近世代数期末考试题.pdf

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1、1 世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 ABR(实数集)，如果 A到 B的映射：xx2，xR，则是从 A到 B的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合 A中含有 5 个元素，集合 B中含有 2 个元素，那么，A与 B的积集合 AB中含有（d ）个元素。A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群 G中方程 ax=b，ya=b，a,b G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一 B、唯一的 C、不

2、一定唯一的 D、相同的(两方程解一样)4、当 G为有限群，子群 H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n 阶有限群 G的子群 H的阶必须是 n 的（d ）A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB。2、若有元素 eR使每 aA，都有 ae=ea=a，则 e 称为环 R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个 交换环。4、偶数环是 整数环 的子环。5、一个集合 A

3、的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元 a的逆元是 a-1。8、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个-域-。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设置换和分别为：6417352812345678，2318765412345678，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇 1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(165

4、3()6)(57)(48)(123(可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13(2 解：设 A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则 B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1BB，1CC，所以，表示法唯一。2 3、设集合)1(,1,2,1,0mmmMm，定义mM中运算“m”为 amb=(a+b)(modm),则（mM，m）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2

5、小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、设G是群。证明：如果对任意的Gx，有ex2，则G是交换群。2、假定 R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含 R的域，那么 F包含 R的一个商域。1、对于 G中任意元 x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个 x，从ex2可得1xx）。2、证明在 F里)0,(11bRbabaabab有意义，作 F的子集)0,(bRbabaQ所有Q显然是 R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G的子集（c）是子群。A、a B、ea,C、3,ae D、

6、3,aae2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集 N上，下列哪种运算是可结合的？（b ）A、a*b=a-b B、a*b=maxa,b C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（b）A、12 B、12 C、22 D、215、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（a）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共 10 小题，

7、每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-变换全-同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环-称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则4a的阶等于-25-。4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-模 n 乘余类加群-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AB=-2-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-双射-。7、叫 做 域F的 一 个 代 数 元，如 果 存 在F的-不 都 等 于 林-naaa,10使 得3 010nnaaa。8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为-单位

8、元-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-消去律成立-。10、一个环 R对于加法来作成一个循环群，则P是-。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G 是 A上的置换群，H是 G的子群，H=I,(1 2)，写出 H的所有陪集。2、设 E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是 E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解：H的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(1 3)，(1 3 2)，(2 3)H的 3 个左陪集为：I,(1 2)，(1

9、 2 3)，(2 3)，(1 3 2)，(1 3)2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102 b=3102+85 102=185+17 由此得到 (a,b)=17,a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3 102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a 1*b)(a*a 1)*b e*bb。所以，xa1*b 是 a

10、*xb 的解。若 x G也是 a*xb 的解，则 x e*x(a 1*a)*x a1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b 是 a*xb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 a=xZ；m xa或者也可记为a，称之为模 m剩余类。若 m ab 也记为 ab(m)。当 m=2时，Z2仅含 2 个元：0 与1。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的 xG使得 a*xb。2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z上的

11、二元关系：a?b 当且仅当 m ab。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6 阶有限群的任何子群一定不是（c ）。A、2 阶B、3 阶 C、4 阶D、6 阶2、设 G是群，G有（c）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个4 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（d ）。4、下列哪个偏序集构成有界格（d ）A、偶数B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂A、（N,）B、（Z,）C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）D、(P(A),)5、设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3 中可以与(123)交换的所有

12、元素有（a）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1-a-。3、区间 1，2 上的运算,minbaba的单位元是-2-。4、可换群 G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=24。5、环 Z8的零因子有 -。6、一个子群 H的右、左陪集的个数-相等-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-商权-。8、无零因子

13、环 R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-特征-。9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为-mIn-。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是 A的子环，则 S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1求和1；2确定置换和1的奇偶性。群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1 种，四白一黑1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8种。2、证

14、 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b S1S2 有 a-b,ab S1S2：因为 S1，S2是 A的子环，故 a-b,ab S1和 a-b,ab S2，因而 a-b,ab S1S2，所以 S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：5 3、解：1)56)(1243(，)16524(1；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M 为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e。1、证明：假定是 R的一个理想而不是零理想，那

15、么 a0，由理想的定义11aa，因而 R的任意元1bb这就是说=R，证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 AB 中含有（d）个元素。A.2 B.5 C.7 D.10 2.

