四年级奥数教案-.pdf

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1、小学生做奥数不失分的四大秘诀小学生的孩子现在几乎都在学习奥数，为了小升初而准备着。奥数怎样学才能考取高分呢？一、注意习惯的养成我们经常对学生们说，养成好的学习品质，拥有好的学习方法比学习知识本身重要得多，它是学好知识的前提。学习奥数更是如此。奥数题对学生们的要求是非常严格的，你既要注意到思维有广度有深度，在做题时还要加倍小心。有些题往往是一字之差，谬之千里。习惯的养成不是一朝一夕之功。要养成好的学习习惯，首先，需要学生 对这个问题有个正确的认识，有些同学往往错误地认为。只要是题目理解了，出点小错没关系。这样做的结果，往往助长了学生粗心大意之习气。而在奥数题中，一点小错，往往是致命的。学生做题出

2、错了，应该找出错误原因并不断积累，是知识方面的，要牢记。是习惯方面的，要改正。相信久而久之，好的习惯必能养成。二、重视题目的每一个环节有些奥数题步骤很多，很多学生掌握了其中的某些环节，就认为没问题了，而恰恰是某些重要的环节没有去认真考虑，只知其然，不知其所以然。这势必造成解题时脱节，而有时正是这小小蚁穴，毁了千里之堤。因此一定要让养成严谨求实的习惯。三、通过练习逐步形成技能既要注意已有知识的练习，又要注重利用所学知识去解决实际问题；既要注意基础知识的积累，又要注重知识的深化与提高。这样的练习后，学生的知识是扎实的；方法是灵活的；思维是敏捷的。四、及时回顾知识的遗忘是正常的。关键是我们怎样去解决

3、这一问题。养成按时复习所学知识的习惯对所学知识有一个及时的回顾与提高。但光做了这些题，以后就对所学知识不闻不问，以为万事大吉了，这是错误的。因为有些题，当过了一段时间，你再拿过来做，可能有些思路已淡忘了。这就要求大家养成定时复习的好习惯。一般十几天后，大家就要对原来所学知识有目的的复习一下，这样做，你用时不会太多，但效率是极高的。学习奥数知识点的掌握是一方面，态度谨慎，集中精神 又是另一项得分的关键。不浮躁、不马虎 才能在做奥数题时不失分，得高分。第 01 讲，计算问题第03 讲整数与数列【内容概述】等差数列的项和运算符号按某种规律排列所得算式的速算与巧算，这里有时要改变运算顺序，有时需通过裂

4、项来实现求和。按照给定的法则进行定义新运算。较为复杂的整数四则运算问题。【典型问题】2计算：1000999998997996995994 993,108107 106105104193 102101（1000999998997）（996995994 993）,（108107106105）（104193102101）44,44（1000101）1 144 900 4利用公式l l 22,nnn（n1）（2n 1）6，计算：1515 1616,212121（211）（221 1）614（14 1）（21 4 1）6331110152296 6计算：3333555564444222231111511

5、1161111421111151111111123111111114211111111（1548）1111111163111111119799997777（10001）7777 77770000777777762223 8两个十位数1111111111 与 9999999999 的乘积中有几个数字是奇数?解 1：111111111199999999991111111111（100000000001）1111111111000000000011111111111111111118888888889 有 10 个数为奇数。解 2：19 9 奇数的个数为1 1199 1089 奇数的个数为2 111

6、999 110889 奇数的个数为3 11119999 11108889 奇数的个数为4,11111111111 999999999 1111111110888888889 奇数的个数为10 显然其奇数的个数为10。10求和：l 22334,910解：通过这个题，学“裂项”。看：121233；232333（234123）3；343433（345234）3,可以发现：n（n1）33n（n 1）（n2）（n1）n（n1）3于是原式（123234123345234,910118910）3910113 330 注意隔位抵消12在两个数之间写上一个?，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，

7、例如：13?5=3，6?2=0试计算：（2000?49）?9解：20004940,40；4094,4；所以结果是4。14对于自然数1，2，3，,，100 中的每一个数，把它非零数字相乘，得到 100 个乘积（例如 23，积为 23=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100 相应的积为1）问：这100 个乘积之和为多少?解：从 1，2，,，9，的乘积的数字和是45；从 11，12，,，19 的乘积的数字和是145；从 21，22，,，29，的乘积的数字和是245，,，从 91，92，,，99，的数字和是945；而 10，20，,，90，的数字和是45，100 的为 1，故

