人教版六年级下册教案第五单元数学广角.pdf

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1、第五单元数学广角鸽巢问题单元要点分析一、单元教材分析：本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是 19 世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，

2、所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。二、单元三维目标导向：1、知识与技能：（1）引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧

3、密联系，体验学数学、用数学的乐趣。（2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。（3）感受数学在实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知的良好品质。三、单元教学重难点重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。四、单元学情分析“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年

4、级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。五、教法和学法1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的问题时，能否将这个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到该问题中的具体情境与“鸽巢原理”的“一般化

5、模型”之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，是解决问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢原理”可以解决的范畴；再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程，从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是学生数学思维和能力的重要体现。3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变。因此，用“鸽巢原理”解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时

6、，不必过于要求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。六、单元课时划分：本单元计划课时数：6 课时鸽巢问题,1 课时“鸽巢问题”的具体应用,1 课时练习课,1 课时单元测评,2 课时试卷讲评,1 课时第五单元数学广角鸽巢问题第一课时课题：鸽巢问题教学内容：教材第 68-70 页例 1、例 2，及“做一做”的第1 题，及第 71页练习十三的 1-2 题。教学目标：1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜

7、测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。教学重难点：重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。教学准备：课件。教学过程：一情境导入二、探究新知1.教学例 1.(课件出示例题 1 情境图）思考问题：把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，不管怎么放，总有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？学生通过操作发现规律理解关键词的含义探究证明认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。(1)操作发现规律：通过吧4 支铅

8、笔放进 3 个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有 1 鸽笔筒里至少有 2 支铅笔。(2)理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，不管怎么放，一定有1 个笔筒里的铅笔数大于或等于2 支。(3)探究证明。方法一：用“枚举法”证明。方法二：用“分解法”证明。把 4 分解成 3 个数。由图可知，把 4 分解成 3 个数，与枚举法相似，也有4 中情况，每一种情况分得的 3 个数中，至少有 1 个数是不小于 2 的数。方法三：用“假设法”证明。通过以上几种方法证明都可以发现：把 4 只铅笔放进 3 个笔筒中，无论怎么放，总有 1 个笔筒里至少放进2 只铅笔。（4）认识“鸽

9、巢问题”像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4 支铅笔是要分放的物体，就相当于4 只“鸽子”，“3 个笔筒”就相当于3 个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4 只鸽子放进 3 个笼子，总有 1 个笼子里至少有 2 只鸽子。这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有 1 个笔筒里至少放进2 支铅笔。如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有 1 个笔筒至少放 2 支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有 1 个笔筒

10、里至少放2 只铅笔,小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有 1个笔筒里至少放 2支铅笔。（5）归纳总结：鸽巢原理（一）：如果把 m个物体任意放进 n 个抽屉里（mn，且 n 是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2 个物体。2、教学例 2(课件出示例题 2 情境图）思考问题：（一）把 7 本书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有1 个抽屉里至少有 3 本书。为什么呢？（二）如果有8 本书会怎样呢？10 本书呢？学生通过“探究证明得出结论”的学习过程来解决问题（一）。（1）探究证明。方法一：用数的分解法证明。把 7 分解成 3 个数的和。把 7 本书放进 3 个抽屉里，共有如下8

11、 种情况：由图可知，每种情况分得的3 个数中，至少有 1 个数不小于 3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有 1 个抽屉至少放进3 本书。方法二：用假设法证明。把 7 本书平均分成 3 份，73=2（本）.1（本），若每个抽屉放2 本，则还剩 1 本。如果把剩下的这 1 本书放进任意 1 个抽屉中，那么这个抽屉里就有3 本书。（2）得出结论。通过以上两种方法都可以发现：7 本书放进 3 个抽屉中，不管怎么放，总有1 个抽屉里至少放进3 本书。学生通过“假设分析法归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。（1）用假设法分析。83=2（本）.2（本），剩下 2 本，分别放进其中2 个抽屉中，使

12、其中 2 个抽屉都变成 3 本，因此把 8 本书放进 3 个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3 本书。103=3（本）.1（本），把 10 本书放进 3 个抽屉中，不管怎么放，总有 1 个抽屉里至少放进4 本书。（2）归纳总结：综合上面两种情况，要把 a 本书放进 3 个抽屉里，如果 a3=b（本）.1（本）或 a3=b（本）.2（本），那么一定有 1 个抽屉里至少放进（b+1）本书。鸽巢原理（二）：古国把多与 kn 个的物体任意分别放进n 个空抽屉（k 是正整数，n 是非 0 的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。三、巩固练习1、完成教材第 70 页的“做一做

