2021年数学分析试题库计算题解答题答案.pdf

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1、数学分析题库。22章四计算题、解答题求下列极限n2-4(n+2)(n-2)解：1.liin一一Jun一一一一一liin(n+2)=呻，斗，。n-L斗。en；二自.，。1 I 2.li1n(I 一一一一一一一一）.”12 23 n(n+l)、，l一川l-n+a句Jl-2l 十1-2)l l一l-l-n+-，、，、nana-u-u=.e -1.e I 3.liln-=liln-=-=l 应斗。cosx X斗。cosx1 4这是：型，而l一川1xx一一xk一对讪一门ur门vh+2r)y174-J 村LLX一1i吟吟,tx+内:;x-(1x)ln(I+x)故原极限lim(Ix)句.,.o x(I+x)

2、5 n3-I(n-l)n2+n+I)n一一一liin=liin(,-,2+n+I)=3,.1 n-1.1(n-l）叫I I.6 li1n(l寸）”，自。fl/I，户，（HI)=lim(l一）！斗揭n n+I(n+I)因liin一.一=I，斗，。n-2 liin一二一。”.甸n+I 故原极限e1=e.7.用洛必达法则Iii 1-2sinx-2cos x、1n一一一一lun一一一工.,.!:.cos 3x.，之3sin3x3 6 6 I I e-1-x 8.lun（一？一）=lun一一一.o x e-I.,.o x(e -1)a句=-r-e 句，re一-r-e Ei n呻EE-BlJ=-l 1-v

3、-e x-+tEK-e-x n呻-rUF=x-x 一mVA-S MM-x 10 nHX AUJ 解法1:斗X-cd 2 沁如ln呻PH-r=x-x-n x创MM-x 而川的W川-ux JU X 2-c o-H J飞一而-o 俨UM叫.l+cosx=um一一？一.o cos x 句，=解法2Ii tanx-x.sec2 x-1 1n一一一lun 叫x-sinx.o 1-cosx 2sec2 x tanx=111n.o sin x=liin-2.-X斗。cosx 句=10.lirn(sin 2x+cosx).争。sin2x+cosx-1.2cos2x-sinx 解因lirn=lun=2,.,-+0

4、 x K斗。l(3分故I sm 2.，叫惦.t-1原式li111(1sin 2x+cos x-1)2忑言写一一一一e2t-+0 求下列函数导数11.y=ecosx 13.y .sin,12.y=ln(lnx)14.求y=sinx的各阶导数I罪11yecosx-e可sinx12.1 1 1 y 一一一一一h1x X xmx SUX13 y=(e到）=x(cosx h1 x 一一）x)一2万一2句J+XVAi(、BF1nz2阳，创+=xjxx unl唱EE-11世吗paeaF、=-x=俑，oufur e-vd A哇l Y(n)川n%)15 y=esin2x2e cos2x 16 y一一土？一（si

5、nx+.!.)cosx+u1 x x 17 y=esin.tln(cos.)l=(cos x）灿（cosxm(cosx）tanx)18 yl=sin(x+(n+1)(n=I 2,).tan立0 Xl 19.-:-3町sec一ln3 x x 20.求下列函数高阶微分设u(x)=m x，（x)=e，求d3(u11),d3（旦）解由于d 3(uv)2”2,-1 I 一一一u C!uv+C,u v+ue+3-e-+3-e +lnx e d五Bj j x 3 x2 x.2 3 3.=I一一U1 Xie、32 x x x 因此d3(uv)3 x 2 3 3 d3(in）一：，dx=e（寸寸Inx)dx3

6、ax x x x 3 2-1-:-;-(-)=-:-;-(In x-e-)寸t.+3气（e-)+3-e-.,+In x (-e-)ax v ax x x x“2 3 3=e飞寸；lnx)x x x 吃I-x 2 3 3 因此dj(-)=e（；一一Inx)dx3，Y x x 21.y=(arctan x3)2;角平：22.y=x;角平：y=2arctan x3（创tanx 3)6x2,=-,-arctan x l+x 令y1=x,In y1=x In x 两边对两边对x求导有丘In x+I,（门xlnx+x Y,In y=x lnx 两边对X求导有主：(x In x)y=(x)In x+x-(I

7、n x)=(x In x+x)ln x+xx-i y=x(x In x x)In x+x-1)=x=e,k=1,2,.,6,应用莱布尼兹公式（n=6）得y的x3e6 3x2e+15 6xe+20 6e=(xJ18x290 x+I 20)e.(t-sin t),25.试求由摆线方程所拟定函数Y=f(x）二阶导数Ly（I-cost)解f-2 o m一吨。uo-G 巾，一句dx2 I 2 t 一一-2-w-2-I _ 4 t 一一一一(a(t-sin t)a(l-cost)42(cot&)d2y 26.求f(x)=ln(l+x2）到f项带佩亚诺型余项麦克劳公式解由于ln(l+x)=x二三o(x3),

