关于初三数学圆的经典讲义.pdf

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1、.-优选圆目 录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆接四边形会用切线,能证切线切线长定理三角形的切圆了解弦切角与圆幂定理选学圆与圆的位置关系圆的有关计算一圆的定义及相关概念【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点 2：确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的局部叫做弧。弧分

2、为半圆，优弧、劣弧三种。请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高.-优选固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如以下图：考点 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。考点 5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么点与圆的位置关系有三种。点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆dr；【典型例题】例 1 在ABC中，ACB=90,AC=2,

3、BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。例 2，如图，CD 是直径，84EOD，AE 交 O 于 B，且 AB=OC，求 A 的度数。M A B CD E B A.-优选例 3 O平面一点P和O上一点的距离最小为3cm，最大为 8cm，那么这圆的半径是_cm。例 4 在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，那么 AB 和 CD 的距离是多少？例 5 如图,O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm,30CEA，求 CD 的长例 6.：O 的半径 0A=1，弦 A

4、B、AC 的长分别为3,2，求BAC的度数二垂径定理及其推论【考点速览】考点 1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论 1：平分弦不是直径的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤A B D C O E.-优选推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1中的三条可概括为：经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例 1 如图 AB、CD 是 O 的弦，M、N 分别是 AB、C

5、D 的中点，且CNMAMN求证：AB=CD例 2，不过圆心的直线l交 O 于 C、D 两点，AB 是 O 的直径，AEl于 E，BFl于F。求证：CE=DF l?问题一图1 OHFEDCBAl?问题一图2 OHFEDCBAl?问题一图3 OHFEDCBA【考点速练】1.O 的半径为2cm，弦 AB 长cm32，那么这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为.A1cm B.2cm C.cm2D cm3A B D C O N M.-优选A B D C O 800 3 如图 1，O 的半径为6cm，AB、CD 为两弦，且 ABCD，垂足为点E，假设 CE=3cm，DE=7cm，那么 AB 的长为A10c

6、m B.8cm C.cm24D.cm284.有以下判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有A0 个B.1 个C.2个D.3 个5如图 2，同心圆中，大圆的弦交AB 于 C、D 假设 AB=4，CD=2，圆心 O 到 AB 的距离等于 1，那么两个同心圆的半径之比为A3:2 B.5:2 C.5:2D.5:4 6.如图,O的直径为10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上的一个动点,那么 OP 长的取值围是.7.如图,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高 CD=4cm,那么拱形的半径是_m.8.如图，直径为1000mm 的圆柱形

7、水管有积水阴影局部，水面的宽度AB为 800mm，求水的最大深度CD三圆周角与圆心角【考点速览】考点 1 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg:判别以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由。BPAODCBA.-优选圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg:判断以下图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点 2 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg:如下三图，请证明。考点 3 4.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径如果

8、三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.-优选经典例题例 1：以下图中是圆周角的有.是圆心角的有。例 2：如图，A 是 O 的圆周角，且A35,那么 OBC=_.例 3：如图，圆心角AOB=100，那么 ACB=例：如图，AB是 O 的直径，点CDE，都在 O 上，假设CDE，那么ABo例 如图 2，O 的直径CD过弦EF的中点G，40EOD，那么DCFBOCAO A B C 例ABCDEOE F C D G O 例.-优选例 6：如图，AD?是 O?的直径，ABC=?30?，那么 CAD=_ 例 7：O 中，30C，2cmAB，那么 O 的半径为cm四圆心角、弧、弦、弦

9、心距关系定理【考点速览】圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等._._ D_ C_ B_ A_ OBOCA.-优选务必注意前提为：在同圆或等圆中例 1如下图，点 O 是 EPF 的平分线上一点，以 O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、B 和 C、D，求证：AB=CD 例2、：如图，EF为 O的直径，过 EF上一点 P作弦 AB、CD，且 APF=CPF。求证：PA=PC。例 3如下图，在ABC中，A=7

10、2，O 截ABC的三条边长所得的三条弦等长，求 BOC.A B E F OPC12DO A B C.-优选例 4如图，O 的弦 CB、ED 的延长线交于点A，且 BC=DE 求证：AC=AE 例 5如下图，在O 中，弦 AB=CB，ABC=120，OD AB 于 D，OEBC 于 E求证：ODE是等边三角形五圆接四边形【考点速览】圆接四边形对角互补，外角等于对角。圆接梯形为等腰梯形，圆接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例 1 1圆接四边形ABCD 中，A:B:C=2:3:4，求 D 的度数2圆接四边形ABCD 中，如下图，AB、BC、CD、AD 的度数

