2005年中国大学生数学建模竞赛论文(排队论模型解决出租车最佳数量预测)I.pdf

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1、解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖1目录1 问题的提出-32 模型建立与求解-32.1 问题 1：居民出行强度和出行总量预测-32.1.1问题分析-32.1.2符号约定-42.1.3居民消费支出预测-52.1.4城市居民人口预测-82.1.5出行强度预测-82.1.6出行总量预测-112.1.7出租车人口预测模型-142.2 问题 2：出租车最佳数量预测-162.2.1问题分析-162.2.2符号约定-172.2.3服务系统模型-182.2.3.1来客速率-18l2.2.3.2服务速率-19m2.2.3.3单车对单人服务速率-19b2.2.3.4状态及状态

2、转移-192.2.3.5模型建立-212.2.3.6模型求解-222.2.4最优化模型-242.2.4.1模型建立-242.2.4.2模型求解-262.2.5模型的验证-262.3 问题 3：价格调整方案模型-282.3.1问题分析-282.3.2符号约定-29解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖22.3.3基于价格函数的泛函模型-302.3.4模型求解-332.3.5模型扩展-342.3.6扩展模型求解-352.4 问题 4：数据采集的合理问题-352.5 问题 5：出租车规划短文-363 参考文献-384 附录-384.1 附录 I-384.2 附录 2

3、：-40解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖31问题的提出最近几年，出租车经常成为居民、新闻媒体议论的话题。某城市居民普遍反映 出租车价格偏高，而另一方面，出租车 司机却抱怨劳动 强度大，收入相 对来说偏低，甚至发生出租车 司机罢运 的情况，这反映 出租车 市场管 理存在一定问题，整 个出租车行 业不景气，长此以往将影响社会稳定，值得关注。我国城市在未 来一段时间内，规模会不断扩 大，人 口会不断增长，人民生 活水平将不断提高，对出租车的 需求也会不断变化。如何配 合城市发展 的战略目标，最大限度地满足人民群众的出行 需要，减少环境污染 和资源消耗，协调各阶

4、层 的利益关系，下列问题是值得深入研究的。（附录中给出了某城市的相关数据）。（1）考虑以上因素，结合该城市经济发展和自身特点，类比国内外城市情况，预测该城市居民出行强度和出行总量，同时进一步给出该城市当前与今后若干 年乘坐出租车人口的预测模型。（2）给出该城市出租车最佳数量预测模型。（3）按油 价调价 前后（3.87元/升与 4.30 元/升），分别讨论是否存在能够使 得市民与出租车 司机双方都满意的价格调整方案。若存在，给出最优方案。（4）本题给出的数据的采集 是否合理，如有不合理之处，请你给 出更合理且实际可行的数据采集方案。（5）请你们站 在市公用事业管理部门的立场上考虑 出租车规划问题

5、，并将你们的研究成果写成一篇短文，向市公用事 业管理部门概括介绍你们 的方案。2模型建立与求解2.1 问题 1：居民出行强度和出行总量预测2.1.1 问题分析随着经济的增长，导致了 居民的 累计人均可支 配收入 和累计人均生活消费支出的增长。而这两个指标增长，使得居民人 均出行强度 增大，从而导致居民出行 使用出租车的比例将增大。同时居民和 外来人口的增长，也将导致出租车 使用量的增加。附录列出的跟据统计分析 得到的表格都是基于居民的 实际情况得 到的，而居民的 概念我们认为是常住人口，不包括流动人口。因为根据城市不 同区域居民出行强度的 表格可以看出，全 市人数为 184.325万人，和 城

6、市总体规划人 口模型中 2004 年的常 住人口解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖4185.15 万 人 很 接 近，而 不 是 第 一 类 人 口 218.15（185.15+33）万 人，更 不 是240.15（185.15+55）万人。从统计分析 角度来说，居民也应该代表常住人口。因为居民出行强度 统计、居民出行 目的结构统计、居民出行方 式统计、居民不同时距出行方 式结构统计、居民出行 分方式平均耗时统计、居民出行全方 式 OD 分布统计等等这些表格来说，如果居民包括流动人口，那么数据的 统计工作将非常困难。相对常住人口来说，流动人口特别是 短期及