8、2 3 因此f(x)=ln(l+x2）到lx6 J)l带佩JEi若型余项麦克劳;tif;公式为ln(l 沟x2兰王：o（泸）2 3 27.x(-oo,-2)-2(-2,-1(-1,O)。(O,+oo),。+不存在+。)Y=f(x)i羞减，凹极小1直i羞泊，凹递增，四极大1直i羞减，凹-3 1 28.解(1)fun f(x)=fun x sin.!.=0=/(0），故对任意正整数m,f在x=O持续.,.u.,.u x f(x)-f(O)恤x(2)f(O)=Jun一一一一一n一一一丘一fun X Sill-=i xo X-0.,-+0 X x.O X 不存在m.I m I,故当n1 I时，f在正。

9、可导(3）先il算f导函数.iJx0;c O,.I”.I X Sfil-Xo Sm一”1”l”l”l X Slll-XSlll-+Xo Slll-XSill一f(x0)=fun 立一一巳fun x x x x 0 X斗XoX-Xo,.足。X-X0”.1牛，.1 1(x”-x;)sin-+x0(sin-sin一）=fun X X X o .,X-X0，、xx0.x0-x x,.tcos-sm-=fun(Xm-1+Xm-2 Xox；叫）sin2.怡n.,.x,x.T营。2xx0 2xx0 X-Xo.,_,.1”l l”_,.I,._,1=IJIX0 SUI一x0COS一二=lllXo SUI 一x

10、0COS-Xo Xo Xci Xo Xo、1、l1 I o fun f(x)=fun(111x-1 sin-x”-2 cos-)=fun j”-2(rnxsin一cos-)=i时OX xx-+0 XX 不存在”2,n三 2由（2）知，f(O)=0，于是当m2时，有些if(x)=0=f(O），因此当111 2时，f在Ex=O持续29.解由于f(x)=2x,g(x)=3沪，故当x=O时，f（0)=0,g(0)=0，不满足柯西中值;.J:理条件，因此在区间-1,1）上不能用柯西中值定理30.证明(1）对任何x;tO，有f(x)=x4 sin2.！三0=f(O），故x=O是极小值点x(2）当x;tO时

11、，有、，I,.1 I,.I.I 1 f(x)=4x sin-2x s111-cos-=2x sm一（2xs111-cos-)作数列x x x x x x x,=,y,一土7，帆，O.y，自OE!P如0任何右邻域U（O)2n,r+.:.:.2n二2 4 肉，既有数列x内f符号是变化，从而f不满足极值第一充分条件又由于x气i.112.!.-o,.1.1 I 2旷sm-(2xsm-cos一）0f(O)=fu吨一一一0,v x f(O)=lii11 x x x=0，因此几vx 用极值第二充分条件也不能拟定fl波值31.答：能推出f在叫内持续证明如下：i1x0e(a,b），如1nin川川，于是X0E ，

12、b，由题设，f在，b-5上持续，从而在Xo持续由Xo任意性知，f在（，b）内持续32.试求函数y=l2x3-9x2+12xl在（1,3上最值和极值解y=I 2x3-9x2+12xl=I x(2x2-9x+12)I-x(2x2-9川12)-1以Ox(2x2-9x+12),0 x:,;3,在闭区间（1,3上持续，故必存在最大最小值-1:s;xO Ox二3令y0，得稳定点为x=1,2.又因f（0)=-12，兀（0)=12，故y在x=O处不可导列表虫：u下直(-1,0)。(0,I)(I,2)2(2,3 f(x)不存在+。+极小直极大i直极小值f(x)i羞减f(O)=0 递增f(1)=5 递减/(2)=

13、4 i差t曾因此x=O 平Hx=2为极小值点，极小值分别为f(O)=0平日（2)=4,x=I为极大值点，极大值为f(I)=5.又在瑞点刽町、有f(-1)=23,/(3)=9，因此函数在x=O处取最小值。，在x=-1处取最大值23.33.求函数y=x5-5x45x3+I；在1,2上最大最小值解：令Y=f(x)y=5x4-20 x3+l5x2=5x2(x2-4x+3)=5x2(x-l)(x-3)令y0解得函数在），2稳定点为x,=0,Xi=I.而f(-1)=-10,f(O)=1,f(1)=2,f(2)=-7,因此函数在1,2最大值和最小值分别为j（）=2,J二，；n(-)=-10,34.拟定函数y

