导数的计算.pdf

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1、第二讲导数的计算教学目的：熟练掌握初等函数导数的计算方法重点：导数的计算公式和运算法则难点：复合函数和隐函数的导数在一般情况下，直接利用定义求导数是极为复杂的为能方便地求得一般函数的导数，需要建立求导的基本法则和公式，借助它们能较容易地解决初等函数的导数计算问题1导数的四则运算定理 1 若函数)(xuu，)(xvv都在点 x 处可导，则有()()()()(xvxuxvxu；()()()()()()(xvxuxvxuxvxu；()()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu，0)(xv特别，当()u xc(c为常数)时，有()()()cv xcv x；()()()(2xvxvcxvc

2、证明 ()设)()()(xvxuxf，则由导数定义可得xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxvxuxxvxxux)()()()(lim0)()()()(lim0 xxvxxvxxuxxuxxxvxxvxxuxxuxx)()(lim)()(lim00)()(xvxu即)()()()(xvxuxvxu 同理可推得)()()()(xvxuxvxu也就是说，两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)()设)()()(xvxuxf，因为)(xv存在，从而)(xv在点 x 处连续，有)()(lim0 xvxxvx则由导数定义可得0()()()limxf xxf xfxxxxvxuxx

3、vxxux)()()()(lim0 xxvxuxxvxuxxvxuxxvxxux)()()()()()()()(lim0)()()(lim)()()(lim00 xxvxxvxuxxvxxuxxuxxxvxuxxvxuxxx000lim)()(limlim)()()()(xvxuxvxu也就是说，两个可导函数乘积的导数等于一个因子的导数乘以另一个因子，再加上这个因子乘以另一个因子的导数注意两个可导函数乘积的导数不等于这两个函数导数的乘积，即vuuv)()设)(xf)()(xvxu，与()类似利用)(xv的连续性，由导数定义得xxvxuxxvxxuxfx)()()()(lim)(0 xxvxxv

4、xxvxuxvxxux)()()()()()(lim0)()()()()()()()()()(lim0 xvxxvxxvxuxxvxuxxvxuxvxxux)(lim)()()(lim)()()(lim)(000 xxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxx)()()()()(2xvxvxuxvxu也就是说，两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方推论利用数学归纳法可将以上法则推广到有限个可导函数的和(差、积)的情形：()nnuuuuuu2121)()nnnnuuuuuuuuuuuu21212121)(例 1 设42234sin2,.xxxy

5、yx求解2234sin2.yxxx223()4(sin)2()yxxx364cos4.xxx例 2 求函数)23)(21(23xxxy的导数解)23)(21()23()21(2323xxxxxxy)2()3)(21()23()2()1(2323xxxxxx)2233)(21()23(2223xxxxxxxx432423例 3 求函数xxxylnsin的导数解)lnsin(xxxy)(lnsinln)(sinlnsinxxxxxxxxxxxxxxxxx1sinlncoslnsinxxxxxsinln)cos(sin例 4 求函数xytan的导数解2)(cos)(cossincos)(sincos

6、sin)(tanxxxxxxxxyxxxxx22222seccos1cossincos同理可得xx2csc)(cot例 5 求函数xysec的导数解xxycos1)(secxxxxxxtanseccossincos)(cos22同理可得xxxcotcsc)(csc例 6 求函数xxxxxxysincoscossin的导数解xxxxxxysincoscossin2)sin(cos)sin)(coscos(sin)sin(cos)cos(sinxxxxxxxxxxxxxxx2)sin(coscos)cos(sin)sin(cossinxxxxxxxxxxxxx22)sin(cosxxxx2 复合函

7、数的导数现在我们来讨论复合函数的求导问题定 理 2 设 函数)(ufy及)(xu可 以 复 合成 函 数)(xfy，若)(xu在 点 x 可 导，且)(ufy在 相 应 的 点)(xu可 导，则 复 合 函数)(xfy在点 x 处可导，且)()(xufdxdy，(1)或dxdududydxdy，(2)或xuxuyy (3)证设自变量x有改变量x时，u取得改变量u，进而y取得相应的改变量y 由于)(ufy在点 u 处可导，则uydudyu0lim，根据极限与无穷小的关系，有dudyuy，其中为无穷小(当0u时)又)(xu在点 x处可导，从 而)(xu在 点 x 处 必 连 续，所 以 当0 x时