7、当日进出人口，他们的出行方 式、出行强度、出行 目的结构、出行方式结构、出行分方式平均耗时和出行全方 式 OD 分布变化将 非常大，并且在统计上是没有规律可循的。综合上面的分析，我们认为题目中居民的 概念只是代表城市的常住人口。要预测今后若干 年平均乘坐 出租车的人 口，首先必须 得到居民、暂住人口和第二类人口出行强度和总量的预测 值。而出行强度和居民 平均收入预测和 消费支出预测 有关。因此人口总量和 平均收入预测和 消费支出预测 是首先的，在此基础上才可以做出行强度和总量的预测，最 后才是平均乘坐 出租车的人 口的预测。2.1.2 符号约 定出租车 日客运总量m出租车 日客运居民总量1m出

8、租车 日客运流动人口总量，显然2m12mmm=+居民人 口总量1N流 动人口总量2N 时刻总人口量()N tt初始 时刻（2004 年）总人口量0N选择 出租车出行人 口总量C居民中选择出租车出行人 口总量1C流 动人口中选择出租车出行人 口总量，显然2C12CCC=+时刻居民出行全方 式 OD 值()ijStt 时刻第 小区出行强度()itIIti解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖5 时刻第 小区人口占总人口比例()ir tti时刻总出行强度()tIt 时刻总消费支出占总收入的比例()outgo tt生存性出行强度a 时刻第小区人口数()iP tti城市

9、小区标号，i1,6n=L 时刻城市总人口()Z tt出租车出行方 式占所 有出行方 式的比例X出行强度 与总消费支出的比例K第小区到第小区的吸引指 数ijdij 时刻居民出行总量()M tt2.1.3 居民消费支出预测l问题的 分析居民的出行强度 变化与居民的生 活消费支出关系较为密切，预测 城市居民的出行强度规律应首先 分析掌握城市居民的人 均生活消费支出的变化规律。根据题目给定的已知城市 2002 到 2004 年居民 累计收入与消费情况，通过建立时间序列预测模型，可以预测出 以后一个时间段内 的居民 累积收入和消费支出。目前来说常用的时间序列预测模型 有，和模型等。(,)ARMA p q

10、(,)ARIMA p qARCH附录 2 中累计 人均可支 配收入 和累积人均生活消费支出是分年累计的。对 于缺失 的数据项可以根据前后月份的数据 差值平滑处理获得。处理后做图如下：解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖6居民人 均可支 配收入 与生 活 消费 支出 波动图使用SPSS 软件对居民 收入和累计人均生活消费支出进行独立性检验，可以发现两组数据具有一定的相关性（相关系数为0.726）。以每12个月的处理后数据序列，作出序列的自相关函数图和偏自相关函数图，来检验整体时间序列的平稳性和周期性，可以发现：(1)自相关函数和偏自相关函数均不截尾。(2)数据

11、有明显的周期性，且某一时期其波动剧烈而另一时期又相对平缓，表现出“波动聚集，高峰厚尾，持久记忆”等现象。模型比较适合应用于平稳时间 序列的偏相关 系数和自相关 系数均(,)ARMA p qkfkr不截尾，但较快收敛到 0 的数据 序列。对于如本题中波动起伏较大且某一时期其波动剧烈而另一时期又相对平缓的数据 序列，经典ARMA 模型已不能较好的拟合和预测，Engle（1982）提出自回归条 件异方差（ARCH）模型，把方差和条件方差区分开，让条件方差作为过去误差的函数而变化，为解决异方差提供新的途径。Bollerslev（1986）在此基础上提出广义 自回归条 件异方差（GARCH）模型，让条件

12、方差作 为过去误差和滞后条件方差的函数而变化，更好地体现出波动聚集效应。l预测模型的建立广义自回归条 件异方差（）模型GARCH1ktititiYuYuf-=+?1mttit iiuvuj-=-?tttvhe=解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖7211qptitijtjijhvhwag-=+?其中，是时刻及之前的全 部信息，为()21|ttthE v-=W1t-W1t-1t-ifijwiajg参数(，)，是均值为 0，方差为 1 的白0,1,;0,1,ijiqjpag3=3=LL111qpijijag=+D=?根据已知的该城市的出租车 每日载客趟次可以得到