14、=2川3x2-36x+25凸性区间与拐点解：令Y=f(x)y=6x2-6x-36,y”=l2x-6,归2x-6=0解得x，当XE问：）毗内，从而区阴阳）为函数四区间，当xe（叫时川，从而区间（，向）为函数凸区间l 13 I 13 并且f(-)=0,f(-)一，所觉得（，一）出线拐点2 2 2 2 2 叫马（I+*)(n=l 2,.）卵I，是有时点集轩”In=1.2.司附有界，但在有理数然内无上确界数列，边增有上界，但在有理数集内无极限叫马(I+*)(n=1 2,)911，是有蜘l点集轩”ln=l,2，有界无惧，但在有理数集内无不存在聚点数列a，.满足柯西淮阴I，但在有理数集内不存在极限37.不

15、能从H中选出有限个开区间刷（0）由于H中任意有限个开区间，设其中左端点最小为！一则当O x！一时，这有限个开区闷不fJ吕重盖x.N+2N3 38.29.ft!;在年j无州6f(x2-x+l击）似=6(f-f忖川l)+c=2.ii-3$+6ef,;-6 tn lefi;+39.令x叫40.J dx=J acostd（sint)=a2 J cos2 tdt 刽（！叫）dt二（r七in2t）C（2 arcsi小x）c.31.J xa比tan础卡叫午）午肌tanx才J（川2+l)d创x2+1 llx2 2 一rutanx-I一dx一一肌tanx-x+C.2 J l+x 41.32.f 丢命f（击二7士

16、）仲Lnlx=Ln I川11护仔叫启贝1Jx生.dx=Fi了dt.f启x=f（！ldt=f（击古）d,=In卧2肌tant+C叫：1：口l-2arctan店C.l-t2 43.令t=tan士，YJI有cosx一，dx 一，dt 二I+t lf 一一一一一一I-1-=-arcanl tan-l+C.j你f dt I I d（纠II I x i 5-3cosx J 1+4t2 2)1+(2t)2 2 2 L J 44.fl lln xldx=f-lnxdx+Ji In xdx=-(xi川x)I+(xinx-x)r=21-e-I 45.f e.r,dx主：fe dt2=2f tde=2(re)46.

17、r arcsin xdx 川创1x11-（主.！.r业二1主.JJ-71主Jo 10九.,P2 2人古72 -lo 2 47.l！，nl古叶歹+T,1）！.t.斗7飞2;其中和式是函数、，1+1.:.1 n I f(x）在（0,I上一种积分利，因此J=rl乒盯ctanxi.主I+x J o 1+X 呼48.F(x)=L f（仰f)df=X f n f(t)df-f:tJ(f)dt.于是F(x)=f f(t)dt 扩（x）扩（x)=fn f（以F气功f(x).49.以平而X叫（与）脚问得：w捆寸乌l.因此截瞅b2 I 1二生c2 I l二生l a I lI 函数为功c(l刽xe-a,a.叩球丽体

18、积V 归c(l刮仙1万伽50.化椭圆为参数方程：x cost,y=bsint,te0,21r.于是椭圆所回而积为A=If:b川（cost）dtl叫厅旷tdt=1rab.51.x （1-cost),y=a sin t,0;:;t;:;21r，于是所求摆线弧长为s=J:,F古芮；dt=ft1dt=2日s:,1si巾52.依照旋转翩而例而积公式s=2,.I:f 叫I+f1(x）似可得所Z附转由丽而积为S=2,r f sin古丁dx如.ff.+In(.ff.+I)J.53.由于J；山叫且foA汕叶立立（卡丁=，豆后十于是无穷积分f：xe，似收敛，其值为i一xlv 飞III川zxl-M/It-t A f

19、lfln叩HBEA-x lx一11-X An ptt川刊BEA-、，-x k一inu-A，飞、句，-x 悍ptpEl于由A龟kd 且（ln(l 川于是无穷积分f；主dx收敛，其值为l-ln2.J1 x(lx)55.由于i=.!.I！一！.一从而级数于I 某些n(n+l)(n+2)2l n(n+I)(n+I)(n+2)J去tn(n+l)(n+2)平日；为主k(k+I；伙2)革拮百(k+l如五ii日拉五n）于是该级数收敛，其平叫.-.川、一，、.-.吊m，、56.由于li1n二二旦Jim二与旦.！.，且级数步主收敛，因此棚圳I-cos.!_ 1 i&,.揭土,.岱土2 缸，ff.:i n)2 n