8、，其总和为：（1123,91）45 14745 1 2116【教学内容】涉及 4 个或 4 个以上的对象，已知数量关系，不便直接运用，与其它知识相关联的复杂和差倍问题。【典型问题】1.四年级有4 个班，不算甲班其余三个班的总人数是131 人；不算丁班其余三个班的总人数是134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人，问这四个班共有多少人？解答：用131+134=265，这是 1 个甲、丁和2 个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人，所以用265-1=264 就刚好是 3 个乙、丙的和，2643=88，就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以

9、四个班的和是88+89=177 人.2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？解答：大家想想，我如果把4 个数全加起来是什么？实际上是每个数都加了3 遍！大家一定要记住这种思想！（45+46+49+52）3=64 就是这四个数的和，题目要求最小的数，我就用 64 减去 52（某三个数和最大的）就是最小的数，等于12.3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72 中间插入数字6，就变成了 762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9 倍，求出所有这样的两位数。解答：对于这个题来说，首先要判断个位是多少，这个

10、数的个位乘以9 以后的个位还等于原来的个位，说明个位只能是0 或 5！先看 0，很快发现不行，因为 209=180，309=270，409=360 等等，不管是几十乘以9，结果百位总比十位小，所以各位只能是5。略作计算，不难发现：15，25，35，45 是满足要求的数4.某班买来单价为0.5 元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10 本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?解答：对于这种问题，如果给一个学过工程问题的学生来做的话，简直太简单了，但工程问题是六年级的内容，四年级的学生怎么办呢？我们可以这样考虑：我就假

11、设班上有2 个女生（动动脑筋，为什么不假设成有1 个女生？），那么就一共有30 个练习本，进而推出有3 个男生，用30（2+3）=6，说明每人应该有6 个练习本，所以每人要付3 元钱.5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20 粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？解答：和上个题目一样我想找到1 个数，它既是12 的倍数，又是15 的倍数，还要是20的倍数。你能找到吗？可以找到最小的是60，那么我就假设共有60 粒花生，那么可以算出来第一群猴子有5 个，第二群猴子有4 个，第三群猴子

12、有3 个，那就一共有5+4+3=12只猴子，6012=5，所以每个猴子是5 粒.6.一个整数，减去它被5 除后余数的4 倍是 154，那么原来整数是多少？解答：首先，被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以在这个题里，余数肯定不大于4，这就确定了原来整数只能是：154+40，154+41，154+42，154+43，154+44中的一个，检验一下，很快得到结果是154+42=162.7.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2 人，至少有1 名男老师，那么在这22 人中，爸爸有多少人？解

13、答：家长比老师多，所以老师少于222=11 人，也就是不超过10 人，家长就不少于12 人。在至少12 个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于122=6 人，也就是不少于7人。因为女老师比妈妈多2 人，所以女老师不少于9 人，但老师最多就10 个，并且还至少有 1 个男老师，所以老师必须是10 个（9 个女老师，1 个男老师），家长12 个人中，有7个妈妈，那么爸爸就有12-7=5 人.8.一次数学考试共有20 道题，规定：答对一题得2 分，答错一题扣1 分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23 分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多

14、少道题？解答：20 个题，如果全部做对的话，可以得202=40 分。如果不答1 道题的话就要少2分，如果做错一道的话就要少3 分。小明得了23 分，比总分少40-23=17 分。因为没有做的题是偶数，所以我们可以先想想如果有0 道题没答的话，17 分都是做错了少的，可是 173=5,2，不可能！再考虑如果有2 道题没做的情况，2 道题没做就少4 分，还有17-4=13 分是因为做错了少的，133=4,1，也不可能！考虑4 道题没做的话，就少了8 分，还有 17-8=9 分是因为做错了少的，93=3，所以有3 道题是做错的.9.某种商品的价格是：每一个1 分钱，每五个4 分钱，每九个7 分钱，小