13、 l每日载客趟次=24 60 60居民和 流动人口的来客速率 不同，整类人口的来客速率和 该类人口现时刻总数以及性 质 有 关。假 定 居 民 和 流 动 人 口 总 来 客 速 率 分 别 为和，则，1l2l12lll=+12ll=居民出租车出行人 次出租车 日客运总量-居民出租车出行人 次2.2.3.2 服务速率 m出租车服务速率是指平均每辆车单位时间服务完的批次数，假设服从负指数分mm布。0()00utu etftt-D D D=D?为每辆车服务 完成一个批次使用的平均时间。1m1/=m载客里程数每日载客趟次 出租车 平均速度解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模

14、竞赛一等奖202.2.3.3 单车对单人服务速率b可以理解为 在某一时刻只有一辆空车和一 个等待顾客时，该车遇到该顾客所需要b的时间的倒数。假设服从负指数分布。参数与城市的道路设施 状况和城市的规模 相bb关，如果城市设施良 好，则变大；城市规模越大，越小。bb参数由 2004年该城市的规模和 道路情况确定。我们做出一 些假设、以便可以通过b计算机模拟的方法得到的具体数据。b1、道路呈均匀田字 型网格分布。网格长度为每分钟出租车行 使的距离。不考虑一切路障（包括红绿灯）。2、人在田字型网格上固定的一点。3、单个出租车 在网格上随机游走，计算当人碰到车时的平均耗时（设定不同初始位置，反复计算）。

15、通过上述模拟机制的运算，可以得到该城市的。10.000001908(1/)sb=平均等待时间（s）2.2.3.4 状态及状态转移设 N 为现时刻总出租车数，n 为现时刻正在服务的车 辆数，则 N-n 表示现时刻空车辆数，m 为现时刻等待出租车的 批次（某一时刻同时坐上一辆出租车的人为一 个批次）。为顾客乘出租车 平均等待时间。()T t将 n 和 m 组成的一 个状态来 刻画出租车总服务量和等车 顾客总量的 系统状态，在下一个时间 单位中，状态 序列可有 如下几种转移：（1）等待顾客批次增加一个，服务车数 没有变化。这种状态 表(,)(1,)m nmn?+示在单位时间内，新增一个批次等出租车

16、顾客，等车 顾客中没有等到车，乘出租车 顾客也没有下车。转移速率为来客速率。l（2）等待顾客批次不变，正在服务车辆数少一辆。这种状态表(,)(,1)m nm n?-示在单位时间内，即没有新增等车顾客，也没有等到车的顾客，乘车顾客中有一个到达目的地。转移速率为单 位时间服务完的批次。n u（3）等待顾客批次少一批，正在服务车 辆数多一辆。这种状态(,)(1,1)m nmn?-+解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖21表示在单位时间内，没有新增等车顾客，也没有下车的顾客，等车顾客中有一个到等到车了。那么由于的值很小，根据假设下发生的转移速率 可以近似b(,)(1

17、,1)m nmn?-+为：。在此状态下个顾客总体等 待时间为：。()Nnm b-m11()mNnmNnbb=-（）设为稳定状态时，系统处于状态的 概率。(,)P m n(,)m n则。1(,)()(,)mnmnP m nNnT(t)P m nmb-=?（4）等待顾客批次不变，服务车数 不变。这种状态 表示在单位时(,)(,)m nm n?间内，没有新增等车顾客，没有下车的顾客，等车 顾客也没有一个等到车了。服务系统的状态转移 图如下图所示：(),m n()1,1mn-+(),1m n+()1,mn+()1,mn-(),1m n-()1,1mn+-()1nm+n mll()Nnm b-()()1

18、1Nnmb-+状态转移 图系统任意时刻正在服务的车 辆数的上界为出租车总量，为了减少问题计算的规nN模，可以假设在等待顾客总数 超过 N 时间，新到的顾客损失（可以认为顾客看到的等待顾客过多而不 愿意继续等下去）超过出租车总量的情况认为是小概率时间而不 于考N虑，则所决定的系统状态数为个。(,)m nNN根据上图的状态转移 图可以得到，系统转移状态方 程为：+nu+(N-n)m P(m,n)-(n+1)uP(m,n+1)-P(m-1,n)-(N-n+1)(m+1)P(m+1,n-1)=0（）上式的意义表示：稳定状态下，转移到状态的速率等于从状态转移出去(,)m n(,)m n的速率。2.2.3