20、2 n 敛.n l J工ln 7.由于li1n 剖，Inn一一一1由根式鉴别法知级数予I一一一收敛”-;,v-,.,2n+l 2f.:i飞2n+l)（小58.由于！巳E丁2，且级数圣；发敝，故原级数不绝对收敛但l刽in*r单调递减，n 且！sini川菜布尼阳l脚级哈（1)sin；条件收敛59.由于却in；去sinkx主（cos(k-1)x-co个1)xJ=当x 仰，2的时，s什1x-cos(n1)x 主剑”阳2sin二1豆H当x e(O2万）时有界，从而由狄利克雷鉴别法知级数二斗旦收敛饲例证级哈咛坐在X E(Q，万）上收敛,sin n x I sin 2 nx I I-cos 2旧lcos2n

21、x J三l又由于一一注一一一一一一一一一一一一一，级数了一发散，n I n n 2 2n 2n;:r 2n 主咛旦收敛，于是级哈（去弩旦）发傲，由比较鉴别法知级哈平发散因此呵半以（归的条伶T（1）气x+n)60.判断函数项级数了.,在区阴阳，I 上一数收敛性敛收x z 数级、有m、飞IIItVA-n+rtgtl、x v x 口u解U对每个xE Q,l，叭，（x)：山I，（x)l=ll主I三e 对VX E(Q,J 飞nJ 平Qlfn成立由Abel鉴别法，立在区间0,I 上一致收敛61.f,(x)=I,咐，I.讨论函数列以，（x）一放收敛性1+n x 解lin1/,(x)=O,x e 0,1.I

22、f,(x)-OI=f,(x)司求得”I I 1应当且，（x)且，（；）三份0,(n）字函数列f,(x）在区间0,1上非一致收敛62.函数列（x)=2ri1x。x三土2n 哼l1 2n-2nx.-x 豆-2n n o,.!.x 豆1.n n=12,在（0,1上与否一致收敛？解由于儿（0)=0，放f(0)=fun/,(0)。当Ox三l时，只要fl.！.，就有,x J;,(x)=0，放在（0,1上有f(x)=fun J;,(x)=0.于是函数列（8）在0,1上极限函数”。f(x)=0，又由于叫，（x)-f(x)I=f,，山noo(n叫，.co.11,e.n 因此函数列（8）在O,I上不一致收敛63.

23、f,(x)=2n2 xe-11在R内与否一致收敛？解显然有几（均0,I兀，(x)句.，,C./i l 且，（立）品儿。（n）由系2,f,.(x）不一致收敛64.函数列2n2x,l一l，nL，、gXII-x斗，就有f,(x)=0.因而，在（0,I上苟f(x)=Jim f,(x)=0.f,，自（0)=0,=f(0)=Jim f,(0)=0.于是，在0,I 上有n00 II。f(x)=fun式，（x)。但由于1mxIf,(x)-f(x）叫I二叫0.(n叫，.reO.tJ l 2n)因而，该函数列在0,I l上不一致收敛1 2,34句65.求寐级数x寸x寸x+-:;-X+收敛域3 3 3 3唔解1 2

24、34，主I-X+-,-X +-.,.x+-:-X+.=x了.，.：，X!II是缺项级数3 3 3 3句：t3”引I a I I I fun：！.今R=J3.收敛区闷头I(-.J3,.J3).x=,J:,时，”岱l”I3 通项千多。医丽，该蒜级数收敛域9(-,J:,J:,).“明积分I=J;e，此，精制lj0.0001.解e-x=I:(-1）”二；二11-0 .XE(-oo，）因而1e-x dx 位同寻）巾言叫上式最后是Leibniz型级数，别的和绝对值不超过余和首项绝对值为使L一！，可取n主7故从第0项到第6项这前7项之初达到规定精度于是(2n+J)n!Im rt.,I I 1 I I I=I

25、 e-x dx坦一一一一一一一一一一一一一一一JO 3 5 2 7 6 9 24 11 120 13 720=1-0.33333+0.10（）（则0.02381+0.00463-0.()()()76+0.00011=0.7468.67.把函数f(x)=ln(5+x）展开成（x-2）幕级数解ln(1x)=x王：王：（-1）王：f_(-I）立，2 3 n t立nxe(-1,1 而Jn(S+x)=In（？川）=In(I子J+tn7 J工叫（x-2）”（1）”一士？一ln7,xe(-5,9;:j I n 68.求朋哈旦川口函数,.;解法ti史敛i续为（oo,+oo），设和函数为S(x），则有fo S(

