校本课程数学竞赛讲义1.pdf
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1、第 0 页目录第一章集合,2 第二章函数,15 2.1函数及其性质,15 2.2二次函数,212.3函数迭代,282.4 抽象函数,32第三章数列,373.1 等差数列与等比数列,373.2 递归数列通项公式的求法,44 3.3 递推法解题,48 第四章三角 平面向量复数,51 第五章直线、圆、圆锥曲线,60 第六章空间向量简单几何体,68 第七章二项式定理与多项式,75 第八章联赛二试选讲,82 8.1 平几名定理、名题与竞赛题,828.2 数学归纳法,99 8.3 排序不等式,103第 1 页第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念,也是高中数学的起始单元,是整个高中数学的基础.它的
2、基础性体现在:集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中,很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础,也是支撑现代数学大厦的基石之一,本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.1.1集合的概念与运算【基础知识】一集合的有关概念1集合:具有某些共同属性的对象的全体,称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.3集合的分类:无限集、有限集、空集.4.集合间的关系:二集合的运算1交集、并集、补集和差集差集:记A、B 是两个集合,则所有属于A
3、且不属于B 的元素构成的集合记作BA.即AxBA且Bx.2.集合的运算性质(1)AAA,AAA(幂等律);(2)ABBA,ABBA(交换律);(3)()(CBACBA,)()(CBACBA(结合律);(4)()()(CABACBA,)()()(CABACBA(分配律);(5)AABA)(,ABAA)(吸收律);(6)AACCUU)(对合律);(7)()()(BCACBACUUU,)()()(BCACBACUUU(摩根律)(8)()()(CABACBA,)()()(CABACBA.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用
4、描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;第 2 页(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例 1】在集合,2,1n中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是.分析已知,2,1n的所有的子集共有n2个.而对于,2,1ni,显然,2,1n中 包 含i的 子 集 与 集 合,1,1,2,1nii的 子 集 个 数 相 等.这 就 说 明i在 集 合,2,1n的所有子集中一共出现12n次,即对所有的i求和,可得).(211ninniS【解】集合,2,1n的所有子集的元素之和为2)
5、1(2)21(211nnnnn=.2)1(1nnn说明本题的关键在于得出,2,1n中包含i的子集与集合,1,1,2,1nii的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例 2】已知集合034|,023|222aaxxxBxxxA且BA,求参数 a的取值范围.分析首先确定集合A、B,再利用BA的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得0)3)(|,12|axaxxBxxA当0a时,3|axaxB,由BA知无解;当0a时,B,显然无解;当0a时,3|axaxB,由BA解得.321a综上知,参数 a 的取值范围是32,1.说明本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻
6、于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例 3】已知RyRx,集合1,2,1,12yyyBxxxxA.若BA,则22yx的值是()A.5 B.4 C.25 D.10【解】0)1(2x,xxx12,且012xx及集合中元素的互异性知xxx12,即1x,此时应有.112xxxx第 3 页而Ry,从而在集合B 中,.21yyy由BA,得)3()2()1(12112yxyxyxx由(2)(3)解得2,1 yx,代入(1)式知2,1 yx也满足(1)式.5212222yx说明本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才
7、能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例 4】已知集合|,|,0),lg(,yxBxyyxA.若BA,求)1()1(22yxyx,+)1(20082008yx的值.分析从集合A=B的关系入手,则易于解决.【解】BA,0)lg(|)lg(xyxyxyxxyxyx,根据元素的互异性,由 B 知0,0yx.B0且BA,A0,故只有0)lg(xy,从而.1xy又由A1及BA,得.1B所以1|1xxy或11yxy,其中1yx与元素的互异性矛盾!所以,1yx代入得:)1()1(22yxyx,+)1(20082008yx=(2)+2+(2)+2+,+(2)+2=0.说明本题是例4
8、 的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例 5】已知 A 为有限集,且*NA,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合 A=)1(,21naaan且naaa211,由naaa21naaa21,*)(Nnnan,得nnanaaa21naaa21)!1(nan,即)!1(nn第 4 页2n或3n(事实上,当3n时,有)2)1()2)(1()!1(nnnnn.当2n时,1,2,21122121aaaaaaa,而.2,1122naa当3