19、.5 模型建立解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖22设为系统状态到状态的转移速率 矩阵(,)A NN NNNNNN则1211221122121211122221211212121212,11,()1,1(,),11,()1,10n umm nnmmnnNnmmmnnA mn mnn umm nnmmnnNnmmmnnlblb=-=?-=?-=-=?=-=-=?-=?-=-=?其他令为待求个状态概率，则平稳状态下的服务模型为：N NPuuuuu rNN11221(,)01(,)()1(,)()N NNNiimnmnA mn mnPPP m nmT tP m

20、nNnb=?=?=?-?uuuur2.2.3.6 模型求解通过服务系统模型，假设，已知，根据出租车数量 就可以解得乘客平lbm均等待时间和出租车。平稳 状态方 程的总 变量数 很大，以 2004 年车 辆总数为 例，共有变 量数为，总 方 程 数 也 为，状 态 转 移 矩 阵 为6200 620038440000=38440000，通过矩阵运算获取精确解是比较困难 的，即使能够 解，也将38440000 38440000花费大量时间。因此，我们考虑 通过数据迭代的方式获取目标方程近似解。使用数据迭代的方法获取近似解，对状态 矩阵的初始设置较为重要，初始值设置不正确，将不能保证迭代收敛。其基本

21、算法如下：解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖23设定初始 P(m,n)的值根据状态转移方 程更新 P(m,n)状态是否稳定？是否是否 超过最大 迭代次数？重新选择 P(m,n)的值初始 化相关 参数否是计算出租车 空驶 率计算顾 客平均等待时间迭代算法 流程图下图为根据题目已知条件求得，后，不同出租车数量 情况下空载率和lbm平均等待时间的关系图（实际计 算的为多个不同出租车数量 情况下离散的点值，图示是通过依次连接各点得到的折线图）。由于迭代过程中实际 求取的为近 似解，所以曲线显的不是很平滑。50006000700080000.40.50.6图：出租车

22、数量 与空载 率的 关系解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖24特别的，当出租车 辆为 6200 辆时，求得空载率为 52.1%，顾客平均等待时间为 2.02分钟。2.2.4 最优化模型2.2.4.1 模型建立顾客总体的 抱怨度和顾客的平均等待时间相关，等待时间越大，抱怨越大，等待的时间越小，抱怨越小。定义抱怨函数如下：()()B tf T t=其中为顾客总体 平均等待时间，此抱怨 度函数可以用分段指数函数来刻画。()T t()1()11()()1()aT tbT teT tTf T teT tT-?=-3?该函数当时，符合平均等待时间值 越小，抱怨度越小的

23、事实，()0T t?()0f T t?当时，符合平均等待时间值 越大，抱怨度越大的事实。通过该函()T t?￥()1f T t?数在点的连续性和一阶导数的连续性，可以定出常数和的值。1()T tT=ab的选取可以根据实际情况，通过大量的数据 资料分析得到。1T出租车 公司的利润的本质直接的反映到车辆空载 率上，因为车辆空载 率越小，单位距离内车辆的收入和车辆本钱的支出之比越小。利润越高。利用排队论模型极为巧妙的计算出各种平均状态下空载比例，从而可以计算得到总体的 空载比例。50006000700080003456出租车数量 与乘 客平均等待时间 的关系（时间 单位：s）解放军理工大学：孙谦，项

24、阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖25()()(,)()tmnN tnF tP m nN t-=?其中为时刻出租车数量，为基于 出租车数量的 各状态 概率，为()N tt(,)tP m ntb稳 态 状 态 下 且 在 一 辆 空 车 和 一 批 等 待 顾 客 情 况 下，单 位 时 间 内 发 生()N t的转移速率。(,)(1,1)m nmn?-+其中为 时刻总体空载比例，其中为 时刻出租车数量，为基于出()F tt()N tt(,)tP m n租车数量的 各状态概率。以最佳出租车数量模型：min()()a B tb F t+以最佳出租车数量预测模型如下：121122111

25、122min()()()()()(,)()()()(,)01(,)()1(,)()(,)tmnNNN Niimnmna B tb F tN tN tnF tP m nB tf T tN tA mn mnPPP m nmT tP m nNnnumA mn mnllb=+-=-=?uuuur对于不同年份的（t）（t）使得满足的为最优其中，其中a，b为政府调控因子21122112212121221211212121212,11,()1,1,11,()1,10m nnmmnnNnmmmnnn umm nnmmnnNnmmmnnlblb?=-=?-=?-=-=?-=-=?-=?-=-=?其他用来表示政府