15、赵的钱至多能买50 个，小李的钱至多能买500 个。小李的钱比小赵的钱多多少分钱？解答：先在脑袋里算一下，是不是九个7 分钱最合算啊？先看小赵：509=5,5，所以他有 57+4=39 分钱；再看小李：5009=55,5，所以他有557+4=389 分钱，那么小李就比小赵多 389-39=350 分钱。千万不要认为用（500-50）97=350 就可以了，比如我把500换成 400，方法就不对了！10.某幼儿园的小班人数最少，中班有 27 人，大班比小班多6 人。春节分桔子25 箱，每箱不超过 60 个，不少于50 个，桔子总数的个位数字是7。若每人分19 个，则桔子数不够，现在大班每人比中班

16、每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这时大班每人分多少桔子？小班有多少人？（本题是本讲中最难的问题！）解答：首先桔子的个数在1250（=2550）和1500（=2560）之间。下面大家帮我看以下两种分桔子的办法的区别是多少？（1）大班每人a+1 个，中班每人a 个，小班每人a-1个；（2）无论大中小班，每人a 个。在第一种分法中，我让大班的孩子每人都拿出来1 个去补给小班的孩子，每人补1 个，因为大班人比小班多6 人，所以最后就还多6 个桔子。如果我从所有桔子中拿出6 个来，就可以使得原题中的第一种分法变为我的第二种分法。因为桔子的总数个位是7，减去 6 后的个位是1，这么多

17、桔子可以分给所有的孩子，并且让每人一样多，所以总的人数和每人所分到的桔子数都是奇数！但很明显每人19 个是不够的，所以只能是每人17 个，15 个，13 个等等，15 个当然不可能了（因为任何数乘以15 后，各位不是5 就是 0），下面我们来看看可不可能是13 个或更少：至少有 1250 个桔子，125013=96,2，那么至少有96 人，那么大班与小班和起来就至少96-27=69 人。可是小班人最少不会超过中班的27 人，所以大班小班和起来不应该超过27+（27+6）=60 人，这与我刚才的结果是矛盾的！所以每人不可能是13 个或者更少，这就说明了每人应该是17 个苹果。现在总的苹果数个位是

18、7-6=1，每人 17 个苹果，所以总的人数个位应该是3！再看：125017=73,9，150017=88,4，这时就可以找到总人数一定是83。因为如果是73 的话，桔子还没有分完。所以大班小班共有83-27=56 人，用和差问题的公式可以很快得到小班人数是：（56-6）2=25 人.11.一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？解答：大家先想想，我如果用18 加上 24 的话，得到是哪几个面的和？是4 个侧面和2个顶面的和！四

19、个侧面的和应该是：13+13=26，这时就可以计算出顶面的数是：（18+24-26）2=8，于是底面的数是：13-8=5.12.左图是一个道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有 60 个孩子到过路口 B，问：先后共有多少个孩子到过路口C？解答：自己先尝试一下假设A处有 1 个孩子，2 个孩子时有什么问题，发现后来就会出现半个孩子的情况，这是不行的，所以再假设有 4 个，8 个，16 个孩子，发现后来还是会出现半个孩子，于是我们就假设A处有 32 个孩子吧！（自己动动脑筋：为什么是1，2，4，8，16，32这些数？这些数

20、有什么规律吗？）最后经过计算能发现 C处有 8 个孩子经过，B处有 10 个孩子经过。但事实上 B处有 60 个孩子经过，所以原来A处就应该是 6 个 32 个孩子！所以就有86=48个孩子经过 C点.13.比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5 块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6 条边中，有 3 条边与黑色皮子的边缝在一起，另3 条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有12 块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？解答：先

21、算黑皮子共有多少条边：125=60条。这 60 条边都是与白皮子缝合在一起的，对于白皮子来说：每块白色皮子的6 条边中，有 3 条边与黑色皮子的边缝在一起，另 3 条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有602=120 条边，1206=20，所以共有20 块白皮子.14.5个空瓶可以换1 瓶汽水，某班同学喝了161 瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？解答：大致上可以这样想：先买161 瓶汽水，喝完以后用这161 个空瓶还可以换回32 瓶（1615=32,1）汽水，然后再把这32 瓶汽水退掉，这样一

22、算，就发现实际上只需要买161-32=129 瓶汽水。可以检验一下：先买129 瓶，喝完后用其中125 个空瓶（还剩4 个空瓶）去换 25 瓶汽水，喝完后用25 个空瓶可以换5 瓶汽水，再喝完后用5 个空瓶去换1 瓶汽水，最后用这个空瓶和最开始剩下的4 个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161 瓶汽水.15.现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹ABC东北果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34 个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2 倍。问原来三堆苹

