中央电大经济数学基础应用题和计算题小抄.pdf

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1、1 五、应用题（本题20 分）1设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625.0100)(2（万元）,求：（1）当10q时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q为多少时，平均成本最小？解：（1）总成本qqqC625.0100)(2，平均成本625.0100)(qqqC，边际成本65.0)(qqC所以，1851061025.0100)10(2C（万元），5.1861025.010100)10(C（万元）116105.0)10(C（万元）（2）令025.0100)(2qqC，得20q（20q舍去）因为20q是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20q时，平均成本最小.

2、2.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201.0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp01.014（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解：成本为：201.0420)(qqqC收益为：201.014)(qqqpqR利润为：2002.010)()()(2qqqCqRqLqqL04.010)(，令004.010)(qqL得，250q是惟一驻点，利润存在最大 值，所 以 当 产 量 为250个 单 位 时 可 使 利 润 达 到 最 大，且 最 大 利 润 为12302025002.025010)250(2L（元）。2 3投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为4

3、02)(qqC(万元/百台)试求产量由 4 百台增至6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：成本函数为：36)402()(0qdxxqC当产量由 4 百台增至6 百台时，总成本的增量为6464264|40|)402(xxdxxC100（万元）364036)402()(20qqdxxqCqqqqC3640)(2361)(qqC，令0361)(2qqC得，6,6 qq（负值舍去）。6q是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当6x（百台）时可使平均成本达到最低.3、投产某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为602)(qqC（万元/百台）。试求产量由4 百台增至6 百台时总成

4、本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低。解：成本函数为：36)602()(0qdxxqC当产量由 4 百台增至6 百台时，总成本的增量为6464264|60|)602(xxdxxC140（万元）366036)602()(20qqdxxqCqqqqC3660)(2361)(qqC，令0361)(2qqC得，6,6 qq（负值舍去）。6q是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当6x（百台）时可使平均成本达到最低。3 4已知某产品的边际成本)(qC=2（元/件），固定成本为0，边际收益qqR02.012)(，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解

5、：边际利润为：qqCqRqL02.010)()()(令0)(qL得，500q。500q是惟一驻点，最大利润存在，所以当产量为500 件时，利润最大。5505002550500550500|01.0|10)02.010(xxdxxL-25（元）即利润将减少25 元。5 已知某产品的边际成本为34)(qqC(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为qqqCd)34()(=cqq322当q=0 时，C(0)=18，得c=18，即C(q)=18322qq又平均成本函数为qqqqCqA1832)()(令0182)(2qqA，解得q=3(百台)该问题确实

6、存在使平均成本最低的产量.所以当 x=3 时，平均成本最低.最底平均成本为9318332)3(A(万元/百台)6、已 知 生 产 某 产 品 的 边 际 成 本 为qqC4)(万 元/百 台)，收 入 函 数 为22110)(qqqR（万元），求使利润达到最大时的产量，如果在最大利润的产量的基础上再增加生产200台，利润将会发生怎样的变化？解：边际利润为：qqqqCqRqL26410)()()(令0)(qL得，3q3q是惟一驻点，而最大利润存在，所以当产量为3 百台时，利润最大。当产量由3 百台增加到5 百台时，利润改变量为5325353|6)26(xxdxxL)35()35(62241612

7、（万元）即利润将减少4 万元。4 7.设生产某产品的总成本函数为xxC5)(万元)，其中x为产量，单位：百吨 销售x百吨时的边际收入为xxR211)(（万元/百吨），求：利润最大时的产量；在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？.解：因为边际成本为1)(xC，边际利润xxCxRxL210)()()(令0)(xL，得5x可以验证5x为利润函数)(xL的最大值点.因此，当产量为5百吨时利润最大.当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为65265)10(d)210(xxxxL1（万元）即利润将减少1 万元.8.设生产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC6100)(2（万元）

8、,求：当10 x时的总成本和平均成本；当产量x为多少时，平均成本最小？.解：因为总成本、平均成本和边际成本分别为：xxxC6100)(26100)(xxxC，所以，260106101100)10(2C26610110100)10(C，1100)(2xxC令0)(xC，得10 x（10 x舍去），可以验证10 x是)(xC的最小值点，所以当10 x时，平均成本最小5 线性代数计算题1、设矩阵121511311A，求1)(AI。解：因为021501310121511311100010001AI110001010520310501100010001021501310IAI11233556101000

9、10001112001010100310501所以，1123355610)(1AI。6 2、设矩阵A=843722310，I 是 3 阶单位矩阵，求1)(AI。解：因为943732311AI，(I-AI)=103012001010110311100010001943732311111103231100010001111012013100110201所以1)(AI=111103231。3设矩阵A=021201，B=142136，计算(AB)-1解：因为AB=021201142136=1412(ABI)=1210011210140112121021210112101102所以(AB)-1=1221

10、217 4、设矩阵012411210A，101B，求BA1解：求逆矩阵的过程见复习指导P77 的 4，此处从略。211231241121A；所以，131101211231241121BA。5 设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA。解：1325100113251001130110211001532113251A1101132532211BAX6.设矩阵112,322121011BA，求BA1.解：利用初等行变换得102340011110001011100322010121001011146100135010001011146100011110001011146100135010134

11、001即1461351341A由矩阵乘法得7641121461351341BA。8 1求线性方程组1261423623352321321321xxxxxxxxx的一般解解：因为增广矩阵18181809990362112614236213352A000011101401所以一般解为1143231xxxx（其中3x是自由未知量）2求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解解：因为系数矩阵111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x，4x是自由未知量）3、当取何值时，齐次线性方程组0