26、在顾客因素和出租车 公司因素之 间的折中，表示只考虑顾客抱a1a=怨程度的预测，表示只考虑出租车 公司因素的预测。0a=解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖262.2.4.2 模型求解首先根 据初始的出租车 系统平均服务速率、顾客平均到达速率以及城市道路的基本状况参数，设定初始 出租车总量。解出 平稳状态时，整个系统处于各个状态的 概率。b根据概率值计算顾 客平均等待时间和出租车 空载概率。由此结合设定的政府 调控系数，计算需要优化目标 的概率模型是否稳定的判断条件是，即前后两步概率矩阵中相差1,max(,)(,)iim nPm nP m ne+-最大的概率

27、值最佳出租车数量采 用梯度下降算法，设定初始值数量，利用下一年的和迭代()tl算法得到下一年，初始出租车数 下的稳态概率，进而得到平均等待时间和空载概率，求得目标函数值。使用梯度下降算法按照目标函数值下降方向不断减少 车辆增加数量，求得最佳的出租车数量。出租车总量预测值未来年 份的出租车数量预测需要说 明的是，预测 所得到的各年的最佳出租车数量 是基于用户平均等待时间不 大于 2 分钟（根据 2004年的数据 实际计 算用户平均等待时间为 2 分钟），空载率不高于 52.1（2004 年的实际计 算结果）的情况。2.2.5 模型的 验证为了验证模型的合理 性，我们采用蒙特卡罗模拟对建立的模型

28、进行模拟。模拟中采用的部分定义如下：模拟时间步进tD当前时间最大模 拟时间MaxT解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖27单位时间内需要 乘车的顾客批次概率（或来客速率）；lp单位时间服务完的乘客批次概率，mp单位出租车 获取某个乘客批次的概率bp算法的描述如下：（1）初始化相关 参数；（2）初始化随机数种子；（3）判断，如果为真则从（4）向下 继续，否则计算统计数据结果，程序MaxTt 承担损失比例为，显然，这个比例越小，市民越满意。对出租车 司机来说，价100MMM-解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖29格调整之前他

29、的每天工资为，调整 之后他的工资为，（）那么他 的承担损0N1N10NN失比例为，同理，这个比例越小，出租车 司机也 越满意。我们就认为这个承担010NNN-损失比例就代表了满意指数，它刻画了双方的满意程度。这里我们将一辆车的正、副班驾驶员考虑为一个出租车 司机整体。如何理解使得双方都满意这个概念。可以得到必然 存在这 样的约束：如果增加一方的满意指数，那么另一方的 满意指数肯定会降低。双方都满意的概念是，相互之间找到一个损失额，让他们都能够 接受并认可。基于这样的分析，我们直接选择一种损失分配，让所有各方的满意指数尽可能的接近。再次我们分析 一下题目所给的条件和数据。主要分析附录中第 2 点

30、包含的 4 个小点的数据。第小点每辆车每年行驶里 程为 124640公里，那么 可以得到平均每车每日行驶为 124640/365=341.48公里。第小点又给出所有出租车 日行驶总里程为 230.7万公里。平均到每辆车每日行驶 230.7/0.62=372.10公里。显然这两个数据是不吻合的，我们认为是统计误差造成的。我们选择第 点中的数据。第点中还给出日平均营业里程为424.00公里/车日。这个数值大于前面两个，可以这样理解：每天并不是所有的车都在运营。有些车或者维修，或者司机的问题等等，没有参加运营。而这个 数据是基于参加运营的出租车 统计的，所以相对偏大。2.3.2 符号约 定出租撤每此

31、载客里程数x出租车价格 函数，自变量为里程数()fx初始 的出租车价格 函数()0fx初始 的白天出租车价格 函数()0dfx初始 的晚上出租车价格 函数()0nfx调整之后出租车价格 函数()1fx调整之后白天出租车价格 函数()1dfx调整之后晚上出租车价格 函数()1nfx出租车 每次载客出行，市民的平均消费，它的自变量为价格 函数()Mff解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖30初始 价格函数下出租车 每次载客出行，市民的平均消费0M调整价格 函数之后出租车 每次载客出行，市民的平均消费1M市民的满意指数m价格调整 之前出租车 司机的每天工资0N价格