23、果数之和的最大值是多少？解答：这种题和第十题一样，好做但是不好讲，关键在于如何能让四年级的学生听明白！从第一个条件开始：从每堆苹果中各取出一个，在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍，这时假设第二堆是1 份苹果，那么第一堆就是3 份苹果，差 2 份苹果。再看第二个条件：从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34 个，第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2 倍，因为是从每堆苹果中各取出同样多个，所以第二堆还是比第一堆少2 份苹果，所以这个 2 份应该比34 个要少（大家自己考虑一下为什么不能相等？）所以一份最多就16 个，于是在第二个条件时，第二堆还有34-162=2 个，第三堆还有22=1 个

24、，所以回到第一个条件时，第二堆应该是1 份 16 个苹果，第三堆少一个是15 个，第一堆是3 份共 163=48 个苹果，所以在最开始分别有49，17，16 个，总共有49+17+16=82个.【典型问题】1.某数加上6，乘以 6，减去 6，除以 6，其结果等于6，则这个数是多少？解答：（66+6）6-6=1，这个数是1.2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加 5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？解答：和的后两位数字是72，说明另一个加数变成了99，所以原来的加数是99-51=48.3.有砖 26 块，兄

25、弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2 块。问最初弟弟准备挑多少块？解答：先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）2=14，弟弟是26-14=12，然后来还原：1.哥哥还给弟弟5 块：哥哥是 14-5=9，弟弟是 12+5=17；2.弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18，弟弟是17-9=8；3.哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8+8=16 块.4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给

26、乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81 元，那么三人原来的钱分别是多少元？解答：三人最后一样多，所以都是813=27 元，然后我们开始还原：1.甲和乙把钱还给丙：每人增加2 倍，就应该是原来的3 倍，所以甲和乙都是273=9，丙是81-9-9=63；2.甲和丙把钱还给乙：甲93=3，丙 633=21，乙81-3-21=57；3.最后是乙和丙把钱还给甲：乙 573=19，丙213=7，甲81-19-7

27、=55 元.5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有51 粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？解答：先假设后来三个人都是4 份，还原后得到甲、乙、丙分别是3 份，5 份，4 份，实际上甲原来有51 粒，513=17，那么我们可以把1 份看成 17 粒，所以乙最开始有糖豆175=85 粒.6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩2 个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2 个。问：这筐苹果至

28、少有几个？解答：如果最后的1 份只有 1 个的话，我们很快就可以发现前面的11 份就是（13+2）2=2.5 个，这是不可能的，所以最后的那一份至少是2 个，那么这筐苹果原来至少有：（23+2）23+2=23 个.7.今年父亲的年龄是儿子的5 倍，15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的2 倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？解答：今年父子的年龄差是儿子的5-1=4 倍，15 年后父子的年龄差是儿子的2-1=1 倍，这说明在过了15 年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15（4-1）=5 岁，父亲今年是55=25 岁.8.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好

29、是三个学生的年龄和；9 年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又 3 年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再 3 年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9 岁；同理可以得到乙是9+3=12 岁，甲是9+3+3=15 岁，老师是9+12+15=36 岁.9.全家 4 口人，父亲比母亲大3 岁，姐姐比弟弟大2 岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73 岁。问：现在各人的年龄是多少？解答：73-58=1544，我们知道四个人四年应该增长了44=16 岁，但实际上只增长了15 岁，

30、为什么呢？是因为在4 年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4 年增长了 12 岁，15-12=3，3 就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3+2=5 岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65 岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65+3）2=34 岁，母亲是65-34=31 岁.10.学生问老师多少岁，老师说：“当我象你这么大时，你刚3 岁；当你象我这么大时，我已经 39 岁了。”求老师与学生的年龄。解答：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39 这 4 个数是一个等差数列，即学生年龄-3=老师年龄学生年龄=39-老师年龄，我们可以先求出这

31、个差是多少：（39-3）3=12，所以学生年龄是3+12=15 岁，老师年龄是15+12=27 岁.11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3 倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30 岁。问：哥哥现在多少岁？解答：假设弟弟当年年龄是1 份，那么哥哥现在的年龄就是3 份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄）就刚好是2 份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5 份，一份就是305=6，哥哥现在是63=18 岁.12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱

