小学六年级奥数教案—15棋盘的覆盖.pdf

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1、小学六年级奥数教案 15 棋盘的覆盖本教程共30 讲棋盘的覆盖同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图 1），围棋棋盘（图 2）和国际象棋棋盘（图3）。用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少种不同的覆盖方法问题。例 1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？分析与解：因为图形由 3 个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是 3 的倍数，从而正方形的边长应是3 的

2、倍数。经试验，不可能拼成边长为 3 的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6（见右图），需要用题目所示的图形363=12（个）。分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共有 34 个小方格，17 个 12 的卡片也有 34 个小方格，好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格有 16 个，白格有 18 个，而 12 的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以 17 个 12 的卡片应当盖住黑、白格各17 个，不可能盖住左上图。例 3 下图的七种图形都是由4 个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个 47 的长方形（可以重复使用某些图

3、形），那么，最多可以用上几种不同的图形？分析与解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用 1 种图形是可以的，例如用 7 个（7）；用 2 种图形也没问题，例如用1 个（7），6 个（1）。经试验，用 6 种图形也可以拼成47 的长方形（见下图）。能否将 7 种图形都用上呢？7 个图形共有 47=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1 个，那么有可能拼成47 的长方形。但事实上却拼不成。为了说明，我们将 47 的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14 个。在 7 种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2 个，共覆盖黑、白格各12 个，还剩下黑、白格各 2 个

4、。第（2）种图形只能覆盖 3 个黑格 1 个白格或 3 个白格 1 个黑格，因此不可能覆盖住另6 种图形覆盖后剩下的2 个黑格 2 个白格。综上所述，要拼成 4 7 的长方形，最多能用上 6 种图形。例 4 用 11，22，33 的小正方形拼成一个1111 的大正方形，最少要用 11 的正方形多少个？分析与解：用 3 个 22 正方形和 2 个 33 正方形可以拼成 1 个 56 的长方形（见左下图）。用4 个 56 的长方形和 1 个 1 1 的正方形可以拼成 1 个 1111 的大正形（见右下图）。上面说明用 1 个 11 的正方形和若干 22，33 的正方形可以拼成1111的大正方形。那

5、么，不用11 的正方形，只用22，33 的正方形可以拼成 1111 的正方形吗？将 1111 的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将22或 33 的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个 22 或 33 的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。但是，右图中的白格有117=77（个），是奇数，矛盾。由此得到，不用 11 的正方形不可能拼成1111 的正方形。综上所述，要拼成 1111 的正方形，至少要用 1 个 11 的小正方形。例 5 用七个 12 的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。如下

6、图所示，盖住 A所在的小格只有两种情况，其中左下图中两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 4 种覆盖方法：右下图中三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 3 种覆盖方法。所以，共有 7 种不同覆盖方法。例 6 有许多边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5 厘米、宽 3 厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）解：有一个边长 3 厘米纸片有如下 3 种拼法：有两个边长 2 厘米纸片的有如下4 种拼法：有一个边长 2 厘米及 11 个边长 1 厘米纸片的有 2 种拼法，边长全是1 厘米纸片的有 1 种拼法。共有

7、不同的拼法 342+1=10（种）。答：共有 10 种不同的拼法。练习 15 在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）4.小明有 8 张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下 4 张连在一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？5.有若干个边长为 1、边长为 2、边长为 3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）7.能不能用 9 个 14 的长方形卡片拼成一个66 的正方形？答案与提示练习 15 1.3 个。提示：左下图是一种放法。2.图（2）。

8、提示：图（1）的小方格数不是3 的倍数；图（3）的小方格数是 3的倍数但拼不成；图（2）的拼法见右上图。3.不能。提示：右图中黑、白格各18 个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18 个黑格。4.25 种。提示：形如图（A）（B）（C）（D）的依次有 3，10，6，6 种。5.6 种。解：用小正方形拼成边长为4 的大正方形有 6 种情形：（1）1 个 33，7 个 11；（2）1个 22，12 个 11；（3）2 个 22，8 个 11；（4）3个 22，4 个 11；（5）4 个 22；（6）16 个 11。6.5 种。提示：盖住 A有下图所示的 5 种方法，其中左下图所示的3 种都无法覆盖；下中图中，放好后，左下方和右上方各有2 种放法，共有 4 种覆盖方法；右下图只有1 种覆盖方法。7.不能。提示：用 1，2，3，4 对 66 棋盘中的小方格编号（见右图）。一个14 的矩形一次只能覆盖1，2，3，4 号各一个，而 1，2，3，4 号数目不等，分别有 9，10，9，8 个。