11、之比为1:2:3:4,求 A、B、C、D 的度数例2 四边形ABCD接于 O，点P 在CD的延长线上，且AP BD 求证：ADABBCPDOC A E B D O A D E B C A D C B O P A B C D O.-优选例 3 如下图，ABC是等边三角形，D 是 BC 上任一点求证：DB+DC=DA六会用切线，能证切线考点速览：考点 1 直线与圆的位置关系图形公共点个数d 与 r 的关系直线与圆的位置关系0 d r 相离1 d=r 相切A B C D O.-优选OPBAC2 d r相交考点 2 切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于 A，OA

12、 为半径 l 为 O 的切线考点 3 判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径考点 4 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直经典例题：例 1.如图，ABC 接于 O，AB 是 O 的直径，CAD ABC，判断直线 AD 与 O 的位置关系，并说明理由。例 2.如图

13、,OA=OB=13cm，AB=24cm，O 的半径为5cm，AB 与 O 相切吗？为什么 CADBOOABlAO.-优选例 3.如图,PA、PB 是 O 的切线，切点为A、B，C 是 O 上一点，假设P40。，求 C 的度数。例 4如下图，ABCRt中，90C，以 AC 为直径作 O 交 AB 于 D，E 为 BC 中点。求证：DE 是 O 的切线中考1.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC 与大圆相交于点 D，且 CO 平分 ACB.试判断 BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。2.如图，在RtABC 中，C=90。

14、，点 O 在 AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC、AB 分别交于点D、E，且 CBD=A，判断 BD 与 O 的位置关系，并证明你的结论。七切线长定理考点速览：考点 1 切线长概念：DOCABEOBCADA B C E O D.-优选经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一点到切点之间的距离，可以度量考点 2 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O 于 A、B 两点，PA=

15、PB PO 平分APB考点 3 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例 1 PA、PB、DE 分别切 O 于 A、B、C 三点，假设PO=13，PED 的周长为24，求：O 的半径；假设40APB，EOD的度数例2 如 图，O 分 别 切ABC的 三 边AB、BC、CA于 点D、E、F，假 设,BCa ACb ABc1求 AD、BE、CF 的长；2当90C，求切圆半径rAOCDBPA E P D B C O F D A D A.-优选例 3如图，一圆切四边形ABCD，且 AB=16，CD=10，那么四边形的周长为？考点速练1：1如图，O 是ABC的切圆

16、，D、E、F 为切点，:4:3:2ABC，那么DEFFEC2直角三角形的两条直角边为5、12，那么此直角三角形的外接圆半径为，切圆半径为3如图，直线AB、BC、CD 分别与 O 相切于点E、F、G，且 ABCD，假设 OB=6，OC=8，那么BOC，O的半径=，BE+CG=八三角形切圆A O C DBE F A O C DBE F G.-优选考点速览考点 1 概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆，切圆的圆心叫做三角形的心，这个三角形叫做 圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形考点 2 三角形外接圆与切圆比拟：名称确定方法图形性质外心

17、三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1OA=OB=OC；2外心不一定在三角形的部心三角形切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1到三边的距离相等；2OA、OB、OC 分别平分 BAC、ABC、ACB；3心在三角形部考点 3 求三角形的切圆的半径1、直角三角形ABC 切圆 O 的半径为2cbar.2、一般三角形三边，求 ABC 切圆 O 的半径 r.cbaSr2海伦公式S)cs)(bs)(as(s，其中 s=2cba)ABCOEDbcaABCOEFD.-优选经典例题：例 1阅读材料：如图1，ABC 的周长为L，切圆 O 的半径为r，连结 OA，OB，ABC 被划分为三个小三角形，用SABC表示

18、ABC 的面积S ABC=S OAB+S OBC+SOCA又 S OAB=12ABr，S OBC=12BCr，S OCA=12ACr S ABC=12ABr+12BCr+12CAr=12Lr可作为三角形切圆半径公式1理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13 的三角形切圆半径；2类比与推理：假设四边形ABCD存在切圆与各边都相切的圆，如图2?且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的切圆半径公式；3拓展与延伸：假设一个n边形 n 为不小于3的整数存在切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，an，合理猜测其切圆半径公式不需说明理由例 2如图，ABC 中，A=m 1如图 1