32、调整 之后出租车 司机的每天工资1N出租车 司机的满意指数n每个市民乘出租车出行 里程数小于的概率()P xx的概率密度函数()p x()P x白天出行所占比例ds夜晚出行所占比例ns价格调整 前出租车 公司每辆车每天的收益0I价格调整 之后每辆车每天的收益1I出租车 公司的满意指数i2.3.3 基于价格函数的泛函模型为市民的 满意指数，根据前面的分析，m1010012MMMmMM-=-=-10MM3。01m为出租车 司机 的满意指数，根据前面的分析，n011001NNNnNN-=-=10NN。01n 为出租车的 计价函数。简称价格函数，其中为里程数。一个价格函数就是一()fxx种价格方案，当

33、前 的价格 函数设为，它的具体描述见附录 1 中某城市 出租车()0fx的收费标准：起租基价 3 公里，基价租费：白天 8.00 元，晚上 9.6 元。超过起租基价公里，每车公里价：白天 1.8 元，晚上 2.16 元。上日 21 时至次日凌晨 5 时为夜间行车时间。解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖31 远程载客从 10 公里开始，计价器将 50%回空费输入表内，加收回空费。行驶中乘客要求临时停车 10 分钟内免费，后每超过 5 分钟按 1 车公里租价收取等候费。白天：()()08038 1.8(3)3108 1.8(3)2.71010dxfxxxxxx

34、?=+-?晚上：()09.6039.62.16(3)3109.62.16(3)3.24(10)10nxfxxxxxx?=+-?如果不考虑第五个计价因素，基于以上前四个计价因素，我们可以描绘出出租车 收费对于行驶里程数的分段直线。如图所示，其中横坐标为行驶公里数，纵坐标为出租车所收费用。当前 价格 分析调整后的价格 函数为，代表调整后的一种价格方案。在本模型的建立和求解 中，()1fx自变量就是出租车的价格 函数，因此我们建立基于这个价格函数的泛函模型。为每个市民出租车出行 里程数小于的概率，为 概率分布函数。()P xx为的概率密度函数。在题目第二小 题的解答中，建立了一个排队论模型，()p

35、x()P x其中假设出租车的服务 时间是服从负指数分布的。那么假设不考虑出租车速度的 变化问题，这里的也服从负指数分布。其中平均载客里程数为 210.07公里/车日，日均载()p x客趟次为 40.52，那么 每次载客行驶里程数为 210.07/40.52=5.18公里。这个值 就是负指数分布的均值。()p x解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖32为出租车 每次载客出行，市民的平均消费。它和价格 函数、市民出行 里()Mf()fx程数的概率密度函数有关。()p x，由于白天和晚上由于价格函()()()()()00ddnnMfx p xfx dxx p xf

36、x dxss￥=+数不同，并且出行总量 所占的比例也不同。所以分两部分考虑。其中前半段()Mf代表白天部分，后半段代表晚上部分。为白天出行所占比例，为夜晚出行所dsns占比例，简化认为这个比例和价1dnss+=，为调整价格 之前每个()()()()()000000ddnnMMfx p xfx dxx p xfx dxss￥=+市民平均每次出租车出行的 消费。，为调整价格 之后每()()()()()111100ddnnMMfx p xfx dxx p xfx dxss￥=+个市民平均每次出租车出行的 消费。那么市民的满意指数可以表示为()()()()()()()()1110000000012dd

37、nnddnnx p xfx dxx p xfx dxMMmMx p xfx dxx p xfx dxssss￥+-=-=-+该凉车每趟次市民承担的损失额为。()()10MfMf-下面定义出租车 司机的满意指数，011001NNNnNN-=-=每辆车的出租车 司机所承担的损失额为，01NN-其中两方共同承担的损失为油价上升导致 的损失。，这个 式子基于每天()()()()()()()()()1000110100dddnnnx p xfxfx dxNNKLUUx p xfxfx dxss￥?-?-+=-?+-?每辆车得出的。其中为每辆车日均载客趟次，为平均每辆车每日耗油数，KL1U为上升之后 的油

38、价，为初始油价。0U解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖33那么建立的 泛函模型为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()211000000101000110100min2,01fddnnddnndddnnnmnx p xfx dxx p xfx dxmx p xfx dxx p xfx dxNnnNx p xfxfx dxNNKLUUx p xfxfx dxssssss￥-?+?=-?+?=9.6B 超过起租基价公里，每车公里价：白天元，晚上元。其中，。ab1.8a 2.16b 上日 21 时至次日凌晨 5 时为夜间行车