32、人的年龄和是子女年龄和的6 倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10 倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3 倍。”问陈老师有多少子女。解答：2 年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9 倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6 年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2 倍。这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2 倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是 2 个。如果这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1 个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3 个子女。本题推荐使用方程求解！13.今年是 1996 年。父母的年龄和是7

33、8 岁，兄弟的年龄和是17 岁。四年后，父的年龄是弟的 4 倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86 岁，兄弟的年龄和是17+8=25 岁，父=弟4，母=兄3，那么父+母=弟4+兄3=3（弟+兄）+弟，即 86=325+弟，所以弟是11 岁，兄是 25-11=14 岁，父是 114=44 岁，母是143=42 岁（以上都是4 年后的年龄，即公元2000 年），很显然再过1 年后父亲 45 岁，兄是 15 岁，父亲是哥哥年龄的3 倍，所以答案就是公元 2001 年.14.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113 岁，当甲的岁

34、数是乙的岁数的一半时，丙是 38 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17 岁，那么乙现在是多少岁？解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a 岁，乙就是2a岁，丙 38 岁；当甲17 岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a 岁，那么丙是乙的2 倍，就是 2（17+a），再根据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2（17+a）-17，由此可以得到a是等于 7 的，所以在某一年，甲7 岁，乙 14 岁，丙 38 岁，和是 7+14+38=59 岁，（113-59）3=18，再过18 年后，三人年龄和是113 岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.15.今年，祖父的年龄是

35、小明的年龄的6 倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5 倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4 倍。求：祖父今年是多少岁？解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5 倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4 倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3 倍，所以年龄差是5，4，3 的倍数，很快就能得到年龄差应该是60（当然不可能是120，180 等等），今年小明的年龄是：60（6-1）=12 岁，那么祖父就是12+60=72 岁.【典型问题】1.某数加上6，乘以 6，减去 6，除以 6，其结果等于6，则这个数是多少？解答：（66+6）6-6=1，这个数是1.2.两个两位数相加，其中一个加数是73

36、，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加 5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？解答：和的后两位数字是72，说明另一个加数变成了99，所以原来的加数是99-51=48.3.有砖 26 块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2 块。问最初弟弟准备挑多少块？解答：先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）2=14，弟弟是26-14=12，然后来还原：1.哥哥还给弟弟5 块：哥哥是 14-5=9，弟弟是 12+5=

37、17；2.弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18，弟弟是17-9=8；3.哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8+8=16 块.4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81 元，那么三人原来的钱分别是多少元？解答：三人最后一样多，所以都是813=27 元，然后我们开始还原：1.甲和乙把钱还给丙：每

38、人增加2 倍，就应该是原来的3 倍，所以甲和乙都是273=9，丙是81-9-9=63；2.甲和丙把钱还给乙：甲93=3，丙 633=21，乙81-3-21=57；3.最后是乙和丙把钱还给甲：乙 573=19，丙213=7，甲81-19-7=55 元.5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有51 粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？解答：先假设后来三个人都是4 份，还原后得到甲、乙、丙分别是3 份，5 份，4 份，实际上甲原来有51

39、粒，513=17，那么我们可以把1 份看成 17 粒，所以乙最开始有糖豆175=85 粒.6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩2 个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2 个。问：这筐苹果至少有几个？解答：如果最后的1 份只有 1 个的话，我们很快就可以发现前面的11 份就是（13+2）2=2.5 个，这是不可能的，所以最后的那一份至少是2 个，那么这筐苹果原来至少有：（23+2）23+2=23 个.7.今年父亲的年龄是儿子的5 倍，15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的2 倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？解答：今年父子的年龄差是儿子的5-1=4

40、倍，15 年后父子的年龄差是儿子的2-1=1 倍，这说明在过了15 年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15（4-1）=5 岁，父亲今年是55=25 岁.8.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9 年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又 3 年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再 3 年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9 岁；同理可以得到乙是9+3=12 岁，甲是9+3+3=15 岁，老师是9+12+15=36

