x=18-12 通过“代人”消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做代入消元法，简称代人法；通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做加减消元法，简称加减法典型问题1若石是自然数，且满足105641xx，试求x的值【分析与解】4x-1 必须是105 的约数，105=357，当4x-1=7 时，x=2：当 4x-1=15 时，x=4；

50、当 4x-1=3 时，x=1；当 4x-1=35 时，x=9所以只能是105(49-1)=9-6，即x=9 2小吴和小林两人解方程组，22171 2axyx by由手小吴看错了方程中的a而得到方程组的解为49xy,小林看错了方程中的b而得到的解为38xy,如果按正确的a、b计算，试求出原方程组的解【分析与解】因为小吴同学没有看错，所以49xy是符合的解，有47-b 9=1，解得 b=3；1九章算术第八卷“方程”刘徽注:程,课程也.群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之.并列为行,故谓方程.因为小林同学没有看错，所以38xy是符合的解，有a3-2 8=2，