同济大学第六版高等数学上册课后答案全.pdf

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1、高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题 1 1 1设 A(5)(5)B 10 3)写出 AB AB A B 及 A(A B)的表达式解 AB(3)(5)AB 105)A B(10)(5)A(A B)105)2设 A、B 是任意两个集合证明对偶律 (A B)CAC BC证明 因为x(AB)Cx AB x A 或 x B x AC或 x BC x AC BC所以(AB)CAC BC3设映射 fXY A X B X证明(1)f(A B)f(A)f(B)(2)f(A B)f(A)f(B)证明 因为y f(AB)x AB 使 f(x)y(因为 x A 或 x B)y f(A)或 y f(B)y f(A

2、)f(B)所以f(A B)f(A)f(B)(2)因为y f(A B)x AB使 f(x)y(因为 x A 且 x B)y f(A)且 y f(B)yf(A)f(B)所以f(A B)f(A)f(B)4设映射 fXY 若存在一个映射 g YX 使XIfgYIgf其中 IX、IY分别是 X、Y 上的恒等映射即对于每一个 x X有 IX x x 对于每一个 y Y 有IYy y 证明 f 是双射且 g 是 f 的逆映射g f1证明 因为对于任意的 y Y 有 x g(y)X且 f(x)fg(y)Iyy y即 Y中任意元素都是 X 中某元素的像所以 f 为 X 到 Y的满射又因为对于任意的x1x2必有

3、f(x1)f(x2)否则若 f(x1)f(x2)g f(x1)gf(x2)x1x2因此 f 既是单射又是满射即 f 是双射对于映射 g YX因为对每个 y Y 有 g(y)x X且满足 f(x)fg(y)Iyy y按逆映射的定义g是 f 的逆映射5设映射 fXY A X证明(1)f1(f(A)A(2)当 f 是单射时有 f1(f(A)A证明(1)因为 x A f(x)y f(A)f 1(y)x f1(f(A)所以f1(f(A)A(2)由(1)知 f1(f(A)A另一方面对于任意的 x f1(f(A)存在 y f(A)使 f1(y)xf(x)y因为y f(A)且 f 是单射所以 x A这就证明了

4、 f1(f(A)A因此 f1(f(A)A6求下列函数的自然定义域(1)23xy解 由 3x 2 0 得32x函数的定义域为),32(2)211xy解 由 1 x20 得 x1 函数的定义域为(1)(1 1)(1)(3)211xxy解 由 x 0 且 1 x20 得函数的定义域 D 1 0)(0 1(4)241xy解 由 4 x20 得|x|2 函数的定义域为(2 2)(5)xysin解 由 x 0 得函数的定义 D 0)(6)y tan(x 1)解 由21x(k 012)得函数的定义域为12kx(k 012)(7)y arcsin(x 3)解 由|x 3|1 得函数的定义域 D 2 4(8)x

5、xy1arctan3解 由 3 x 0 且 x 0得函数的定义域D(0)(0 3)(9)y ln(x 1)解 由 x 1 0 得函数的定义域 D(1)(10)xey1解 由 x 0 得函数的定义域D(0)(0)7下列各题中函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lg x2g(x)2lg x(2)f(x)x g(x)2x(3)334)(xxxf31)(xxxg(4)f(x)1 g(x)sec2x tan2x解(1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同x 0 时 g(x)x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8设3|03|sin|)(xxxx求)

6、6()4()4(2)并作出函数 y(x)的图形解21|6sin|)6(22|4sin|)4(22|)4sin(|)4(0)2(9试证下列函数在指定区间内的单调性(1)xxy1(1)(2)y x ln x (0)证明(1)对于任意的 x1x2(1)有 1 x10 1 x20 因为当 x1x2时0)1)(1(112121221121xxxxxxxxyy所以函数xxy1在区间(1)内是单调增加的(2)对于任意的 x1x2(0)当 x1x2时有0ln)()ln()ln(2121221121xxxxxxxxyy所以函数 y x ln x 在区间(0)内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇

7、函数若 f(x)在(0 l)内单调增加证明 f(x)在(l 0)内也单调增加证明 对于x1x2(l 0)且 x1x2有 x1x2(0 l)且 x1x2因为 f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)这就证明了对于x1x2(l 0)有 f(x1)f(x2)所以 f(x)在(l 0)内也单调增加11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明(1)设 F(x)f(x)g(x)如果 f(x)和