8、0u，故00limlim0 xu 从而uududyy，于是xuxududyxy，则xuxududyxydxdyxx00limlim0limudxdudxdududy)()(xufdxdududy也就是说，复合函数的求导法则为：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数此 法 则 可 推 广 到 有 限 次 复 合 的 情 形 例 如，若 有 可 导 函 数)(),(vuufy,)(xv，则复合函数xfy对 x的导数是dxdvdvdududydxdy (4)公式(2)、(4)称为复合函数求导的链式法则在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以下

9、几点：(1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数；(2)复合函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量利用复合函数的求导法则求导的步骤如下：(1)从外到里分层次，即把复合函数分成几个简单的函数；(2)从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来；(3)利用链式求导法则，从左到右作连乘例 7tan 12,.yxy求解函数tan 1 2yx 可分解为tan,12.yu ux则2tansec,(12)2.xudyduuuxdudx由复合函数求导法则有22sec(2)2sec(12).dydyduuxdxdudx以上求解过程可以简记为：).21(sec2)21()21(sec

10、22xxxy例 8 求函数100032yxx的导数解将函数分解为10003,2.yuuxx则999231000,2.dyduududxx由复合函数求导法则有999999223331000(2)1000(2)(2).dydyduuxdxdudxxxx以上求解过程可以简记为：999999233331000(2)(2)1000(2)(2).yxxxxxxx例 9 求函数221ln1xyx的导数解这是一个复合函数，若直接用公式(2)或(4)求导，运算较繁琐将函数变形为21ln(21)ln(1),2yxx则由复合函数求导法则有211ln(21)ln(1)22yxx=)1(1121)12(1212122x

11、xxx21.211xxx对复合函数的求导法则，运用熟练以后，计算时就不必将中间变量写出来例 10已知2tanlnxy，求dxdy解2tan2tan12tanlnxxxdxdy212sec2cot22sec2cot22xxxxxxxcscsin1有时往往需要同时运用函数的和差积商的求导法则以及复合函数的求导法则例 11求函数xxy3sin12的导数解xxxxy3sin13sin122xxxxxx33cos13sin11212222133cos13sin21212221xxxxxxxxxx3cos1313sin22例 12求函数21lnxxy的导数解2221111lnxxxxxxy221111xx

12、x222112111121xxxxxxxx21211112122221111xxxx211x例 13证明：1)(xx(为任意常数)证由对数性质有xexln，故)ln()()()(lnlnlnxeeexxxx11xxx3隐函数和反函数求导函数的表示方式有多种，其中主要是用解析式子)(xfy来表示，但也有一些函数无法用以上形式表示，例如：0lnarctan22yxxy；yxysin21等，这样的函数称为隐函数，)(xfy相应地称为显函数一般地，如果在方程0),(yxF中，当 x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那末就说方程0),(yxF在该区间内确定了一个隐函数 有的隐

13、函数能较容易地化成显函数，而有的隐函数化成显函数时比较困难，甚至是不可能的 但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来下面通过具体例子来说明这种方法例 14求由方程yexy所确定的隐函数y的导数dxdy解设此方程确定的函数为()yf x，即)()(xxfexf两端对 x求导，由于函数恒相等，则导数也相等，故有).()()()(xf xxfxfexf所以()()().fxf xfxex即.yyyex为书写方便，上述求导过程只要记住y 为 x的函数，直接求导，而不需反复代换例 15设ln1xyey，求dxdy解显

14、然y是 x 的函数，则ln y为 x的复合函数方程两端同时对 x求导，得,0)(ln)(xxxyeyey10 xxy eyeyy，故2.1xxy eyye可见隐函数的求导法则如下：(1)等式(或方程)两端同时对 x求导数，遇到函数y的时候，把它看作 x的函数，遇到y的函数时，把它看作x的复合函数，其中y为中间变量(2)所得关于dxdy的方程中，解出dxdy，即为所求例 16求椭圆191622yx在点)323,2(处的切线方程解由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：2xyk下面求y 在椭圆方程的两边分别对x求导，有0928yyx，解之得yxy169当323,2 yx时，代入上式得：432xy 于