9、n时,3,3213321321aaaaaaaaa,.2,121aa由3332aa,解得.33a综上可知,.3,2,1A说明本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例 6】已知集合02|,023|22aaxxxSxxxP,若PS,求实数 a 的取值组成的集合A.【解】21|xxP,设aaxxxf2)(2.当04)2(2aa,即10a时,S,满足PS;当04)2(2aa,即0a或1a时,若0a,则0S,不满足PS,故舍去;若1a时,则1S,满足PS.当04)2(2aa时,满足PS等价于方程022aax
10、x的根介于 1 和 2 之间.即0340121100)2(0)1(22)2(10aaaaaffa或a.综合得10a,即所求集合A10|aa.说明先讨论特殊情形(S=),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对分类讨论,确定a的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0【例 7】(2005 年江苏预赛)已知平面上两个点集22(,)|1|2(),Mx yxyxyx yR,(,)|1|1,Nx yxayx yR.若MN,则a的取值范围是第 5 页【解】由题意知M是以原点为焦点、直线10 xy为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集,N是以(,1)a为中心的正方形及其内部的点集(如图)考察MN时,a的取值范围
11、:令1y,代入方程22|1|2()xyxy,得2420 xx,解出得26x所以,当26116a时,MN,令2y,代入方程22|1|2()xyxy,得2610 xx.解出得310 x所以,当310a时,MN,因此,综合 与 可知,当16310a,即16,310 a时,MN故填16,310.【例 8】已知集合,4321aaaaA,24232221aaaaB,其中4321aaaa,Naaaa4321,.若,41aaBA,1041aa.且BA中的所有元素之和为124,求集合 A、B.【解】4321aaaa,且,41aaBA,211aa,又Na1,所以.11a又1041aa,可得94a,并且422aa或
12、.423aa若922a,即32a,则有,12481931233aa解得53a或63a(舍)此时有.81,25,9,1,9,5,3,1BA若923a,即33a,此时应有22a,则BA中的所有元素之和为100124.不合题意.综上可得,.81,25,9,1,9,5,3,1BA说明 本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足 条 件|4|)()(|2121xxxgxg的 函 数)(xg形 成 了 一个 集 合M,其 中Rxx21
13、,并且1,2221xx,求函数)(23)(2Rxxxxfy与集合 M 的关系.-2-146-357-1yx123123O第 6 页分析求函数23)(2xxxf集合 M的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性.【解】|3|)23()23(|)()(|212122212121xxxxxxxxxfxf取65,6421xx时,.|4|29|)()(|212121xxxxxfxf由此可见,.)(Mxf说明本题中M是一个关于函数的集合.判断一个函数)(xf是否属于M,只要找至一个或几个特殊的ix使得)(ixf不符合 M中的条件即可证明.)(Mxf【例 10】对集合2008,2
14、,1及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后 从最大数开始,交替地加减相继各数,如9,6,4,2,1的“交替和”是612469,集合10,7的“交替和”是107=3,集合5的“交替和”是5 等等.试求 A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合,2,1n求出所有的“交替和”.分析集合A的非空子集共有122008个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如1,2,3,4的非空子集共有 15 个,共“交替和”分别为:1 1;2 2;3 3;4 4;1,2 2-1;1,3 3-1;1,4 4-1;2,3
15、3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4 4-2+1;1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除4 以外,可以把 1,2,3,4的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设iA是1,2,3,4中一个不含有的子集,令iA与iA4相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7 对,再加上 4 的“交替和”为4,即 1,2,3.4的所有子集的“交替和”为32.【解】集合2008,2,1的子集中,除了集合2008,还有222008个非空子集.将其分为两类:
16、第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果iA是第二类的,则必有2008iA是第一类的集合;如果jB是第一类中的集合,则jB中除2008 外,还应用1,2,2007 中的数做其元素,即jB中去掉2008 后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有 2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008同样可以分析,2,1n,因为 n 个元素集合的子集总数为n2个(含,定义其“交替和”第 7 页为 0),其中包括最大元素n 的子集有12n个,不包括 n 的子集的个数也是12
17、n个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n),设不含 n 的子集“交替和”为 S,则对应的含 n 子集的“交替和”为Sn,两者相加和为n.故所有子集的“交替和”为.21nn说明 本题中退到最简,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例 11】一支人数是5 的倍数的且不少于1000 人的游行队伍,若按每横排4 人编队,最后差 3 人;若按每横排3 人编队,最后差2 人;若按每横排2 人编队,最后差1 人,求这支游行队伍的人数最少是多少?分析已知游行队伍的总人数是5 的倍数,那么可设总人数为n5.“按每横排4