8、 g(x)都是偶函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果 f(x)和 g(x)都是奇函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设 F(x)f(x)g(x)如果 f(x)和 g(x)都是偶函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果 f(x)和 g(x)都是奇函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果 f(x)是偶函数而 g(x)是奇

9、函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1 x2)(2)y 3x2x3(3)2211xxy(4)y x(x 1)(x 1)(5)y sin x cos x 1(6)2xxaay解(1)因为 f(x)(x)21(x)2 x2(1 x2)f(x)所以 f(x)是偶函数(2)由 f(x)3(x)2(x)33x2x3可见 f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为)(111)(1)(2222xfxxxxxf所以 f(x)是偶函数(4)因为 f(x)

10、(x)(x 1)(x 1)x(x 1)(x 1)f(x)所以 f(x)是奇函数(5)由 f(x)sin(x)cos(x)1sin x cos x 1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为)(22)()()(xfaaaaxfxxxx所以 f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x 2)解 是周期函数周期为 l 2(2)y cos 4x解 是周期函数周期为2l(3)y 1 sin x解 是周期函数周期为 l 2(4)y xcos x解 不是周期函数(5)y sin2x解 是周期函数周期为 l14求下列函数的反函数(1)31xy错误！未指定书签

11、。错误！未指定书签。解 由31xy得 x y31所以31xy的反函数为 y x31(2)xxy11错误！未指定书签。解 由xxy11得yyx11所以xxy11的反函数为xxy11(3)dcxbaxy(ad bc 0)解 由dcxbaxy得acybdyx所以dcxbaxy的反函数为acxbdxy(4)y 2sin3x解 由 y 2sin 3x 得2arcsin31yx所以 y 2sin3x 的反函数为2arcsin31xy(5)y 1 ln(x 2)解 由 y 1 ln(x 2)得 x ey 12 所以 y 1 ln(x 2)的反函数为 y ex 12(6)122xxy解 由122xxy得yyx

12、1log2所以122xxy的反函数为xxy1log215设函数 f(x)在数集 X 上有定义试证函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在 X 上有界则存在正数M使|f(x)|M即M f(x)M这就证明了 f(x)在 X 上有下界M 和上界 M再证充分性设函数 f(x)在 X 上有下界K1和上界 K2即 K1f(x)K2取M max|K1|K2|则M K1f(x)K2M即|f(x)|M这就证明了 f(x)在 X 上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值 x1和 x2的函数值(1)y u2u si

13、n x61x32x解 y sin2x41)21(6sin221y43)23(3sin222y(2)y sin u u 2x81x42x解 y sin2x224sin)82sin(1y12sin)42sin(2y(3)uyu 1 x2x11 x2 2解21 xy21121y52122y(4)y euu x2x1 0 x21解2xey1201eyeey212(5)y u2 u exx11 x21解 y e2xy1e2 1e2 y2e2(1)e217设 f(x)的定义域 D 0 1求下列各函数的定义域(1)f(x2)解 由 0 x21 得|x|1所以函数 f(x2)的定义域为 1 1(2)f(sin

14、x)解 由 0 sin x 1 得 2nx(2n 1)(n 012)所以函数 f(sin x)的定义域为2n (2n 1)(n 012)(3)f(x a)(a0)解 由 0 x a 1 得 a x 1 a 所以函数 f(x a)的定义域为 a 1 a(4)f(x a)f(x a)(a 0)解 由 0 x a 1 且 0 x a 1 得当210 a时 a x 1 a当21a时无解因此当210 a时函数的定义域为 a 1 a当21a时函数无意义18设1|11|01|1)(xxxxfg(x)ex错误！未指定书签。求 fg(x)和 gf(x)并作出这两个函数的图形解1|11|01|1)(xxxeeex

15、gf即010001)(xxxxgf1|1|e1|)(101)(xexxeexfgxf即1|1|11|)(1xexxexfg19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角40(图 1 37)当过水断面 ABCD的面积为定值 S0时求湿周 L(L AB BC CD)与水深 h之间的函数关系式并指明其定义域图 1 37 解40sinhDCAB又 从0)40cot2(21ShBCBCh得hhSBC40cot0所以hhSL40sin40cos20自变量 h的取值范围应由不等式组h 0040cot0hhS确定定义域为40cot00Sh20收敛音机每台售价为90 元成本为 60 元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量

