高中数学必修5知识点总结(精品).pdf

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1、1 必修 5 知识点总结1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2sinaR，2sinbR，2sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合

2、思想画出图：法一：把a 扰着 C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看 a 的情况：当 absinA，则 B无解当 bsinAb 时，B有一解注：当 A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的

3、量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,D bsinA A b a C A B 2 但不能到达，在岸边选取相距3千米的 C、D两点，并测得 ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于

4、一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列11、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）12、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最大值.(2)当1a0 时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。附：数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于1nnaac其中 na是各项不为0

5、 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例题：已知数列an 的通项为an=1(1)n n,求这个数列的前n 项和 Sn.解：观察后发现：an=111nn1211111(1)()()2231111nnsaaannn3.错位相减法:适用于nnba其中 na 是等差数列，nb是各项不为0 的等比数列。例题：已知数列an 的通项公式为2nnan，求这个数列的前n 项之和ns。解：由题设得：123nnsaaaa =1231 22 23 22nn即7 ns=1231 22 23 22nn把式两边同乘2 后得2ns=23411 22 23 22nn用-，即：ns=1231 22 23 22n

6、n2ns=23411 22 23 22nn得23111111 222222(1 2)212222(1)22nnnnnnnnsnnnn1(1)22nnsn4.倒序相加法:类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+.+n=2)1(nn 2）1+3+5+.+(2n-1)=2n 3）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn6）)()11(11qpqppqpq31、0abab；0abab；0abab32、不等式的性质：abba；,ab bcac；abacbc；,0ab cacbc，,0ab

7、 cacbc；,ab cdacbd；0,0abcdacbd；0,1nnababnn；8 0,1nnabab nn33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022110aaxaxaxannnn解法：将不等式化为a0(x-x1)(x-x2),(x-xm)0(0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论.000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxa

8、x有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R 的解集)0(02acbxax21xxxx对于 a0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf0(或)()(xgxf0)的形式，10（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf例题：求解不等式：11x解：略例题：求不等式11xx的解集。3.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a (a0)的不等式的解集为：|xaxa型如：|x|a (a0)的不等式的解集为：|,x xaxa或变型：|(0)|axb

9、c cxcaxbc型的不等式的解集可以由解得。其中-cax+bc 等价于不等式组axbcaxbc在解-cax+b0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设 ax2+bx+c=0 的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么：若两根都大于0，即0,0，则有000若两根都小于0，即0,0，则有002(0)0baf对称轴 x=2bay o x 对称轴 x=2bao x y 921125()f x=10 y 3o 2 x 12 若两根有一根小于0 一根大于0，即0，则有(0)0f若两根在两实数m,n 之间，即mn，则有02()0()0bmnaf mf n若两个根在三个实数之间，即mtn，则有()0(

10、)0()0f mf tf n常由根的分布情况来求解出现在a、b、c 位置上的参数例如：若方程222(1)230 xmxmm有两个正实数根，求m的取值范围。解：由型得0002224(1)4(23)02(1)0230mmmmmm111,3mmmm或3m所以方程有两个正实数根时，3m。又如：方程2210 xxm的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。解：因为有两个不同的根，所以由0(1)0f2222(1)4(1)01110mm552211mm11m35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式o y x X=2ban x m o y X=2bay o m t n x 13 36、

11、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对,x y，所有这样的有序数对,x y构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC，坐标平面内的点00,xy若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的上方若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC（一）由B确定：若0，则0 xyC表示 直线0 xyC上方的区域；0 xyC表示 直线0 xyC下方的区域若0，则0 xyC表示 直线0 xyC下方的区域；0 xyC表示 直线0 xyC上方的

12、区域（二）由A的符号来确定：先把 x 的系数 A化为正后，看不等号方向：若是“”号，则0 xyC所表示的区域为直线l:0 xyC的右边部分。若是“”号，则0 xyC所表示的区域为直线l:0 xyC的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一）（二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。例题：画出不等式组25035250 xyyxyx所表示的平面区域。解：略40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数：目标函数为x

13、，y的一次解析式14 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解,x y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数42、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab43、常 用 的 基 本 不 等 式：222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22ababa bR44、极值定理：设x、y都为正数，则有：若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p例题：已知54x，求函数1()4245f xxx的最大值。解：54x，450 x由原式可以化为：1111()4552(54)3(54)3(54)31 3245545454f xxxxxxxxx当15454xx，即2(54)1x31(2xx，或舍去）时取到“=”号也就是说当1x时有max()2f x