41、岁.9.全家 4 口人，父亲比母亲大3 岁，姐姐比弟弟大2 岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73 岁。问：现在各人的年龄是多少？解答：73-58=1544，我们知道四个人四年应该增长了44=16 岁，但实际上只增长了15 岁，为什么呢？是因为在4 年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4 年增长了 12 岁，15-12=3，3 就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3+2=5 岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65 岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65+3）2=34 岁，母亲是65-34=31 岁.10.学生问老师多少岁，老师说：

42、“当我象你这么大时，你刚3 岁；当你象我这么大时，我已经 39 岁了。”求老师与学生的年龄。解答：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39 这 4 个数是一个等差数列，即学生年龄-3=老师年龄学生年龄=39-老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：（39-3）3=12，所以学生年龄是3+12=15 岁，老师年龄是15+12=27 岁.11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3 倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30 岁。问：哥哥现在多少岁？解答：假设弟弟当年年龄是1 份，那么哥哥现在的年龄就是3 份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在

43、年龄（=哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄）就刚好是2 份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5 份，一份就是305=6，哥哥现在是63=18 岁.12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6 倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10 倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3 倍。”问陈老师有多少子女。解答：2 年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9 倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6 年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2 倍。这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2 倍数，至少是9

44、0，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是 2 个。如果这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1 个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3 个子女。本题推荐使用方程求解！13.今年是 1996 年。父母的年龄和是78 岁，兄弟的年龄和是17 岁。四年后，父的年龄是弟的 4 倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86 岁，兄弟的年龄和是17+8=25 岁，父=弟4，母=兄3，那么父+母=弟4+兄3=3（弟+兄）+弟，即 86=325+弟，所以弟是11 岁，兄是 25-11=14 岁，父是 114=

45、44 岁，母是143=42 岁（以上都是4 年后的年龄，即公元2000 年），很显然再过1 年后父亲 45 岁，兄是 15 岁，父亲是哥哥年龄的3 倍，所以答案就是公元 2001 年.14.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113 岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是 38 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17 岁，那么乙现在是多少岁？解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a 岁，乙就是2a岁，丙 38 岁；当甲17 岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a 岁，那么丙是乙的2 倍，就是 2（17+a），再根据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2（17+a）-17，由此

46、可以得到a是等于 7 的，所以在某一年，甲7 岁，乙 14 岁，丙 38 岁，和是 7+14+38=59 岁，（113-59）3=18，再过18 年后，三人年龄和是113 岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6 倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5 倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4 倍。求：祖父今年是多少岁？解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5 倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4 倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3 倍，所以年龄差是5，4，3 的倍数，很快就能得到年龄差应该是60（当然不可能是120，180 等等），今年小明

47、的年龄是：60（6-1）=12 岁，那么祖父就是12+60=72 岁.四年级上学期第 02 讲应用题第07 讲和差倍问题之三1.四年级有4 个班，不算甲班其余三个班的总人数是131 人；不算丁班其余三个班的总人数是134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人，问这四个班共有多少人？解答：由“不算甲班其余三个班的总人数是131 人；不算丁班其余三个班的总人数是134 人”得到 131+134=265，这 265 人包括 1 个甲班和 1 个丁班，以及 2 个乙班和 2 个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人，所以用 265-1=264 就刚好是3 个乙班和

48、3 个丙班之和，2643=88，就是说乙、丙两个班的和是88 人，那么，甲、丁两个班的和就是88+1=89 人。所以，四个班的和是88+89=177 人。2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？解答：把 4 个数全加起来就是每个数都加了3 遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在 72 中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9 倍，求出所有这样的

49、两位数。解答：两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9 倍，即这个数的个位乘以 9 以后的个位还等于原来的个位，那么个位只能是0 或 5。如果是0，显然不行。因为209=180，309=270，.所以个位只能是5。试验得到：15，25，35，45 是满足要求的数。4.某班买来单价为0.5 元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15 本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10 本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?解答：这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求解。假设班上有2 个女生，那么就是一共有30 个练习本，这3

50、0 本“只给男生，平均每人可得 10 本”，说明男生有3 个。那么，分给全部按同学，每人得30/（2+3）=6 本，因此每人应该付 6 本练习本的钱，即每人要付3 元钱。5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20 粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？解答：由题意可知，花生总数必定是12、15、20 的倍数。同上题一样，我们也可以用设数法。假设共有花生12*15*20 粒，那么第一群猴子有15*20 只，第二群猴子有12*20 只，第三群猴子有12*15 只，即共有（15*20+12