16、超过100台以上的每多订购 1 台售价就降低 1 分但最低价为每台 75元(1)将每台的实际售价p 表示为订购量 x 的函数(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量 x 的函数(3)某一商行订购了 1000 台厂方可获利润多少？解(1)当 0 x 100时 p 90令 0 01(x0100)90 75 得 x01600 因此当 x 1600时 p 75当 100 x 1600时p 90(x 100)0 01 91 0 01x综合上述结果得到160075160010001.091100090 xxxxp(2)160015160010001.031100030)60(2xxxxxxxxpP(3)P

17、31 1000 0 01 1000221000(元)习题 1 2 1观察一般项 xn如下的数列 xn 的变化趋势写出它们的极限(1)nnx21解 当 n时nnx210021limnn(2)nxnn1)1(解 当 n时nxnn1)1(001)1(limnnn(3)212nxn解 当 n时212nxn22)12(lim2nn(4)11nnxn解 当 n时12111nnnxn0111limnnn(5)xnn(1)n解 当 n时 xnn(1)n没有极限2设数列 xn的一般项nnxn2cos问nnxlim?求出 N 使当 n N 时 xn与其极限之差的绝对值小于正数当0 001时求出数 N解0limnn

18、xnnnxn1|2c o s|0|0 要使|xn0|只要n1也就是1n取1N则n N有|xn0|当0 001时1N10003根据数列极限的定义证明(1)01lim2nn分析 要使221|01|nn只须12n即1n证明 因为01N当 n N 时有|01|2n所以01lim2nn(2)231213limnnn分析 要使nnnn41)12(21|231213|只须n41即41n证明 因为041N当 n N 时有|231213|nn所以231213limnnn(3)1lim22nann分析 要使nanannannannan22222222)(|1|只须2an证明 因为02aN当n N 时有|1|22n

19、an所以1lim22nann(4)19999.0lim个nn分析 要使|099 9 1|1101n只须1101n即1lg1n证明 因为01lg1N当n N 时有|099 9 1|所以19999.0lim个nn4aunnlim证明|limaunn并举例说明如果数列|xn|有极限但数列xn 未必有极限证明 因为aunnlim所以0N N当 n N 时有|aun从而|un|a|una|这就证明了|limaunn数列|xn|有极限但数列 xn 未必有极限例如1|)1(|limnn但nn)1(lim不存在5设数列 xn有界又0limnny证明0limnnnyx证明 因为数列 xn 有界所以存在 M使n

20、Z有|xn|M又0limnny所以0N N当 n N 时有Myn|从而当 n N 时有MMyMyxyxnnnnn|0|所以0limnnnyx6对于数列 xn若 x2k 1a(k)x2ka(k)证明 xna(n)证明 因为 x2k 1a(k)x2ka(k)所以0K1当 2k 1 2K11 时有|x2k 1a|K2当 2k 2K2时有|x2ka|取 N max2K11 2K2只要 n N就有|xna|因此 xna(n)习题 1 3 1根据函数极限的定义证明(1)8)13(lim3xx分析 因为|(3x 1)8|3x 9|3|x 3|所以要使|(3x 1)8|只须31|3|x证明 因为031当 0|

21、x 3|时有|(3x 1)8|所以8)13(lim3xx(2)12)25(lim2xx分析 因为|(5x 2)12|5x 10|5|x 2|所以要使|(5x 2)12|只须51|2|x证明 因为051当 0|x 2|时有|(5x 2)12|所以12)25(lim2xx(3)424lim22xxx分析 因为|)2(|2|244)4(2422xxxxxxx所以要使)4(242xx只须|)2(|x证明 因为0当 0|x(2)|时有)4(242xx所以424lim22xxx(4)21241lim321xxx分析 因为|)21(|2|221|212413xxxx所以要使212413xx只须21|)21(

22、|x证明 因为021当|)21(|0 x时有212413xx所以21241lim321xxx2根据函数极限的定义证明(1)2121lim33xxx分析 因为333333|21212121xxxxxx所以要使212133xx只须3|21x即321|x证明 因为0321X当|x|X 时有212133xx所以2121lim33xxx(2)0sinlimxxx分析 因为xxxxx1|s i n|0s i n所以要使0sinxx只须x1即21x证明 因为021X当 x X 时有0s i nxx所以0sinlimxxx3当 x2 时y x24 问等于多少使当|x 2|时|y 4|0X10 使当 xX1时有