19、，当 O 是 ABC 的心时，求 BOC 的度数；2如图 2，当 O 是 ABC 的外心时，求BOC 的度数；3如图 3，当 O 是高线 BD 与 CE 的交点时，求BOC 的度数.-优选例 3如图，RtABC 中，AC=8，BC=6，C=90，I 分别切 AC，BC，AB 于 D，E，F，求 RtABC 的心 I 与外心 O 之间的距离考点速练1：1如图 1，O 切于 ABC，切点为 D，E，F B=50，C=60，?连结 OE，OF，DE，DF，那么 EDF 等于A40B55C65D 70图 1 图 2 图 3 2如图2，O 是 ABC 的切圆，D，E，F 是切点，A=50，C=60，?那

20、么DOE=A70B110C120D130.-优选3如图 3，ABC 中，A=45，I 是心，那么 BIC=A112.5B112C 125D 554以下命题正确的选项是A三角形的心到三角形三个顶点的距离相等B三角形的心不一定在三角形的部C等边三角形的心，外心重合D一个圆一定有唯一一个外切三角形5在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5，那么它的切圆与外接圆半径分别为A1.5，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.5 6如图，在 ABC 中，AB=AC，切圆 O 与边 BC，AC，AB 分别切于D，E，F1求证：BF=CE；2假设 C=30，CE=23，求 AC 的长7如图，I 切 A

21、BC 的边分别为D，E，F，B=70，C=60，M 是弧 DEF 上的动点与D，E 不重合，DMF 的大小一定吗？假设一定，求出DMF 的大小；假设不一定，请说明理由九了解弦切角与圆幂定理选学【考点速览】.-优选考点 1 1.弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。注意：弦切角必须具备三个条件：1顶点在圆上切点，2一边和圆相切，3一边和圆相交弦，三者缺一不可。2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。考点 2 圆幂定理：圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理切割线定理推论以及它们

22、推论统一归纳的结果。1、相交弦定理：圆两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2、相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4、切割线定理的推论或称割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。典型例题：例 1.如图，经过O 上的点 T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C。求证：ATC TBC.-优选OTABCE例 2.：如图，AB 是 O 的弦，P 是 AB 上的一点，AB10cm，PA4cm，OP 5cm，求 O

23、的半径。BAOP例 3.AB 是半圆 O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于D，连结 AD，假设 AD15，sin C35，求 BC 的长。十圆与圆位置的关系考点速览：1 圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R 和 r，圆心距为d外离外切相交切含图形公共点0 个1 个2 个1 个0 个O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2.-优选d、r、R的关系dRrdRrRrdRrdRrdRr外公切线2 条2 条2 条1 条0 条公切线2 条1 条0 条0 条0 条2有关性质：1连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。2公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

24、3公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：例 1、如图，1O与2O相交于 A、B 两点，P 是1O上一点，PB 的延长线交2O于点 C，PA 交2O于点 D，CD 的延长线交1O于为 N.1过点 A 作 AE/交1O于点 E.求证：PA=PE.2连接 PN，假设 PB=4，BC=2，求 PN 的长.外公切线内公切线P 2OA B C E N 1OD.-优选例 2 如图，在ABC中，22,90ACABBAC，圆 A的半径为 1，假设点 O

25、在BC边上运动与点B、C不重合，设AOCxBO,的面积为 y.1求y关于x的函数关系式，并写出x的取值围；2以点 O为圆心，BO长为半径作O，当圆 O与 A相切时，求AOC的面积.经典得不能再经典的练习一选择1.O1与O2的半径分别为5cm 和 3cm，圆心距020=7cm，那么两圆的位置关系为A外离B外切C相交D切2.两圆半径分别为2 和 3，圆心距为d，假设两圆没有公共点，那么以下结论正确的选项是A01dB5dC01d或5dD01d或5d3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，那么这两圆的位置关系为A外离B外切相交D 含4.右图是一卡通图，图中两圆的位置关系A相交B外离C切D 含

26、5.假设两圆的半径分别是1cm 和 5cm，圆心距为6cm，那么这两圆的位置关系是A切B相交C外切D外离6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，那么另一圆的半径是A11 B7 C4 D3 7.O1和O2的半径分别为1 和 4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取O B C A.-优选值围在数轴上表示正确的选项是8.假设两圆的半径分别是2cm 和 3cm,圆心距为5cm，那么这两个圆的位置关系是A.切B.相交C.外切D.外离9.假设1O与2O相切，且125O O，1O的半径12r，那么2O的半径2r是 A 3 B 5 C 7 D 3 或 7 10.1O与2O外切，它们的半径分别