39、时间。远程载客从 10 公里开始，计价器将 50%回空费输入表内，加收回空费。行驶中乘客要求临时停车 10 分钟内免费，后每超过 5 分钟按 1 车公里租价收取等候费。当然在实际的计费过程中，作为简化，仍然不考虑第 5 个计费因素。那么调整之后的价格 函数表达式为白天：()103(3)310(3)1.5(10)10dAxfxAaxxAaxaxx?=+-?晚上：()103(3)310(3)1.5(10)10nBxfxBbxxBbxbxx?=+-?出租车 每次载客出行 里程数，根据前面的分析，服从负指数分布，其均值为 5.18 公解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一

40、等奖34里，得到。()1exp5.185.18xp x?=-?对于白天和晚上出行总量 比例的分配。采用简单值：，。2 3ds=1 3ns=首先可以求解出 满意指数均为。0.67806下面就是要求解、的值使得AaBb()()()()61.73111.85.18861.73112.165.189.60.357038aAbA-+-+-+-=显然这有很多种的方案，使得上面条件得到满足。也就是说，只要满足 上(),A a B b面这个表达式的约束条件。使得双方满意指数相等的条件下，会有很多种价格调整方案。最后模型的解 可以表示如下()()()()61.73111.85.18861.73112.165.1

41、89.60.3570381.8,8,2.16,9.60.67806aAbAaAbBmn-+-+?-+-=?3333?=?其中依照上式给出一种调整之后的价格方案：89.61.82.1666ABab=?=?=?=?2.3.5 模型扩展如果站在市公用事 业管理部门的角度，出租车 公司也应该承担一定的损失，即按照市民、出租车 司机和出租车 公司这三方共同承担风险的原则，来划分总的损失额。在前面泛函模型的 基础上，我们进行修正，得到泛函模型的 扩展模型。与前面模型不同的是，这里还要考虑出租车 公司的满意指数。定义为价格调整 前0I出租车 公司每辆车每天的收益，为价格调整 之后 每辆车每天的收益，1I10

42、II01II-就是出租车 公司每天在每辆车上损失的利益。那么出租车 公司的满意指数定义为011001IIIiII-=-=所以得到扩展泛函模型为解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖35()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222110000001010010010110010min2,01,01fddnnddnndddnddmnminix p xfx dxx p xfx dxmx p xfx dxx p xfx dxNnnNIiiIx p xfxfxdxNNKIILUUx p xfxfx dxssssss￥

43、-+-+-?+?=-?+?=?=?-+?-+-=-?-?其它参数的意义如前所述。2.3.6 扩展模型求解同样也可求出结果：()()()()61.73111.85.18861.73112.165.189.60.3519031.8,8,2.16,9.60.71839aAbBaAbBmni-+-?+-+-=?3333?=?其中同样，给出一种调整之后的价格方案：89.61.82.1657ABab=?=?=?=?需要补充的是，这里求出的最 优解是基于白天和晚上出行总量为这个前提下得2:1到的。2.4 问题 4：数据采集的合理问题本题主要目的是根据所收集统计来的数据，对 当前城市 的出租车 进行管理和规划

44、。当然数据的来 源和收集的角度是多方面的。数据收集的越多，数据本身反映出来的 统计特性也就越完备，对城市出租车的 管理规划 也就会越有帮助。当然，不同角度收集的数据在所难免会存在不 能完全一致的地方，因为统计的口径不同，这是可以理解的。下面我们从本题求解的 角度出发，如果能够有 哪些方面的统计数据，对 本题的模型和求解更有帮助，对城市出租车的 管理规划 更有指导意义，我们认为这些数据是需要收解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖36集的。当然这些数据的 实际可 行性还有待进一步分析。1、如果能够将整体的贫富层次统计出来更好，收入只有人均的，还不够详细。因为居民