23、|f(x)A|X20 使当 x X2时有|f(x)A|取 X maxX1X2则当|x|X 时有|f(x)A|即Axfx)(lim8根据极限的定义证明函数 f(x)当 xx0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设 f(x)A(xx0)则00 使当 0|x x0|时有|f(x)A|因此当 x0 xx0和 x0 xx0时都有|f(x)A|010使当 x01xx0时有|f(x)A0使当 x0 xx0+2时有|f(x)A|取min12则当 0|x x0|时有 x01xx0及 x0 xx0+2从而有|f(x)A|0因为 f(x)在x0连续所以0)()(lim00 xfx

24、fxx由极限的局部保号性定理存在 x0的某一去心邻域)(0 xU使当 x)(0 xU时 f(x)0从而当x U(x0)时 f(x)0这就是说则存在 x0的某一邻域 U(x0)当 x U(x0)时 f(x)05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子(1)x 01221nn1是 f(x)的所有间断点且它们都是无穷间断点解 函数xxxfcsc)csc()(在点 x 01221nn1处是间断的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在 R 上处处不连续但|f(x)|在 R 上处处连续解 函数QQxxxf11)(在 R 上处处不连续但|f(x)|1 在 R 上处处连续(3)f(x)在 R 上处处有定

25、义但仅在一点连续解 函数QQxxxxxf)(在 R 上处处有定义它只在 x 0 处连续习题 1 9 1求函数633)(223xxxxxxf的连续区间并求极限)(lim0 xfx)(lim3xfx及)(lim2xfx解)2)(3()1)(1)(3(633)(223xxxxxxxxxxxf函数在()内除点 x 2 和 x3外是连续的所以函数 f(x)的连续区间为(3)、(3 2)、(2)在函数的连续点x 0 处21)0()(lim0fxfx在函数的间断点x 2 和 x3 处)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim22xxxxxxfxx582)1)(1(lim)(lim33xxxxfxx2设函

26、数 f(x)与 g(x)在点 x0连续证明函数(x)maxf(x)g(x)(x)min f(x)g(x)在点 x0也连续证明 已知)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xgxgxx可以验证|)()(|)()(21)(xgxfxgxfx|)()(|)()(21)(xgxfxgxfx因此|)()(|)()(21)(00000 xgxfxgxfx|)()(|)()(21)(00000 xgxfxgxfx因为|)()(|)()(21lim)(lim00 xgxfxgxfxxxxx|)(lim)(lim|)(lim)(lim210000 xgxfxgxfxxxxxxxx|)()(|)()(

27、210000 xgxfxgxf(x0)所以(x)在点 x0也连续同理可证明(x)在点 x0也连续3求下列极限(1)52lim20 xxx(2)34)2(sinlimxx(3)2cos2ln(lim6xx(4)xxx11lim0(5)145lim1xxxx(6)axaxaxsinsinlim(7)(lim22xxxxx解(1)因为函数52)(2xxxf是初等函数f(x)在点 x 0 有定义所以55020)0(52lim220fxxx(2)因为函数 f(x)(sin 2x)3是初等函数f(x)在点4x有定义所以1)42(s i n)4()2(s i nlim334fxx(3)因为函数 f(x)ln

28、(2cos2x)是初等函数f(x)在点6x有定义所以0)62c o s2l n()6()2c o s2l n(lim6fxx(4)11(lim)11()11)(11(lim11lim000 xxxxxxxxxxxx211101111lim0 xx(5)45)(1()45)(45(lim145lim11xxxxxxxxxxxx)45)(1(44lim1xxxxx214154454lim1xxx(6)axaxaxaxaxaxax2sin2cos2limsinsinlimaaaaxaxaxaxaxc o s12c o s22s i nlim2coslim(7)()(lim)(lim22222222x

29、xxxxxxxxxxxxxxxxx1)1111(2lim)(2lim22xxxxxxxxx4求下列极限(1)xxe1lim(2)xxxsinlnlim0(3)2)11(limxxx(4)xxx2cot20)tan31(lim(5)21)63(limxxxx(6)xxxxxx20sin1sin1tan1lim解(1)1lim01lim1eeexxxx(2)01ln)sinlimln(sinlnlim00 xxxxxx(3)eexxxxxx21212)11(lim)11(lim(4)33tan3120cot2022)tan31(lim)tan31(limexxxxxx(5)21633621)631

