高中数学动点轨迹问题专题讲解.pdf

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1、.-优选动点轨迹问题专题讲解一专题内容：求动点(,)P x y的轨迹方程实质上是建立动点的坐标,x y之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点(,)P x y是随另一个在已知曲线C：(,)0F x y上的动点00(

2、,)M xy的变化而变化，且00,xy能用,x y表示，即0(,)xf x y，0(,)yg x y，则将00,xy代入已知曲线(,)0F x y，化简后即为所求的轨迹方程（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率k等），分别求出动点坐标,x y与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二相关试题训练（一）选择、填空题1（）已知1F、2F是定点，12|8F F，动点M满足12|8MFMF，则动点M的轨迹

3、是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2（）设(0,5)M，(0,5)N，MNP的周长为36，则MNP的顶点P的轨迹方程是（A）22125169xy（0 x）（B）221144169xy（0 x）（C）22116925xy（0y）（D）221169144xy（0y）3与圆2240 xyx外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4P 在以1F、2F为焦点的双曲线221169xy上运动，则12F F P的重心 G的轨迹方程是；5已知圆C：22(3)16xy内一点(3,0)A，圆 C 上一动点Q，AQ的垂直平.-优选分线交 CQ于 P点，则 P点的轨迹方程为2214xy6ABC的顶点为(5,0)A

4、、(5,0)B，ABC的内切圆圆心在直线3x上，则顶点 C 的轨迹方程是；221916xy（3x）变式：若点P为双曲线221916xy的右支上一点，1F、2F分别是左、右焦点，则12PF F的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点P为椭圆221259xy上任一点，1F、2F分别是左、右焦点，圆M与线段1F P的延长线、线段2PF及x轴分别相切，则圆心M的轨迹是；7已知动点M到定点(3,0)A的距离比到直线40 x的距离少1，则点M的轨迹方程是(212yx)8抛物线22yx的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是(4kx（28ky）)9过抛物线24yx的焦点F作直线与抛物线交于P、Q 两点，当此直线

5、绕焦点F旋转时，弦PQ中点的轨迹方程为解法分析：解法 1 当直线PQ的斜率存在时，设 PQ所在直线方程为(1)yk x与抛物线方程联立，2(1),4yk xyx消去y得2222(24)0k xkxk设11(,)P xy，22(,)Q xy，PQ中点为(,)M x y，则有21222,22(1).xxkxkyk xk消k得22(1)yx.-优选当直线PQ的斜率不存在时，易得弦PQ的中点为(1,0)F，也满足所求方程故所求轨迹方程为22(1)yx解法 2设11(,)P xy，22(,)Q xy，由2112224,4.yxyx得121212()()4()yyyyxx，设PQ中点为(,)M x y，当

6、12xx时，有121224yyyxx，又1PQMFykkx，所以，21yyx，即22(1)yx当12xx时，易得弦PQ的中点为(1,0)F，也满足所求方程故所求轨迹方程为22(1)yx10过定点(1,4)P作直线交抛物线:C22yx于 A、B 两点,过 A、B 分别作抛物线C的切线交于点M,则点 M 的轨迹方程为_44yx（二）解答题1一动圆过点(0,3)P，且与圆22(3)100 xy相内切，求该动圆圆心C的轨迹方程（定义法）2过椭圆221369xy的左顶点1A作任意弦1A E并延长到F，使1|EFA E，2A为椭圆另一顶点，连结OF交2A E于点P，求动点P的轨迹方程（直接法、定义法；突出

7、转化思想）3已知1A、2A是椭圆22221xyab的长轴端点，P、Q是椭圆上关于长轴12A A对称的两点，求直线1PA和2QA的交点M的轨迹（交轨法）4已知点G 是ABC的重心，(0,1),(0,1)AB，在x轴上有一点M，满足F 1A2AxyPEO.-优选|MAMC，GMABR（1）求点 C 的轨迹方程；（2）若斜率为k的直线l与点 C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|APAQ，试求k的取值 X 围解：（1）设(,)C x y，则由重心坐标公式可得(,)3 3x yGGMAB，点M在x轴上，(,0)3xM|MAMC，(0,1)A，222()1()33xxxy，即2213xy故点C的轨迹方程为