26、t）叫（主子）dt主；s:(n川豆子d因而言x=S(x)=(f:S(t)dt)川川exe(-oo,+oo).解法二三年x立主斗主：.矿叫山.,_o n.11.0 n.,_,(n-1)!00,=x；e=xe+e=(x+l)e,x e(-oo，吨）;:o Ill 69.展开函数f(x)=(I x)e.解f(x)=e矿L斗L乙：二三午三二叫川.,_o川叫川.11-1(n-1)1=l二号主与l主I2-一x11=1飞，t叮间l_n!(n-1)!(l+n,(l+n=l+L-=i-x=L-=i-x,，I”-0.l x l 。0.70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数f(x)=x,(i)x;rr,(ii

27、)0 x2万解(1)(i）函数f及其周期延拓后悔象所示显然f是按段光滑，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数由于。s:fff(x)dx=巳础0当n二三1时，有。，巳f(x)coI I.-I!xsinnx I飞1sin nxdx ntr”ntr-1t 土cos旧仁0-x I,.11 t，于久一二_f(x)sin nxdx=_:_I _ xsin nulx y,r-c,I 6 I r矿=-xcosnx 1:,+-1 _ cosnxax nn万三，当n为偶数时，2，主111为奇数a-t.因此在区间（tr，的上f(x)=2元J)HI旦旦，;:i n(ii）函数f及其周期延拓后阁象所示显然f是依段光？霄

28、，故由收敛定理知它可以展开成仰望H十级数由于句才f:,xdx=2万当n二主l时I,2,.:.I x cos nxdx tr JO I.,.J,2ir.=-xs111nx 1;.-1 sinnxax ntr”ntr 川。=0 I M n 03 0 俨wz lEA l-M+市HHot-HWM Ir-us so xc enx Ll l-z-n=-=LOP 2 tr 因此在区间（0,2tr）上f(x)=1r注子71.设f(x）是觉得2万周期分段持续函数，又设f(x）是奇函数且满足f(x)=f(1r-x)试求（x)Fr系数h2.=巳f川解自f(x）是奇函数，故f(x)sin2nx是偶函数，再由f(x)=

29、f（x)故有x d x n 44 n-B ca、，x(FJ 、J俨AE，d2一凭=2 LO X AU X n 码，“n-t ea、飞x ，飞,J-L ft拍2一冗=作交换X=I，则h2，；I:J(t)s叫凭t)(-1)=-;J:f(t)s，山di=-bi,.因此，b2.,=0,n=1,2,72.设f(x）觉得2万周期，在区间0,2内，x f(x)=瓦u:;x缸，0,x=2霄，试求f(x)Fourier级数展开式。J脱自Fourier系数ii算公式，I,2x a,=-I一dx=I n Jo 2何l卢Xxsinnx l2n l卢1一cosn.xdx 一一一lsinnxdx=O”Jo 2n 2nn

30、IO 2nn b.工广.：.sin nx d x 11:0 211:xcosnx 1211:1,2 一：一I+-=-I cos FIX d x 2冗nIo 2n Jo n,r 叉f(x）满足F。urier级数收敛Dirichlet条件，故均）1达产x 一I2 2-7t:;x 0,x=O 二.Ox：，；凭2n 73.设-7t:;x:;0 O+475.i式求极限fun 一.！.一一(x.y）仰的xv 解,;2-,:xy 一（.）：叫咿（.，.；.叫砂（2+fry古）=li1n一！(x.y)-.(0.0l 2+.J.xy+4 4 76.试求极限fun 1-c圳2+.(x._v)-t（血的(x2+y2

31、)e 角军由，：I-co咀（xi+y2)（.，.；：；刷刷（xi+y2)eJ 2 2 2.2点ySJ 11-,-2 2 lim h扑仙的=_!_0=0 2 I.I 77.试求极限lin1(x+y)sin-sin-(.t.)-t(O0)X Y j解由于)x+I 一2 2,.,X+I O p 4（一言二）I.I.I I.I.I lim(x+y)sin-s1n一Jim(xs1n-sin一)Sill-Sill-(X.)-t仰的 x y h忡又x=y2 因此I.I.I un XSJll-Slll-=0 li II I i1n I Sill-Sill一0(.t.）仰的x y(.,.y)-.(0.0)-X

32、y 因此I I li1n(x+y)sill-Sill一0(.)-t(O圳xy 78.试讨论fun 空？(.,.yJ-+IO.O)x+y 解当点（x,y）沿直线y=x趋于原点时，；v2 xJ 111n一一一u1n一一一U:,.o x2+v:;.o x2+x-）.，斗。，当点（x,y）沿抛物线线x=y2趋于原点时，l-2-”yJV 4y一-v m4 2-vd 砂2-x m4归由于两者不等，因此极限不存在79.瞅极限n与二(x.川cO.OlIJ+x2+y1 _ 1 解由Lim川H川.）1+x2+y2-1 2 2 x+li1n(.0,B=/,y(-1,-1)=0,C=J,y(-l,-l)=2e-2 A