27、为2 和 3，那么圆心距12O O的长是A12O O=1 B12O O5 C12O OD12OO11.两圆的半径分别为3cm 和 2cm，圆心距为5cm，那么两圆的位置关系是A外离B外切C相交D 切12.如图，把O1向右平移8 个单位长度得O2，两圆相交于A.B，且 O1AO2A，那么图中阴影局部的面积是A.4-8 B.8-16 C.16-16 D.16-32 13假设两圆的直径分别是2cm 和 10cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是A.切B.相交C.外切D.外离14.如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和 5cm，弦AB与小圆相切于点C，那么AB的长为A4cm B5cm C6cm

28、 D8cm 15.如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB 切小圆于 P，两圆的半径分别为6，3，那么图中阴影局部的面积是A9 3B6 3C9 33D6 3216假设相交两圆的半径分别为1 和 2，那么此两圆的圆心距可能是 A 1 B2 C3 D4 17.图中圆与圆之间不同的位置关系有A2 种B3 种C4 种D 5种B3 1 0 2 4 5 D3 1 0 2 4 5 A3 1 0 2 4 5 C3 1 0 2 4 5 A B O C P O B A.-优选181O的半径为3cm，2O的半径为 4cm，两圆的圆心距12O O为 7cm，那么1O与2O的位置关系是二填空19.两圆的半径分别是2 和

29、3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是.20.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，那么这两个圆的圆心距是_21.1O的半径为 3cm，2O的半径为4cm，两圆的圆心距12O O为 7cm，那么1O与2O的位置关系是22.1O和2O的半径分别是一元二次方程120 xx的两根，且122O O，那么1O和2O的位置关系是23.如图，A，B的半径分别为1cm，2cm，圆心距AB为 5cm如果A由图示位置沿直线AB向右平移3cm，那么此时该圆与B的位置关系是 _24.相切两圆的半径分别为cm5和cm4，这两个圆的圆心距是25.O1和O2的半径分别为3cm和2cm，且121cmO O，那

30、么O1和O2的位置关系为26ABC的三边分别是abc，两圆的半径12rarb，圆心距dc，那么这两个圆的位置关系是27如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心.EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，那么sinEAB的值为D C E B A 27.-优选十一.圆的有关计算考点速览：【例题经典】有关弧长公式的应用例 1 如图，Rt ABC 的斜边AB=35，AC=21，点 O 在 AB 边上，OB=20，一个以 O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC 于 D、E 两点，求弧DE 的长度有关阴影局部面积的求法例 2如下图，等腰直角三角形ABC的斜边4AB，O是AB的中点

31、，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E求圆中阴影局部的面积O y x C D B A O1O260第 28 题l C D E.-优选求曲面上最短距离例 3如图，底面半径为1，母线长为4 的圆锥，?一只小蚂蚁假设从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是A2B42C43D5 求圆锥的侧面积例 4 如图 10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，?它是以圆柱体的上底面为底面，在其部“掏取一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的外表积结果保存根号【考点速练】一、根底训练1扇形的圆心角为120，半径为2cm，那么扇形的弧长是_cm，扇形

32、的面积是_cm22如图 1，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，AOB=BOC=60，那么图中阴影局部的面积是_cm2123 4.-优选3如图 2，圆锥的底面半径为6cm，高为 8cm，那么这个圆锥的侧面积是_cm24如图3，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，假设圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120，那么 r 与 R 之间的关系是?AR=2r BR=r C R=3r D R=4r 5如图 4，圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，那么它的侧面积是A60cm2B 45cm2C30cm2D15cm2 6圆锥侧面展开图的圆心角为90，?那么该圆锥的底面半径与母线长的比为A1：2 B2：1 C1：4 D 4：1 7用半径为30cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，?那么圆锥的底面半径为A10cm B30cm C45cm D 300cm 8将直径为64cm 的圆形铁皮，做成四个一样圆锥容器的侧面不浪费材料，不计接缝处的材料损耗，那么每个圆锥容器的高为A815cm B817cm C163cm D16cm 9如图 5，圆心角都是90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，?OA=3，OC=1，分别连结 AC、BC，那么圆中阴影局部的面积为A12BC2D4 56 7