8、2213xy（1y）（直接法）（2）设直线l的方程为ykxb（1b），11(,)P x y、22(,)Q xy，PQ的中点为N由22,33.ykxbxy消y，得222(13)63(1)0kxkbxb22223612(13)(1)0k bkb，即22130kb 又122613kbxxk，212122262()221313k bbyyk xxbbkk，223(,)1 313kbbNkk|APAQ，ANPQ，1ANkk，即22111331 3bkkbkk，2132kb，又由 式可得220bb，02b且1b20134k且2132k，解得11k且33k故k的取值 X 围是11k且33k5已知平面上两定点

9、(0,2)M、(0,2)N，P为一动点，满足MP MNPNMN（）求动点P的轨迹C的方程；（直接法）.-优选（）若 A、B 是轨迹C上的两动点，且ANNB过 A、B两点分别作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明NQ AB为定值解：()设(,)P x y由已知(,2)MPx y，(0,4)MN，(,2)PNxy,48MP MNy224(2)PNMNxy，3 分MP MNPNMN，48y224(2)xy整理，得28xy即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为28xy6 已知 O 为坐标原点，点(1,0)E、(1,0)F，动点A、M、N满足|AEm EF（1m），0MNAF，1()2ONOAOF，/AMME求

10、点 M 的轨迹 W 的方程解：0MNAF，1()2ONOAOF，MN 垂直平分 AF又/AMME，点 M 在 AE上，|2AMMEAEm EFm，|MAMF，|2|MEMFmEF，点 M 的轨迹 W 是以 E、F为焦点的椭圆，且半长轴am，半焦距1c，22221bacm 点 M 的轨迹 W 的方程为222211xymm（1m）7设,x yR，,i j为直角坐标系内,x y轴正方向上的单位向量，若向量(2)axiyj，(2)bxiyj，且|8ab.-优选（1）求点(,)M x y的轨迹C的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OPOAOB，是否存在这样的直线l，使

11、得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由解：（1）2211216xy；（2）因为l过y轴上的点(0,3)若直线l是y轴，则,A B两点是椭圆的顶点0OPOAOB，所以P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾故直线l的斜率存在，设l方程为3ykx，1122(,),(,)A xyB xy由223,1,1216ykxxy消y得22(43)18210,kxkx此时22(18)4(43)(21)kk0恒成立，且1221843kxxk，1222143x xk，OPOAOB，所以四边形OAPB是平行四边形若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OAOB，即0OA OB1122(

12、,),(,)OAx yOBxy，12120OA OBx xy y即21212(1)3()90kx xk xx2222118(1)()3()4343kkkkk902516k，得54k故存在直线l：534yx，使得四边形OAPB是矩形8如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：|EF=2，且EFl于G，点Q是直线l上一动点，点M满足：FMMQ，点P满足：/PQEF，0PMFQ（I）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；（II）若经过点E的直线1l与点P的轨迹交于相异两点A、B，令.-优选AFB，当34时，求直线1l的斜率k的取值 X 围解：（1）以FG的中点O为原点，以EF所在直线

13、为y轴，建立平面直角坐标系xoy，设点(,)P x y，则(0,1)F，(0,3)E，:1lyFMMQ，/PQEF，(,1)Q x，(,0)2xM0PMFQ，()()(2)02xxy，即所求点P的轨迹方程为24xy（2）设点)(,(),(212211xxyxByxA设 AF的斜率为1k，BF的斜率为2k，直线1l的方程为3kxy由yxkxy432 6 分01242kxx得1242121xxkxx 7 分9)4(44221222121xxxxyy646)(22121kxxkyy 8 分)1)(1()1,(),1,(21212211yyxxFBFAyxFByxFA841649121)(222121