33、C-B1=2 0 A O 因此（l,-1）是极小值点，极小值为f(-1,-1)=-2e-2.85.论述也函数定义答：设XcR.Ye R，函数F:XYR.对于方程F(x,y)=0，若存在集合IcX 与JcY.也l：得对于任何xel，恒有唯一拟定yJ，使得（x,y）满足方程F(x,y)=O,则称由方程F(x,y)=O拟定了一种定义在I上，值域含于j隐函数。普通可记为Y=f(x)xel,yeJ.且成立恒等式F(x,f(x）三O,xe!.86.论i在隐函数存在唯一性定理内容答：若F(x,y）满足下列条件(j)函数F在觉得几（xo,Yo）内点某一区域DcR2上持续；(ii)F(x0,y0)=0（普通称为

34、初始条件；(iii)在D内存在持续偏导数乓（x,y);(iv)F1(x0,y0）刊，则在点凡莱刽l域U（凡）cD肉，方程F(x,y)=O唯一地拟定了一种工主义在某区间(Xo，Xo）内函数（隐函数）y=！（吟，使得1 J(x0)=y0,xe(x0，Xo）时（x,f(x）U（凡）且F(x,f(x）三0:2。J（）在（Xo，Xo）内持续87.论i在隐函数可微险定理内容答：若F(x,y）满足下列条件(j)函数F在觉得几（xo,Yo）内点某一区域DcR2上持续；(ii)F（句，Yo)=0（普通称为初始条件；(jjj)在D内存在持续偏导数尺，（x,y);(iv)FY(x0,y0）刊，又设在D内还存在持续偏

35、导数F,(x,y），贝。由方程F(x,y)=O所拟定海函数在y=f（均在;lt定义墩（xo，Xo）内有持续导函数，且F.(x,v、f（x）一一F，（耳，y)88.运用也函数阎明反函数存在性及其导数答：设Y=f(x）在Xo某邻域内有持续导函数f（功，且f(xo)=Yo考虑方程F(x,y)=y-f(x)=0.由于F(x0,y0)=0,F,=I,F,(x0,y0)=-f(xo),因此只要f（x0);t0，就能满足隐函数定理所有条件，这时方程F(x,y)=y-f(x)=O能拟定出在Yo莱邻域U(yo）内持续可微隐函数x=g(y），并称它为函数Y=f(x）反函数反函数导数是F,.l l g(y)=-=一

36、一一一一一一-!(x)f(x)89.解显然F(x,y)川y3-3axy及F,FY在平而上任一点都持续由息函数定理隘得，在使得尺，（x,y)=3(y2-ax);tO点（x,y）附近，方程x3+y3-3axy=0部fl挂拟定验函数Y=f(x）；因此，它一阶与二阶导数如下：对方程求关于X导数（其中y是x函数）并以3除之，得x1+y1y-ay-axy=0,或(x2 1y）（y2-ax)y=0.(I)于是町:y且zf一亨E 二、lyhu，在时句，v,.、(2)再对（I）式求导，得：2x：y+(2yya)y+(y2-ax)y”=0,l!P y(y2-ax)=2a.y-2yy2-2x.(3)把（2）式代入（

37、3）式右边，得-23砂2xy(x3+y3-3a砂）2a.y-2yy2-2x-,(y-ax)再运用方程就得到y豆立一(y2-ax)3 90.解：由于F(0,0,0)=0，乓（0,0,0)=-l#0,F,F FY,F，处处持续，依照隐函数定程18.3，征服点（0,0,0）附近能憔一拟定持续可微得强函数z=f(x,y），且可求得它得偏导数如下：z F、x F,z FY 句pF,yz3+2x 1-3xyz2 xz3+3y2 1-3巧12291.解：(I）令F(x,y,z)=x2y2+z2-3xyz，则有F,=2x-3yz,F.=2y-3刀，F,=2z-3xy 由于F（凡）=0,I飞，尺，F，均持续，应

38、FY（凡）=F，（乌）l#O,放在点凡（1,1,l）附近由上述方程能拟定组函数y=y(z,x）和z=z(x,y).(2）当FY#0时，由定理知y f二2x-3yz.FY 2y-3xz 同理，当F,*O时，由定理知于是求得并且有z-F _ 2x-3yz 一一 F,2z-3;y.儿（x,y(z，心，Z)=J;+f2Yx=Y2Z3+2xyz3 Y.,2X)旷（2x-3yz)=y z-2y-3xz f,(x,y,z(x,y)z.=y气3+3xy2z2zx 3xy1z2(2x-3yz)=y z-2z-3砂/,(I,y(l,1),1)=-1,f,l,I,z(l,1)=-2 92.解一方丽，F（凡）=G(p