15、是所求的切线方程为)2(43323xy，即03843yx例 17设tan,.xyy求解两边对 x求导，得.sec12yy故2211.sec1yyx由例 17 的结果显然有21(arctan).1xx (5)类似可得：211)(arccotxx.(6)21(arcsin).1xx (7)21(arccos).1xx (8)例 18 设()xy是直接函数，()yf x是它的反函数，如果()y存在且不等于零，证明:反函数()yf x可导，且有1.()yy (9)公式(9)称为反函数求导公式证在方程()xy两边对 x求导，得.)(1yy由于0)(y,故公式(9)成立 习惯上将(9)式记为：1.dydx

16、dxdy)9(4 对数求导法对某些函数，利用先取对数再求导数的方法(称为对数求导法)求导比较简单例 19求函数xxy的导数解这函数既不是幂函数也不是指数函数，称为幂指函数 不能直接利用幂函数或指数函数的求导公式为求其导数，需先改变函数的结构将xxy两边取自然对数，得xxxyxlnlnln，两边对 x求导，得1ln1ln1xxxxyyx，于是有)1(ln)1(lnxxxyyxx例 20求函数)4()4)(3()2)(1(xxxxxy的导数解直接利用复合函数求导法则求这个函数的导数很麻烦，我们用对数求导法来求等式两端同时取自然对数，得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy，上式

17、两边对 x求导得：41312111211xxxxyyx，于是413121112xxxxyyx41312111)4)(3()2)(1(21xxxxxxxx注幂指函数)()(xvxuy和经过多次乘(除)的函数，一般用对数求导法比较简便5由参数方程所确定的函数的求导一般地，若参数方程)()(tytx (t 为参数)，(10)确定y与 x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数在实际问题中，需要计算由参数方程(10)所确定的函数的导数，但从(10)中消去 t 有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数下面就来讨论由参数方程(10)所确定的函数的求

18、导方法若)(),(tytx都可导，且0)(t，)(tx具有单调连续的反函数)(1xt，则由参数方程所确定的函数可看作是由函数)(ty与)(1xt复合而成的函数，根据复合函数及反函数的求导法则，得ttttdtdxdtdydxdtdtdydxdy11，即ttdxdy，(11)这就是由参数方程(10)所确定的函数的求导公式例 21求由参数方程(sin)(1 cos)xa ttyat所确定的函数的导数dxdy解1cossincot.1cos2sinttatydyttdxxta tt例 22求曲线22213,13tatytatx在2t处的切线方程和法线方程解因为22222222)1()1(3161313

19、ttatattatatxt，而由已知可知txttaty213，则222222)1(613)1()1(3)(tattattttaxtxtxyttt所以2212)1(36tttaatxydxdytt再由导数的几何意义得3412222ttttdxdyk切，134kk法切又因为当2t时，ayax512,56；所以在2t处的切线方程为)56(34512axay即01234ayx；在2t处的法线方程为)56(43512axay即0643ayx6 基本公式为了便于记忆和使用，我们将基本求导公式列于下面1、0c (c为常数)2、1)(xx (为任意实数)3、aaaxxln)(4、xxee)(5、axexxaa

20、ln1log1)(log 6、xx1)(ln7、xxcos)(sin 8、xxsin)(cos9、xxx22cos1sec)(tan 10、xxx22sin1csc)(cot11、21(arcsin)(11)1xxx12、21(arccos)(11)1xxx13、21(arctan)()1xxx14、21(cot)()1arcxxx15、xxxtansec)(sec 16、xxxcotcsc)(csc为了使读者进一步掌握本节内容，下面再举两个例子例 23 求函数xxyxsin)1(的导数解将原函数写成以下形式：xxxy)1(sin，此等式两端取自然对数，得)1ln()1ln()sinln(xxxxyx，上式两端同时对 x求导得xxxxyxyx1)1ln()cos(sin1，解之得1)1ln()1(cosxxxxxyxx例 24求函数xexy)(ln的导数解等式两端取自然对数得)ln(lnlnxeyx，上式两端同时对 x取导得xxexeyyxxx1ln1)ln(ln1，解之得)ln1ln(ln)(lnxxxxeyxexx小结：本节主要介绍初等函数的求导方法，读者主要要掌握导数计算公式和运算法则，其次注意：一般在求导运算开始前应检查是否可以先化简或变形，许多函数在变形后容易求导；幂指函数要用对数求导法求导前往本节习题