30、()63(xxxxxxx因为exxx36)631(lim232163limxxx所以2321)63(limexxxx(6)sin1tan1)(1sin1()1sin1)(sin1tan1(limsin1sin1tan1lim22020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx220220s i n2s i n2t anlim)sin1tan1(sin)1sin1)(sin(tanlim21)2(2lim320 xxxx5设函数00)(xxaxexfx应当如何选择数a使得 f(x)成为在()内的连续函数？解 要使函数 f(x)在()内连续只须 f(x)在 x 0 处连续即只须afx

31、fxfxx)0()(lim)(lim00因为1lim)(lim00 xxxexfaxaxfxx)(lim)(lim00所以只须取 a 1习题 1 10 1证明方程 x53x 1 至少有一个根介于1 和 2 之间证明 设 f(x)x53x 1 则 f(x)是闭区间 1 2上的连续函数因为 f(1)3 f(2)25 f(1)f(2)0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(12)使 f()0即 x是方程 x53x 1 的介于 1 和 2 之间的根因此方程 x53x 1 至少有一个根介于1 和 2 之间2证明方程 x asinx b其中 a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过 a b证明 设 f(

32、x)asin x b x则 f(x)是0 a b上的连续函数f(0)b f(a b)a sin(a b)b(a b)asin(a b)1 0若 f(a b)0 则说明 x a b 就是方程 x asinx b 的一个不超过 a b 的根若 f(a b)0 则 f(0)f(a b)0 由零点定理至少存在一点(0 a b)使 f()0这说明 x也是方程 x=asinx b 的一个不超过 a b 的根总之方程 x asinx b 至少有一个正根并且它不超过 a b3设函数 f(x)对于闭区间 a b上的任意两点 x、y恒有|f(x)f(y)|L|x y|其中L 为正常数且 f(a)f(b)0证明至少

33、有一点(a b)使得 f()0证明 设 x0为(a b)内任意一点因为0|lim|)()(|lim00000 xxLxfxfxxxx所以0|)()(|lim00 xfxfxx即)()(l i m00 xfxfxx因此 f(x)在(a b)内连续同理可证 f(x)在点 a 处左连续在点 b 处右连续所以 f(x)在a b上连续因为 f(x)在a b上连续且 f(a)f(b)0 由零点定理至少有一点(a b)使得 f()04若 f(x)在a b上连续 a x1x2xnb 则在x1xn上至少有一点使nxfxfxffn)()()()(21证明 显然 f(x)在x1xn上也连续设 M 和 m分别是 f(

34、x)在x1xn上的最大值和最小值因为 xix1xn(1i n)所以有 m f(xi)M从而有Mnxfxfxfmnn)()()(21Mnxfxfxfmn)()()(21由介值定理推论在x1xn上至少有一点使nxfxfxffn)()()()(215证明若 f(x)在()内连续且)(limxfx存在则 f(x)必在()内有界证明 令Axfx)(lim则对于给定的0存在 X 0 只要|x|X就有|f(x)A|即 Af(x)A又由于 f(x)在闭区间 X X上连续根据有界性定理存在 M 0 使|f(x)|Mx X X取 N maxM|A|A|则|f(x)|N x()即 f(x)在()内有界6在什么条件下

35、 (a b)内的连续函数 f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列 xn 有界是数列 xn 收敛的 _条件数列 xn收敛是数列 xn有界的_的条件(2)f(x)在 x0的某一去心邻域内有界是)(lim0 xfxx存在的 _条件)(lim0 xfxx存在是 f(x)在 x0的某一去心邻域内有界的_条件(3)f(x)在x0的 某 一 去 心 邻 域 内 无 界 是)(lim0 xfxx的 _条 件)(lim0 xfxx是 f(x)在 x0的某一去心邻域内无界的 _条件(4)f(x)当 xx0时的右极限 f(x0)及左极限 f(x0

36、)都存在且相等是)(lim0 xfxx存在的_条件解(1)必要充分(2)必要充分(3)必要充分(4)充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设 f(x)2x3x2则当 x0 时有()(A)f(x)与 x 是等价无穷小(B)f(x)与 x 同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比 x 高阶的无穷小(D)f(x)是比 x 低阶的无穷小解 因为xxxxxfxxxxxxxx13lim12lim232lim)(lim00003ln2ln)1ln(lim3ln)1ln(lim2ln00uuttut(令 2x1 t 3x1 u)所以 f(x)与 x 同阶但非等价无穷小故应选 B3设 f(x)的定义域