39、0)=0,llP凡满足初始条件再求出F,G所有一阶偏导数F,=-2卫、Fr=-1,F,=2u、F2v,G.,=-y,GY=-x,G,=-1,G、l容易验算，在点凡处所有六个m可比行列式中只有（F,G)（x，）I品F,F,-4 41 0.-I I G G II P 因而，只有 几难以必定能否作为觉得y,u.自变量稳函数除此之外，在凡近旁任何两个变最都可作为以别的两个变最为自变量隐函数如果咱们想求得x=x仙，吟，y=y仙，v）偏导数，只需对方程组分别关于u，求偏导数，得到l2u-2叫y=0-1-yx,-xy,.=0,(I)-y.=0 3飞，yx.=0.由（I）解出x 2xu.+I 2x+2 yu=

40、-I一”2x2-yJ 2x2-y 由（2）解出x 2xv-l 2x-2y=-I一2x2-yJ2x2-y 93.解设F(x,y,u，）=u 2+v2+x2y2-1,G(x,y,u,v)=u-vy(!)F,G关于u，雅可比行列式是（F,G)（u，）2u.2l=-2(u），I-1 1(2)当Ul时，在满足方程组任何一点（x,y,u，）一种邻域内，由方程组可以唯一拟定u，是x,y可微函数；(2)F,G关于x,u雅可比行列式是（x,u)2x 2日1,=2(x-uy),y（F,G)当xluy时，在满足方程组任何一点（x,y,u，）一种邻域内，由方程组可以唯一拟定X,U是y,v可微函数94.解设F(x,y,

41、z)=x2+y2z2-50,G(x,y,z)=x2+y2-z2 它们在（3,4,5）处偏导数和雅可U；行列式之值为：主6x 主8av F 一10oz G 一6ox 平日o(F,G)一一一160,（y,z)oG牛8y 主10oz（F,G)一一一一一120.o(F,G)O.o(x,y)（z.x)因此曲线在（3,4,5）处切线方程为：x-3 y-4 z-5-160 120 0 RP 法平而方程为-4(x-3)+3(y-4)+O(z-5)=0.RP 4x-3y=0.95.解令F(x,y,z)=e-z；y-3，贝IF,(x,y,z)=y,FY(x,y,z)=x,F,(x,y,z)=e-1,故F,I.,.

42、=I，川，“2，乓IM0=O，因而曲而在点M0(2，阶昂(I,2,0),所求切J平而方程为1 (x-2)+2(y-1)=0,R P x+2y-4=0.法线方程为x-2 _ y-1 1 2 z=0,RP 96.解这个问题实质上就是规定函数f(x,y,z)泸Y2+z2 c空间点衍，y,z）圭ljJj在点（0,0,0）距离函数平方在条件泸)2-z=0及x+y+z-1=0下最大、最小值问题应用拉格朗日乘数法，令时，Z,.?,J.t)=x2+)2+z2（：c2+y2-z)+1i(x+y+z-1).对L求一阶偏导数，并令它们青B等于0，则有求得这方程组解为-,L.,=2x+2xJI=0,L.=2y2y =

43、0,L,=2z=0,L;,=x2+y2-z=0,L11=x+y+z-1=0.斗产7斗币，-1、-x=y一二，z=2+113,(I)(I）就是拉格朗日函数L(x,y,z，）稳定点，且所求条件极值点必在其中获得由于所求问题存在最大值与最小值（由于函数在有界闭时时，z)lx2+y2=z.x+y+z=1上捋续，从而必存在最大值与最小值，故由f（二主手叫所求得两个值9手s,/3，正是该椭圆圭lj原点最长距离与最短距离.97.iQ:j在含参量I正常积分工主义、.Z AU G E X、JV，a,、，V hkX NNU叩Je、配ff个tk两南这ux义h川冉止所武形分口川zhqb 用答(I)b-J F(x)=s

44、;:l f(x,y)dy,x e a,b,(2)通称为定义在a,b上含参最x（正常）积分，或简称含参量积分(1）式意义如下设f(x,Y快走义在矩形区域R，bc,d上二元函数。如取a,b上某定值肘，函数f(x,y）则是定义在c,d上以y为自变量一元函数倘若这时f(x,y）在卡，d可积，贝。其积分值是X在a,b上取值函数，i己它为（功，就有l(x)=Id f(x,y)dy,x e a,b.(2）式意义如下：普通地，设f(x,y）为定义在区域G=(x,y)lc(x)豆y 三d(x),a 三x 三b上二元函数，其中c（坊，d（均为定义在扣，b上持续函数，若对于扣，b上每一固定正值，f(x,y）作为y函