18、人编队,最后差 3 人”,从它的反面去考虑,可理解为多1 人,同样按 3 人、2 人编队都可理解为“多1 人”,显然问题转化为同余问题.n5被 4、3、2 除时都余地,即15n是 12 的倍数,再由总人数不少于1000 人的条件,即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5Nnn,则由题意知n5分别被 4、3、2 除时均余1,即15n是 4、3、2 的公倍数,于是可令)(1215Nmmn,由此可得:5112 mn要使游行队伍人数最少,则式中的m 应为最少正整数且112 m为 5 的倍数,应为 2.于是可令)(25Npqm,由此可得:512 1)25(1251ppn,25605pn所以10
19、002560 p,4116p.取17p代入式,得10452517605n故游行队伍的人数最少是1045 人.说明 本题利用了补集思想进行求解,对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语,可以根据补集思想方法,从词义气反面(反义词)考虑,对原命题做部分或全部的否定,用这种方法转化命题,常常能起到化繁为简、化难为易的作用,使之寻求到解题思想或方法,实现解题的目的.【例 12】设nN且 n 15,BA,都是 1,2,3,,,n 真子集,AB,且AB=1,2,3,,,n.证明:A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设,1,2,3,n 的任何元素必属于且只属于它的
20、真子集BA,之一.假设结论不真,则存在如题设的1,2,3,n 的真子集BA,,使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设 1A,则 3A,否则 1+3=22,与假设矛盾,所以3B.同样 6B,所以6A,这时 10A,即 10B.因 n 15,而 15 或者在A中,或者在B中,但当 15A时,因 1A,1+15=24,矛盾;当15B时,因 10B,于是有10+15=25,仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.第 8 页【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合,而集合又是数学的基础.因此,深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好
21、概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛)设在xOy平面上,20 xy,10 x所围成图形的面积为31,则集合,1),(xyyxM1),(2xyyxN的交集NM所表示的图形面积为()A.31B.32C.1D.342.(2006 年陕西预赛)ba,为实数,集合 M=xxfaPab:,
22、0,1,表示把集合M 中的元素 x 映射到集合P 中仍为 x,则ba的值等于()A.1B.0 C.1 D.13.(2004 年全国联赛)已知 M=32|),(22yxyx,N=bmxyyx|),(,若对于所有的Rm,均有,NM则b的取值范围是A26,26 B.(26,26)C.(332,332)D.332,332 4.(2005 年全国联赛)记集合,6,5,4,3,2,1,0T,4,3,2,1,|77774433221iTaaaaaMi将 M 中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005 个数是()A43273767575B43272767575C43274707171D432737071715
23、.集合 A,B 的并集 AB=a1,a2,a3,当且仅当AB 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数有()A.27 B.28.C.26 D.25 6.设 A=n|100n600,nN,则集合A 中被 7 除余2 且不能被57 整除的数的个数为_.7.已知2430,Ax xxxR,1220,2(7)50,xBxaxaxxR且.若AB,则实数 a 的取值范围是.第 9 页8.设 M=1,2,3,1995,A 是 M 的子集且满足条件:当 x A 时,15xA,则 A 中元素的个数最多是 _.9.(2006 年集训试题)设 n 是正整数,集合M=1,2,2n求最小的正整数
24、k,使得对于 M 的任何一个k 元子集,其中必有4 个互不相同的元素之和等于10.设A a|a 22xy,xyZ,求证:21kA(kZ);42 ()kAkZ.11.(2006 年江苏)设集合12log32Axx,21aBxxa若 AB,求实数 a 的取值范围12.以某些整数为元素的集合P具有下列性质:P中的元素有正数,有负数;P中的元素有奇数,有偶数;1P;若 x,yP,则 x yP试判断实数0 和 2 与集合P的关系.(B 组)1.设S为满足下列条件的有理数的集合:若a S,bS,则 a+bS,Sab;对任一个有理数r,三个关系rS,rS,r0 有且仅有一个成立.证明:S是由全体正有理数组成
25、的集合.2321,SSS为非空集合,对于 1,2,3的任意一个排列kji,,若jiSySx,,则kSyx(1)证明:三个集合中至少有两个相等.(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素?3已知集合:1|),(,1|),(,1|),(22yxyxCayxyxByaxyxA问(1)当 a 取何值时,CBA)(为含有两个元素的集合?(2)当 a 取何值时,CBA)(为含有三个元素的集合?4已知22(,)4470,Ax yxyxyxyR,(,)10,Bx yxyx yR.请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中“距离”的认识,给集合 A与 B的距离定义;依据中的定义求出A与B的距离.5.设集合
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