37、是 0 1求下列函数的定义域(1)f(ex)(2)f(ln x)(3)f(arctan x)(4)f(cos x)解(1)由 0 ex1 得 x 0即函数 f(ex)的定义域为(0(2)由 0 ln x 1 得 1 x e即函数 f(ln x)的定义域为 1 e(3)由 0 arctan x1 得 0 x tan 1 即函数 f(arctan x)的定义域为 0 tan 1(4)由 0 cos x 1 得2222nxn(n 012)即函数 f(cos x)的定义域为 2,22nn (n 012)4设000)(xxxxf000)(2xxxxg求 ff(x)gg(x)fg(x)gf(x)解 因为

38、f(x)0 所以 ff(x)f(x)000 xxx因为 g(x)0所以 gg(x)0因为 g(x)0所以 fg(x)0因为 f(x)0 所以 gf(x)f2(x)0002xxx5利用 y sin x 的图形作出下列函数的图形(1)y|sin x|(2)y sin|x|(3)2sin2xy6把半径为 R 的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解 设围成的圆锥的底半径为r高为 h依题意有R(2)2 r2)2(Rr244)2(2222222RRRrRh圆锥的体积为244)2(312222RRV22234)2(24aR(02)7根据函数极限的定义证明536l

39、im23xxxx证明对于任意给定的0 要使|536|2xxx只需|x 3|取当0|x 3|时就有|x 3|即|536|2xxx所以536lim23xxxx8求下列极限(1)221)1(1limxxxx(2)1(lim2xxxx(3)1)1232(limxxxx(4)30sintanlimxxxx(5)xxxxxcba10)3(lim(a 0 b 0 c 0)(6)xxxtan2)(sinlim解(1)因为01)1(lim221xxxx所以221)1(1limxxxx(2)1()1)(1(lim)1(lim2222xxxxxxxxxxxx211111lim1lim22xxxxxx(3)21212

40、11)1221(lim)1221(lim)1232(limxxxxxxxxxx21212)1221()1221(limxxxxexxxxx21212)1221(lim)1221(lim(4)xxxxxxxxxxxxxcos)cos1(sinlim)1cos1(sinlimsintanlim30303021)2(2limcos2sin2sinlim320320 xxxxxxxxx(提示用等价无穷小换)(5)xcbacbaxxxxxxxxxxxxxxxcbacba3333010)331(lim)3(lim因为ecbaxxxcbaxxxx330)331(lim)111(lim3133lim00 xc

41、xbxaxcbaxxxxxxxx)1l n(1limln)1ln(1limln)1ln(1limln31000vcubtavut3ln)lnln(ln31abccba所以3ln103)3(limabcecbaabcxxxxx提示求极限过程中作了变换ax1 t bx1 u cx1 v(6)xxxxxxxxtan)1(sin1sin12tan2)1(sin1 lim)(sinlim因为exxx1s i n12)1(sin1 limxxxxxxxc o s)1(s i nsi nlimtan)1(sinlim2201s i nc o ss i nlim)1(sincos)1(sinsinlim222

42、xxxxxxxxx所以1)(s i nlim0tan2exxx9设001sin)(2xxaxxxxf要使 f(x)在()内连续应怎样选择数 a?解 要使函数连续必须使函数在 x 0 处连续因为f(0)aaxaxfxx)(lim)(lim20001sinlim)(lim00 xxxfxx所以当 a 0 时 f(x)在 x 0 处连续因此选取 a 0 时 f(x)在()内连续10设01)1ln(0)(11xxxexfx求 f(x)的间断点并说明间断点所属类形解 因为函数 f(x)在 x 1 处无定义所以 x 1 是函数的一个间断点因为0lim)(lim1111xxxexf(提示11lim1xx)1

43、111lim)(limxxxexf(提示11lim1xx)所以 x 1 是函数的第二类间断点又因为0)1ln(lim)(lim00 xxfxxeexfxxx1lim)(lim1100所以 x 0 也是函数的间断点且为第一类间断点11 证明112111lim222nnnnn证明 因为11211122222nnnnnnnnn且1111l i ml i m2nnnnnn1111lim1lim22nnnnn所以112111lim222nnnnn12证明方程 sin x x 1 0 在开区间)2,2(内至少有一个根证明 设 f(x)sin x x 1 则函数 f(x)在2,2上连续因为2121)2(f2