45、数在闭区间c（功，d(x）上可积，贝。其积分且是x呻b上取值函数记作F(x）时，刷刷1:)1 町）dy,xe a,b 98.iQ:j在含参量x正常积分持续性也理内容答设二元函数f(x,y）在区域G=(x,y)lc(x）三y三d(x),a三x三b上持续，其中c（功，d（均为a,b上持续函数，则函数时1:)1 c呐(6)在卡，b上持续99.论述含参量I无穷限反常积分;1:义答设二元函数f（耳，y）定义在无界区域R=(x,y)la 豆x三b.c豆y 伺）上，刷子a,b上每一险定x傻，反常积分f揭J(x，川都LI立敛，则它值是x在卡，b上取值函数，当记这个函数为l(x）时，则有l(x)=f勺（时）dy

46、,x e叫，称(I）式为定义在a,b上含参量x无穷限反常积分，或简称含参量反常积分100.论述含参量正无穷限反常积分一致收敛性E主义答若含参最反常积分l楠J(x，州Y与函数l(x)=J;f（几川、EY1(某一实数1Vc，使得当MN时，对一切x ea,b，均有RP 则称含参最反常积分fc.,f(x,y)dy在，b上一致收敛子l(x），或简扑地说含参量积分r,-f（时）dy在a,b上一致收敛101.论述含参量x无穷限反常积分一致LI史敛柯西收敛准则IJ.答：含锦反常积分r,=f(x,y)dy在a,b上一致收敛充要条件是对任给正数，总存在某一实数Mc，使得当A1,A2 M时，对一切xea,b，均有1

47、 1:f(x,y）命Ic，合参量正常积分N1cx,y)dy对参最X在，b上一致有界，RP存在正数M，对一切Nc及;7J X E a,b，均有1 r:f(x,y)dyl 豆1 1;。i）对每f,ipx吨，叶，函数仰，y）关于y是单调递减且当y时，对参最x,g(x,y）一孜地收敛子。则含参量反常积分f(x，外g（川）在扣，b上一致收敛103.论述含参量反常积分一致LI立敛阿贝尔鉴别法答：设(i)f勺（x,y)dy在a,b上一致收敛：。i）对每一种XEa,b，函数g(x,y）为y单调函数，且对参最x,g(x,y）在a,b上一数有界，则含参量反常积分f(x,y)g(x,y）命在卡，b上一致收敛。104

48、.论述含参量反常叙分可积性定E里内容答设f(x,y）在，b）上持续，若（x)f（盯贝1JI(x）在扣，b上可积，且r:dxj：勺（x,y)dy=f帽dyf:f(x,y)dx.设f(x,y）在，何）c，何）上持续若。）f.了f（川）出关于y在任何闭区间c,d上一致收敛，f-f(x,y)c 关于x在任何区间卡，b上一数收敛：(ii）积分叫幅II时）呐1-dy f.了If(x,y)ldx 中有一种收敛，贝。（18）中另一种积分也收敛，且r:dxf-f(x，川(18)川解由于rxYdy二三：，因此I=(.dxr xdy.由于函数x在R归，lxa,b上 In x.Jn 满足定理19.6条件，因此互换权分

49、顺序得到106.解由于因此该积分是正常积分互换积分顺序，得I=s：州州r.击今In.r E飞xb-xa hm sin I In.:.I一一一0.,-,o专lx J In x r E飞 xb-xalim sin I In.:.1一一一0H旷lx J In x I 个n（叫x巾n（咐在上两内层权分中作交换ln工u，有x L sin(ln护川叫户币1)2 于是I=s:s x sin(l忡y=J:Jy=arctan川解法二取b,J参盏，运用积分号下求导数办法，有积分上式，可得J(b)=arctan(b+l)+c 由于（的0，即有c=-arctan（l），于是有I（的肌tan(b+1)-arctan（1

50、)107.解由于sin加si.nax=J:cos忡，因此I=J;e阳山缸：sinax似 1.，.产（J:co叫y)dx=J；叫：e-pxco叫dy(21)由于le阳刚砂三产及反常织分Io产dxti立敛，依照魏尔斯特拉斯M鉴别法，含参最反常积分J;e飞osxy,在卡，b上一致收敛由于e-pxcos巧在o，如），b上持续，依照定理19.11互换积分（21)Jiliil序，积分I值不变于是I=j：叮产cos.,I,）础rdyb=arctan一arctan一p p 在上述证明中，令b=O，现I有F(p)=f.-e-p.，旦旦dx=arcta（p 0).(22)“X p 由阿贝耳鉴另1法可得上述含参量反