12、83035203321321321xxxxxxxxx有非 0 解？并求一般解。解：因为系数矩阵31011013183352131A400110401所以当=4时，该线性方程组有无穷多解，且一般解为：32314xxxx（其中3x是自由未知量）。9 4、问当取何值时，线性方程组1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx有解，在有解的情况下求方程组的一般解。解：方程组的增广矩阵19102220105111021211114796371221211A100001051110212111000010511102121110000105111084901所以当1时，方程组有解；一

13、般解为：43243151110498xxxxxx（其中43,xx是自由未知量）55114724212432143214321xxxxxxxxxxxx解：3735037350241215114712412111112A000005357531054565101000003735024121所以，方程组的一般解为：535753545651432431xxxxxx（其中43,xx是自由未知量）10 6求线性方程组262124204831234321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形13211384102142112612132110122305

14、8030580313211012230021012000001001516010890015600000此时齐次方程组化为65981615434241xxxxxx得方程组的一般解为43424156891516xxxxxx其中4x是自由未知量7.当为何值时，线性方程组43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。解：141826203913103913102451110957332231131224511A000008000039131015801000008000039131024511所以，当8时，有解。一般为：11 391

15、3158432431xxxxxx（其中43,xx是自由未知量）12 v 微分计算题试卷1设xyx5sincose，求yd解：因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin2计算积分e1dlnxxx解：e12e12e1)d(ln21ln2dlnxxxxxxx414ed212e2e12xx3设xxyxcose，求yd解：212cos23cos23)sin(e)()(cosexxxxyxxxxxyxd)esin23(d2cos214 计算积分xxxd1sin2解：cxxxxxx1cos)1(d1sind

16、1sin25.设xyxtanesin，求yd.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)tane(ddsinxyx)(tand)e(dsinxxxxxxdcos1)(sinde2sinxxxxxdcos1dcose2sinxxxx)dcos1cose(2sin13 6.计算xxxde 10 分解：由不定积分的凑微分法得)(de2dexxxxxcxe27.已知2sin2xx，求y.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)(sin2sin)2()sin2(222xxxyxxx)(c o s2si n2ln2222xxxxx22cos22sin2ln2xxxxx8计算xxxdcos220.解：由定积分

17、的分部积分法得xxxxxxxd2sinsin2dcos220202014 作业（1）xxxye，求y解：xxxxxxxxxxxye)1(21)e(e)(21)e()(（2）bxyaxsine，求yd解：)(cose)(esin)(sine)e(sinbxbxaxbxbxbxyaxaxaxaxbxbbxaaxaxcosesinedxbxbbxdxadxydyax)cossin(e（3）xxyx1e，求yd解：xxxdxydyxd)e123(12xxxxxxxxy12211231e12323)1(e)()e(（4）2ecosxxy，求yd解：xxxxxxxyxxx2sine2)(e)(sin)e(

18、)(cos2222xxxxdxydyxd)2sine2(2（5）)1ln(2xxy，求y解：222222112211)1(11)1(xxxxxxxxxxxy2222111)1(1xxxxxx（6）xxxd22解：Cxxdxxdx232221222)2(31)2()2(21)(221原式15（7）xxxdsin解：Cxxdxcos2)(sin2原式（8）xxxd2sin解：dxxxxxxdxdxx2cos22cos2)2(cos2)2(2sin2原式Cxxxxdxxx2sin42cos2)2(2cos42cos2（9）xx1)dln(解：方法1)1ln()1()1ln()1()1()1ln(xd

19、xxxxdx原式Cxxxdxxx)1ln()1()1ln()1(（10）xxxde2121解：ee|)1(212111xxexde原式（11）xxxdln113e1解：2)1ln1ln1(2|ln12)1(lnln1131e133exxdxe原式（12）xxxd2cos20解：202020202sin21|2sin21)2(sin21)2(2cos21xdxxxxxdxxdx原式21|2cos4120 x（13）xxxdlne1解：)1e(41|412121|ln21)(ln21212211212eeeexexdxxxxxd原式16（14）xxxd)e1(40解：4040404040|4)(4

20、dxexexdxedxxedxxxxx原式)e1(5144|44444404eeeex复习指导1、设xxxxy2cossin3，求y。解：)2(cos)(sin)(323xxxy)2(2sin)(sinsin323221xxxxxxxxxx2sin2ln2cossin3232212、设xyxsin2，求y。解：)(sin2sin)2(xxyxx)(cos2sin2ln2xxxxxxxxxx21cos2sin2ln23、设xxexy2cos，求y。解：)()(cos2xxexy)()(sin22xxxeexx)(sin22xxxeexx4、设2sinlnxy，求y。解：)(sinsin1)sin

21、(ln222xxxy2222cot2)(cossin1xxxxx17 5、设223sinxexy，求dy。解：)()(sin223xexy2222)2()(sinsin3xexxx2224cossin3xxexxdxxexxdyx)4cossin3(2226、设2sinxexy，求dy。解：)()(sin2xexy2)()(cos2xexxx222cosxxexxdxxexxdyx)22cos(27、设xxexycos，求dy。解：)()(cosxxexy)()(sinxxxeexxxexxx)1(2sindxexdxxxdyx)1(2sin8、5ln02)1(dxeexx解：原式=5ln02

22、5ln02)1()1()1(xxxxededee)1()1(31|)1(313035ln5ln03eeex3208)26(313318 9、edxxx1ln11解：原式=eexdxxdx11)ln1(ln11lnln11exdx121)ln1()ln1()1ln1()ln1(2|)ln1(22121121exe)12(210、dxxxe12ln解：原式=eeexdxxxdxx131331ln31|ln31ln31eedxxedxxxe12313331313131=9192|91313133exee11、dxxx202sin解：原式=2020202cos21|2cos212cos21xdxxxxxd)0sin(sin414|2sin41420 x412、dxxx20cos解：原式=202020sin|sinsinxdxxxxxd12|cos220 x