巧解双曲线的离心率.pdf

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1、.-优选巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考察：求离心率的值，求离心率的取值围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。1、求离心率的值1利用离心率公式ace，先求出ca,，再求出e值。2利用双曲线离心率公式的变形：2)(1abace，先整体求出ab，再求出e值。例 1 双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线方程为xy34，那么双曲线的离心率为_.分析：双曲线)0,0(12222babyax的渐近线方程为xaby，由可得34ab解答：由可得34ab，再由2)(1abace，可得35e.3构造关于ca,的齐次式，再转化成关于e的一元二次

2、方程，最后求出e值，即“齐次化e。例如：010222eeaacc例 2 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_.分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。解答：因为两条直线垂直，011)(2222eeaccabcbab所以215e负舍2、求离心率的取值围求离心率的取值围关键是建立不等关系。1直接根据题意建立cba,的不等关系求解e的取值围。.-优选例 3 假设双 曲线22221xyab0ba，那么双曲线离心 率 的取值围是_.分析：注意到0ba的条件解答：），（21)(10102abeabba2利用平面几何性质建立ca,不等

3、关系求解e的取值围。例 4 双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，假设P为其上非顶点的一点，且212PFPF，那么双曲线离心率的取值围为_.分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等式。解答：因为aPFPFPFPF222121aPFaPF2,421，而cFF221，又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，aca622，所以31e。3利用圆锥曲线相关性质建立ca,不等关系求解e的取值围。例 5 双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF，点 P 在双曲线的右支上，且12|4|PFPF，那么此双曲线离心率e的

4、取值围是 _.分析：此题和上题类似，但也可以换一种方法找不等关系。解答：由aPFPFPFPF242121可得322aPF，又因为点P 在双曲线的右支上，acPF2，即3532aceaca，所以351e.4运用数形结合思想建立,a c不等关系求解e的取值围。.-优选例 6 双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值围是_ 分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系解答：由图象可知渐近线斜率360tanab，再由2)(12abace。5运用函数思想求解e的取值围。例 7 设1a，那么双曲线22221

5、(1)xyaa的离心率e的取值围是 _.分析：把离心率e表示成关于a的函数，然后求函数的值域解答：把e或2e 表示成关于a的函数，212)1(1222222aaaaae，然后用求函数值域的方法求解，)5,2(e。小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率e的值或取值围有很多种方法，求值不一定非要先求出ca,的值，能够得到cba,中某两者的关系即可；求取值围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。练习：1 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B

6、 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，那么 C 的离心率为()A.2B.3C2 D3 解：设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21，焦点 F(c,0)，将 xc 代入x2a2y2b21 可得 y2b4a2，所以|AB|2b2a 22 a，b22a2，3)(12abace.-优选答案：B 2 双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为52，那么 C 的渐近线方程为()Ay14xBy13xCy12xDyx解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为ybax，又离心率为 eca1ba252，所以ba12，所以双曲线的渐近线方程为y12x.答案：C 3双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的

7、左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为 l1，l2，点 P 在第一象限且在 l1上，假设 l2PF1，l2PF2，那么双曲线的离心率是()A.5B2 C.3D.2 解：如图 1，由 l2PF1，l2PF2，可得 PF1PF2，那么|OP|12|F1F2|c，设点 P 的坐标为 m，bam，那么m2bam2camc，解得 ma，即得点 P的坐标为(a，b)，那么由 KPF2bacba，可得 2ac，即 eca2.答案：B4假设双曲线x2my2m241 的离心率为5，那么 m 的值为 _解：由题意，双曲线的焦点在x 轴上，所以 em2m4m5，所以 m2.答案：2 5如图 2，中心均为原点O 的

8、双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的图 1.-优选两顶点假设 M，O，N 将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是_A3 B2 C.3D.2 解:设双曲线的方程为x2a21y2b211，椭圆的方程为x2a22y2b221，由于双曲线与椭圆有公共焦点且M，O，N 将椭圆长轴四等分，所以 a22a1，又 e1ca1，e2ca2，所以e1e2a2a12.答案：2 6设点 P 在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，假设|PF1|4|PF2|，那么双曲线离心率的取值围是_解：由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|

9、，所以 4|PF2|PF2|2a，|PF2|23a，|PF1|83a，所以83aca，23aca，整理得53ac，所以ca53，即 e53，又 e1，所以 1e53.答案：35,1(7点 F 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，假设 ABE 是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e的取值围为 _解：由题意知，ABE 为等腰三角形假设 ABE 是锐角三角形，那么只需要.-优选图 3 AEB 为锐角根据对称性，只要AEF4即可直线 AB 的方程为 xc，代入双曲线方程得y2b4a2，取点 A c，b2a

10、，那么|AF|b2a，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使 AEF4，即b2aac，即 b2a2ac，即 c2ac2a20，即 e2e20，即1e1，故 1e0，b0)的左，右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.假设|MF2|F1F2|，求 C 的离心率.解：依题意，知直线F1B 的方程为 ybcxb，联立方程ybcxb，xayb0，得点 Qacca，bcca，联立方程ybcxb，xayb0，得点 P acca，bcca，所以 PQ 的中点坐标为a2cb2，c2b.所以 PQ 的垂直平分线方程为yc2b

11、cbxa2cb2.-优选令 y0，得 xc 1a2b2，所以 c 1a2b23c.所以 a22b22c22a2，即 3a22c2.所以 e62.答案：629双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F(c,0)以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过 A 作圆的切线，斜率为3，求双曲线的离心率解：设点 A 的坐标为(x0，y0)，直线 AO 的斜率满足y0 x0(3)1，x03y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程，得3y20y20c2，即 y012c，x032c，点 A 的坐标为32c，c2，代入双曲线方程，得34c2a214c2b21，

12、即34b2c214a2c2a2b2，又a2b2c2，将 b2c2a2代入式，整理得34c42a2c2a40，3ca48ca240，(3e22)(e22)0，e1，e2.双曲线的离心率为2.答案：2 10如图 4，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为.-优选图 4 B1，B2，两焦点为 F1，F2.假设以 A1A2为直径的圆切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.求双曲线的离心率e；菱形 F1B1F2B2的面积 S1与矩形 ABCD 的面积 S2的比值S1S2.解：由题意可得a=b2c2bc，a43a2c2c40，e43e210，e2352，e152.设 sin bb2c2，cos cb2c2，S1S22bc4a2sin cos 2bc4a2bcb2c2b2c22a2e212252.答案：152；252