44、2121)2(f0)2()2(ff所以由零点定理在区间)2,2(内至少存在一点使 f()0这说明方程 sin x x 1 0 在开区间)2,2(内至少有一个根13如果存在直线 L y kx b使得当 x(或 xx)时曲线 y f(x)上的动点 M(x y)到直线 L 的距离 d(M L)0 则称 L 为曲线 y f(x)的渐近线当直线L 的斜率 k 0 时称 L 为斜渐近线(1)证明直线 L y kx b 为曲线 y f(x)的渐近线的充分必要条件是xxfkxxx)(l i m),()(lim),(kxxfbxxx(2)求曲线xexy1)12(的斜渐近线证明(1)仅就 x的情况进行证明按渐近线

45、的定义y kx b 是曲线 y f(x)的渐近线的充要条件是0)()(limbkxxfx必要性设 y kx b 是曲线 y f(x)的渐近线则0)()(limbkxxfx于是有0)(limxbkxxfxx0)(limkxxfxxxfkx)(lim同时有0)(limbkxxfx)(limkxxfbx充分性如果xxfkx)(lim)(limkxxfbx则0)(lim)(lim)()(limbbbkxxfbkxxfbkxxfxxx因此 y kx b 是曲线 y f(x)的渐近线(2)因为212limlim1xxxexxxyk11)1l n(lim21)1(lim22)12(lim2lim011tte

46、xxexxybtxxxxx所以曲线xexy1)12(的斜渐近线为 y 2x 1习题 2 1 1设物体绕定轴旋转在时间间隔 0 t内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t)如果旋转是匀速的那么称t为该物体旋转的角速度如果旋转是非匀速的应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？解 在时间间隔 t0t0t内的平均角速度为ttttt)()(00故 t0时刻的角速度为)()()(limlimlim000000ttttttttt2当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t)应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 t0t0t内温度的改变量为

47、T T(tt)T(t)平均冷却速度为ttTttTtT)()(故物体在时刻 t 的冷却速度为)()()(limlim00tTttTttTtTtt3设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是f(x)元此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f(x)在经济学中称为边际成本试说明边际成本 f(x)的实际意义解 f(xx)f(x)表示当产量由 x 改变到 xx 时成本的改变量xxfxxf)()(表示当产量由 x 改变到 xx 时单位产量的成本xxfxxfxfx)()(l i m)(0表示当产量为 x 时单位产量的成本4设 f(x)10 x2试按定义求 f(1)解xxxfxffxx2200)1

48、(10)1(10lim)1()1(lim)1(2 0)2(lim102lim10020 xxxxxx5证明(cos x)sin x解xxxxxxcos)cos(lim)(cos0 xxxxx2s i n)2s i n(2lim0 xxxxxxs i n22s i n)2s i n(lim06下列各题中均假定f(x0)存在按照导数定义观察下列极限指出 A表示什么(1)Axxfxxfx)()(lim000解xxfxxfAx)()(lim000)()()(lim0000 xfxxfxxfx(2)Axxfx)(lim0其中 f(0)0 且 f(0)存在解)0()0()0(lim)(lim00fxfxf

49、xxfAxx(3)Ahhxfhxfh)()(lim000解hhxfhxfAh)()(lim000hxfhxfxfhxfh)()()()(lim00000hxfhxfhxfhxfhh)()(lim)()(lim000000f(x0)f(x0)2f(x0)7求下列函数的导数(1)y x4(2)32xy(3)y x1 6(4)xy1(5)21xy(6)53xxy(7)5322xxxy解(1)y(x4)4x4 14x3(2)3113232323232)()(xxxxy(3)y(x1 6)1 6x1 6 11 6x 0 6(4)23121212121)()1(xxxxy(5)3222)()1(xxxy(

50、6)511151651653516516)()(xxxxxy(7)651616153226161)()(xxxxxxy8已知物体的运动规律为s t3(m)求这物体在 t 2 秒(s)时的速度解 v(s)3t2v|t 212(米/秒)9如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在证明 f(0)0证明 当 f(x)为偶函数时f(x)f(x)所以)0(0)0()(lim0)0()(lim0)0()(lim)0(000fxfxfxfxfxfxffxxx从而有 2f(0)0 即 f(0)010求曲线 y sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率32xx解 因为 ycos x 所以斜率分别为2132c o