14、21kkyyyyxx)1)(1(|21yyFBFA又16416491)(222121kkyyyy4216484|cos2222kkkkFBFAFBFA 10 分由于432242122cos122kk即 11 分222242222kkk解得4488kk或 13 分直线1l斜率 k 的取值 X 围是8,8|44kkk或9如图所示，已知定点(1,0)F，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，.-优选并延长MP到点N，且0PMPF，|PMPN（1）求动点N的轨迹方程；（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若4OA OB，且4 6|4 30AB，求直线l的斜率k的取值 X围解：（1）设(,)

15、N x y，由|PMPN得(,0)Mx，(0,)2yP，(,)2yPMx，(1,)2yPF，又0PMPF，204yx，即动点N的轨迹方程为24yx（2）10已知点(0,1)F，点M在x轴上，点N在y轴上，P为动点，满足0MNMF，0MNMP（1）求P点轨迹E的方程；（2）将（1）中轨迹E按向量(0,1)a平移后得曲线E，设Q是E上任一点，过Q作圆22(1)1xy的两条切线，分别交x轴与A、B两点，求|AB的取值 X 围解：（1）设(,0)M a、(0,)Nb、(,)P x y，则(,)MNa b、(,1)MFa、(,)MPxa y由题意得(,)(,1)0,(,)(,)(0,0).a baa b

16、xa y20,2abxaby214yx，故动点P的轨迹方程为214yx（2）11如图(,3)A mm和(,3)B nn两点分别在射线OS、OT上移动，且12OA OB，O为坐标原点，动点P满足OPOAOB（1）求m n的值；（2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l过点(2,0)E交（2）中曲线C于M、N两点，且3MEEN，求l的方程xyoMNPF.-优选解：（1）由已知得1(,3)(,3)22OA OBmmnnmn，14mn（2）设 P点坐标为(,)x y（0 x），由OPOAOB得(,)(,3)(,3)x ymmnn(,3()mnmn，,3()xmnymn消去m，n

17、可得2243yxmn，又因14mn，P 点的轨迹方程为221(0)3yxx它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2，焦距为 4 的双曲线2213yx的右支（3）设直线l的方程为2xty，将其代入C 的方程得223(2)3tyy即22(31)1290tyty，易知2(31)0t（否则，直线l的斜率为3，它与渐近线平行，不符合题意）又22214436(31)36(1)0ttt，设1122(,),(,)Mx yN xy，则121222129,3131tyyy yttl与 C的两个交点,M N在y轴的右侧212121212(2)(2)2()4x xtytyt y yt yy222229123

18、4240313131ttttttt，2310t，即2103t，又由120 xx同理可得2103t，由3MEEN得1122(2,)3(2,)xyxy，121223(2)3xxyy由122222123231tyyyyyt得22631tyt，由21222229(3)331y yyyyt得222331yt，消去2y得2222363(31)31ttt考虑几何求法！O A P B x y.-优选解之得：2115t，满足2103t故所求直线l存在，其方程为：152 50 xy或152 50 xy12设 A，B分别是直线2 55yx和2 55yx上的两个动点，并且|20AB，动点P满足OPOAOB记动点 P的

19、轨迹为C（I）求轨迹 C的方程；（II）若点 D 的坐标为（0，16），M、N 是曲线 C 上的两个动点，且DMDN，XX数的取值 X围解：（I）设(,)P x y，因为 A、B分别为直线2 55yx和2 55yx上的点，故可设112 5(,)5A xx，222 5(,)5B xxOPOAOB，1212,2 5()5xxxyxx 1212,52xxxxxy又20AB，2212124()()205xxxx22542045yx即曲线 C 的方程为2212516xy（II）设 N（s，t），M（x，y），则由DNDM，可得（x，y-16）=(s，t-16)故xs，16(16)yt M、N 在曲线 C

20、 上，1.16)1616t(25s1,16t25s22222消去 s 得116)1616t(16)t16(222由题意知0，且1，解得17152t.-优选又4t，421517解得3553（1）故实数的取值 X 围是3553（1）13设双曲线22213yxa的两个焦点分别为1F、2F，离心率为2（1）求此双曲线的渐近线1l、2l的方程；（33yx）（2）若 A、B 分别为1l、2l上的动点，且122|5|ABF F，求线段AB的中点 M 的轨迹方程，并说明是什么曲线（22317525xy）提示：221212|10()10ABxxyy，又1133yx，2233yx，则12213()3yyxx，21