13、”第1 题。学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。2、完成教材第 71 页练习十三的 1-2 题。学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。四、课堂总结板书设计教学反思：第五单元数学广角鸽巢问题第二课时课题：“鸽巢问题”的具体应用教学内容：教材第 70-71 页例 3，及“做一做”的第2 题，及第 71 页练习十三的 3-4 题。教学目标：1、知识与技能：在了解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决简单的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，

14、激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。教学重难点：重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原理”进行反向推理。教学准备：课件。教学过程：一、情境导入二、探究新知1、教学例 3（课件出示例 3 的情境图）.出示思考的问题：盒子里有同样大小的红球和篮球各4 个，要想摸出的球一定有 2 个同色的，少要摸出几个球。学生通过“猜测验证分析推理”的学习过程解决问题。（1）猜测验证。猜测 1：只摸 2 个球只要举出一个反例就可以推翻这种猜测。就能保证这 2 个球验 证如：这两个球正好是一红一蓝时就不能同色。满足条件。猜测 2：摸出

15、 5 个球，把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为肯定有 2 个球是同验 证 5 2=2.1，所以摸出 5 个球时，至少有 3 色的。个球是同色的，因此摸出 5 个球是没必要的。猜测 1：摸出 3 个球，把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为至少有 2 个球是同验 证 32=1.1，所以摸出 3 个球时，至少有 3 色的。2个是同色的。综上所述，摸出 3 个球，至少有 2 个球是同色的。（2）分析推理。根据“鸽巢原理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有2 个球，分的无图个数失少要比抽屉数多1。现在把“颜色种数”看作“抽屉数”，结论就变成了“要保证摸出 2 个同色的球，摸出的球的个数至少要比颜色

16、种数多1”。因此，要从两种颜色的球中保证摸出2 个同色的，至少要摸出3 个球。2、趁热打铁：箱子里有足够多的5 种不同颜色的球，最少取出多少个球才能保证其中一定有2 个颜色一样的球？学生独立思考解决问题，集体交流。3、归纳总结：运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法：（1）分析题意；（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。（3）根据“鸽巢原理”推理并解决问题。三、巩固练习1、完成教材第 70 页的“做一做”的第2 题。（学生独立解答，集体交流。）2、完成教材第 71 页的练习十三的第3-4 题。（学生独立解答，集体交流。）3、课外拓展延伸题：一个布袋里有红色、黑色、蓝色

17、的袜子各8 只。每次从布袋里最少要拿出多少只可以保证其中有2 双颜色不同的袜子？（袜子不分左右）四、课堂总结板书设计：教学反思：第五单元数学广角鸽巢问题第三课时课题：练习课教学内容：教材 71 页练习十三的 5、6 题，及相关的练习题。教学目标：1、知识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解决简单的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。教学重难点重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学

18、会把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。教学过程：一、复习导入二、指导练习（一）基础练习题1、填一填：（1）水东小学六年级有 30 名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有（）名学生的生日是在二月份的同一天。（2）有 3 个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16 个球，那么一定有1个同学至少投进了（）个球。（3）把 6 只鸡放进 5 个鸡笼，至少有（）只鸡要放进同1 个鸡笼里。（4）某班有个小书架，40 个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（）本书，才可以保证至少有1 个同学能借到 2 本或 2 本以上的书。学生独立思考解答，集

19、体交流纠正。2、解决问题。（1）（易错题）六（1）班有 50 名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？（2）书籍里混装着 3 本故事书和 5 本科技书，要保证一次一定能拿出2 本科技书。一次至少要拿出多少本书？（3）把 16 支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1 个铅笔盒里的铅笔不少于 6 支？（二）拓展延伸题1、把 27 个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1 个盒子里有 7 个球？教师引导学生分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少要比抽屉数的（7-1）倍多 1 个，而（27-1）（7-1）=4.2，因此最多放进 4 个盒子里，可以保证至少有

20、1 个盒子里有 7 个球。教师引导学生规范解答：2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5 只，一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有 1 只？教师引导学生分析：假设先取5 只，全是红的，不符合题意，要继续去；假设再取 5 只，5 只有全是黄的，这时再取一只一定是蓝色的，这样取52+1=11（只）可以保证每种颜色至少有1 只。教师引导学生规范解答：3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为 100分，全班最低分是 75。已知每人得分都是整数，并且班上至少有3 人的得分相同。六（2）班至少有多少名同学？教师引导学生分析：因为最高分是100 分，最低分是 75 分，所以学生可能得到的不同分数有100-745+1=26（种）。教师引导学生规范解答：三、巩固练习：完成教材第 71 页练习十三的 5、6 题。（学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。）四、课堂总结板书设计：教学反思：