45、按出行坐出租车的 比例可以分为三个等级：较富、一般和较贫。较富的居民出行一般选取出租车方 式，不考虑步行、自行车、摩托车和公交车出行，即高比例出租车出行居民。一 般的居民 看实际情况，在多种出行方 式中选取，即一般比例出租车出行居民。较贫的居民出行一 般不考虑出租车方 式，即低出租车出行居民。当然一个地区大概的贫富等级和比例还是可以统计得到的。并且建立档案，将每年的统计结果 收集起来，分析这个比例随着经济的发展会发 生那些变化。这些变化继而会对城市的出租车 管理有哪些影响。2、新增人口在中心区域和边缘区域分布的比例相对比较重要。因为人口的增长在 整个城市不 是均匀分布的，它是有区域性 的，比如

46、在城市 的发展中，中心区的人口发展 到一定数量之后，就会达到饱和，不可能继续增长。人口的增长相 对偏重于边缘区域。因此如果能够 统计得到具体的人 口增长 分布趋势，对整 个城市 交通规划有着重要的意义。如果可能 的话，该城市各个区的人口分布比例，以及这个比例将来发展的趋势，各个区的发展趋势，是商业区发展模式还是居住区发展模式，或者半商业半居住发展模式。对今后的各方面预测有着重要的作用。3、城市的交通 规划还应该 将它和资源利 用环境优化结合起 来。显然题目所给的数据没有一点有关这两个方面的。这可以说是本题数据 不完备或者说不合理的 主要方面。因为城市的交通规划仅仅是城市建设的一个方面，而这个

47、方面和城建的其他方面有着相互制约，相互影响，协调发展的作用和问题。因此，收集出租车 在这两个方面的数据，并将这些数据和 其他交通方式在这两个方面的数据 进行比较，会得到一些更有意 义的结果。对城市交通规划有着重要的指导作用。4、本题在数据收集上还有一个不合理的 地方，所有的数据，除了人口的预测数据 给出了在时间 上的趋势，其它数据在时间 的变化趋势都表现得不够充分，这给本题的预测带来的很大的不变，同样使得本题在预测上数据支持和预测数据合理 性方面有一定的欠缺。我们认为，将所有的统计数 据建立档案，使得它们 在时间上的变化趋势 体现出来。为预测和 其他工作提供更多的支持和帮助。2.5 问题 5：

48、出租车规划短文城市出租车规划 管理解放军理工大学：孙谦，项阳，刘贤2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖37我们要分析城市对出租车规划的 意义，不能仅仅局 限于出租车 本身。因为对整 个城市交通规划来 说，出租车的规划 只是其中的一个部分，它和其它交通方式的规划 相互影响，相互制约，构成了整个城市 交通规划的 互动过程。其次讨论一下城市交通规划对 城市各方面建设的意义。特别在环境污染、土地占用、生态破坏和能源消耗等问题 上，城市交通规划的 优劣会产生截然不同的效果。城市交通规划是城市确定今后交通系统建设与发展方向的关键决策。它必须制定符合可持续发展的战略与管理办法，以引导交通结构向低环境污染

49、 和优化利用不可再生资源的合理模 式转移，这是城市交通规划正确的发展方向，它决定了今后 城市交通规划的措施和方向。从交通规划的方 法来看，目前我们普遍采用的交通规划技术是以交通现状调查与规划模型预测 技术为基础。这种方法和技术存在诸多局限：一是没有从资源、能源、环境的角度出发，全面考虑城市交通系统的能源消耗、土地资源 占用以及污染物排放等问题；二是没有将实现城市交通系统社会、经济和环境效益最大化作为规划的 首要任务，因而难以全面考虑影响城市发展 潜力的各种因素，制订出符合可持续发展理念的交通规划。具体从出租车行 业角度出发，我们总结出以下几个方面的规划 措施。1、改善经营环境，规范市场准入，提

50、高服务质量；严格控制出租汽车总量，保持出租车市场供求平衡。具体地说，完善出租车的行 业管理和市场准入、退出机制。由于出租车具有公共服务、占有道路资源等特点，应当坚持总量控制原则。其总量增减由市政府根据市场供求、出租车 与其他公共交通方式的配比、行业收入 和利润等因素，在保障供略大于求的情况下，适时调整出租车总量规模，制定出租车总量调 控办法，科学地建立总量调 控机制，实施总量控制。2、严厉打击 非法营运，净化市场环境；清理行业收费，规范收费项目和标准，保障经营者和从业人员的合法权益；联合各职能部门 建立集 中统一的服务 窗口，提供一站式服务；提请物价部门调整出租车 票价和计价方式；建设一批营业