21、123()3yyxx又122xxx，122yyy代入距离公式即可（3）过点(1,0)N是否存在直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且0OP OQ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由（不存在）14已知点(1,0)F，直线:2lx，设动点 P 到直线l的 距 离 为d，已 知2|2PFd，且2332d（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若13PF OF，求向量OP与OF的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GFFC，点 M 满足3MPPF，且线段 MG的垂直平分线经过点P，求PGF的面积15如图，直线:1lykx与椭圆22:2C axy（1a）交于 A、B 两点，lxyCGFOPM.-优选

22、以 OA、OB 为邻边作平行四边形OAPB（O 为坐标原点）（1）若1k，且四边形OAPB为矩形，求a的值；（3a）（2）若2a，当k变化时（kR），求点 P的轨迹方程（22220 xyy（0y）16双曲线C：22221xyab（0a，0b）的离心率为2，其中(0,)Ab，(,0)B a，且22224|3OAOBOAOB（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l：4ykx对称 的点，XX数k的取值 X 围解：（I）依题意有：2222222c2,a4aba b,3abc.解得：.2,3,1cba所求双曲线的方程为.1322yx6 分（）当 k=0 时，显然不存在7分当 k0 时

23、，设双曲线上两点M、N 关于直线l对称由lMN，直线MN 的方程为1yxbk则 M、N 两点的坐标满足方程组由221yxb,k3xy3.消去 y 得2222(3k1)x2kbx(b3)k09 分显然23k10，2222(2kb)4(3k1)(b3)k0即222k b3k10.-优选设线段 MN 中点 D（00 x,y）则02202kbx,3k13k by.3k1D（00 x,y）在直线l上，22223k bk b43k13k1即22k b=3k1把带入 中得222k b+bk0，解得b0或b1223k10k或223k1-1k即3k3或1k2，且 k0k 的取值 X 围是3113(,)(,0)(

24、0,)(,)322314 分17已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，动点 M 到定直线y=1 的距离等于d，并且满足OMAM=K(CMBM-d2)，其中 O 为坐标原点，K为参数.（）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（）如果动点 M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足33e22，XX数 K的取值X围.18过抛物线24yx的焦点作两条弦AB、CD，若0AB CD，1()2OMOAOB，1()2ONOCOD（1）求证：直线MN过定点；（2）记（1）中的定点为Q，求证AQB为钝角；（3）分别以AB、CD为直径作圆，两圆公共弦的中点为H，求H的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线19（

25、05 年 XX）如图，M是抛物线上2yx上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MAMB（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且90EMF，求EMF的重心G的轨迹.-优选思路分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去0y即得到G的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)Myy，直线ME的斜率为k（0k），则直线MF的斜率为k，方程为200()yyk xy由2002()yyk xyyx，消x得200(1)0kyyyky，解得

26、01Fkyyk，202(1)Fkyxk，0022000022211214(1)(1)2EFEFEFkykyyykkkkkykykyxxykkk(定值)所以直线EF的斜率为定值法二：设定点00(,)M xy，11(,)E xy、22(,)F xy，由200211,yxyx得010101()()yyyyxx，即011MEkyy；同理021MFkyyMAMB，MEMFkk，即010211yyyy，1202yyy所以，1212221212120112EFyyyykxxyyyyy（定值）第一问的变式：过点M作倾斜角互补的直线ME、MF，则直线 EF的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦（2）9

27、0,45,1,EMFMABk当时所以直线 ME 的方程为200()yyk xy由2002yyxyyx得200(1),1)Eyy同理可得200(1),(1).FyyxyO ABEFM.-优选设重心 G（x,y），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333MEFMEFyyyyxxxxyyyyxxxy消去参数0y得2122()9273yxx20如图，ABCD是边长为2 的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B，折痕l与AB交于点E，点M满足关系式EMEBEB（1）建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程；（2）若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是AB边上的一点，4BABF，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且PFFQ，XX数的取值 X围