16、设 ABR(实数集)，如果 A 到 B 的映射：xx2，xR，则是从 A 到 B 的（c）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3中可以与(123)交换的所有元素有（a）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.设 Z15是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（d）个。A.2 B.4 C.6 D.8 5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（b）A.整系数多项式全体Zx关于多项式的加法与乘法B.有理数域

17、 Q 上的 n 级矩阵全体 Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“”：m，nZ，m n0 6 D.整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“”：m，nZ，m n1 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“”是集合 A 的一个关系，如果“”满足_，则称“”是 A 的一个等价关系。7.设(G，)是一个群，那么，对于a，bG，则 abG 也是 G 中的可逆元，而且(ab)1_。8.设(23)(35)，(1243)(235)S5，那么_(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果

18、G 是一个含有 15 个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于aG，则元素a 的阶只可能是 _5,15,1,3,_。10.在 3 次对称群 S3中，设 H(1)，(123)，(132)是 S3的一个不变子群，则商群G/H 中的元素(12)H_。11.设 Z60，1，2，3，4，5是以 6 为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是 _2,3,4_。12.设 R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么，n 是_。13.设 Zx是整系数多项式环，(x)是由多项式 x 生成的主理想，则(x)_ _。14.设高斯整数环 Z i abi|a，bZ，其中 i21，则Z i 中的所有单位是

19、_ _。15.有理数域 Q 上的代数元2+3在 Q 上的极小多项式是 _。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）16.设 Z 为整数加群，Zm为以 m 为模的剩余类加群，是 Z 到 Zm的一个映射，其中：kk，kZ，验证：是 Z 到 Zm的一个同态满射，并求的同态核 Ker。17.求以 6 为模的剩余类环 Z60，1，2，3，4，5的所有子环，并说明这些子环都是 Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共3 小题，第 19、20 小题各 10 分，第 21 小题 5 分，共 25 分）19

20、.设 Ga，b，c，G 的代数运算“”由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。20.设a b c a a b c b b c a c c a b 7,Zc,a0c0aI,Zd,c,b,adcbaR已知 R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I 是 R 的一个子环，但不是理想。21.设(R，)是一个环，如果(R，)是一个循环群，证明：R 是一个交换环。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30分)。1、1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换

21、群；6、同构;7、零、-a；8、S=I 或 S=R；9、域；三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653()6)(57)(48)(123(可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13(2、解：设 A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则 B是对称矩阵，而 C是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1BB，1C

22、C，所以，表示法唯一。3、答：（mM，m）不是群，因为mM中有两个不同的单位元素0 和 m。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G中任意元 x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个 x，从ex2可得1xx）。2、证明在 F里)0,(11bRbabaabab有意义，作 F的子集)0,(bRbabaQ所有Q显然是 R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，

23、共 30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：H的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(1 3)，(1 3 2)，(2 3)H的 3 个左陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(2 3)，(1 3 2)，(1 3)2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。8 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102 b=3102+85 102=185+17 由此得到 (a,b)=17,a,b=a

24、b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3 102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a 1*b)(a*a 1)*b e*bb。所以，xa1*b 是 a*xb 的解。若 x G也是 a*xb 的解，则 x e*x(a 1*a)*x a1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b 是 a*xb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每

25、个整数 a 所在的等价类记为 a=xZ；m xa或者也可记为a，称之为模 m剩余类。若 m ab 也记为 ab(m)。当 m=2时，Z2仅含 2 个元：0 与1。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、nm；三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行

26、计算：例如，全白只1 种，四白一黑1 种，三白二黑2 种，等等，可得总共 8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b S1S2 有 a-b,ab S1S2：因为 S1，S2是 A的子环，故 a-b,ab S1和 a-b,ab S2，因而 a-b,ab S1S2，所以 S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1)56)(1243(，)16524(1；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R的一个理想而不是零理想，那么 a0，由理想的定义11aa，因而 R的任意

27、元1bb这就是说=R，证毕。9 2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以 b=a-1。近 世 代 数 试 卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“”，错的打“”；每小题 1 分，共 10 分）1、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（f）2、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（f）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（t）4、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（t）

28、5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（f）6、群G的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg1;,。（t）7、如果环R的阶2，那么R的单位元01。（t）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（t）9、)(xF中满足条件0)(p的多项式叫做元在域F上的极小多项式。（f）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与pZ同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。（f）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1 分，共 10 分）1、设nAAA,21和D都是非空集合，而f是nA

29、AA21到D的一个映射，那么（2）集合DAAAn,21中两两都不相同；nAAA,21的次序不能调换；nAAA21中不同的元对应的象必不相同；一个元naaa,21的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（3 ）4 在整数集Z上，abbaba；在有理数集Q上，abba；在正实数集R上，babaln；在集合0nZn上，baba。3、设 是整数集Z上的二元运算，其中baba,max（即取a与b中的最大者），那么在Z中（4）3 不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。4、设,G为群，其中G是实数集，而乘法kbaba:，这里k为G中固定的常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是

30、（4 ）0 和x；1 和 0；k和kx2；k和)2(kx。5、设cba,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（2 ）1 11abc；11ac；11bca；cab1。6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,。如果 6，那么G的阶G（3 ）2 10 6；24；10；12。7、设21:GGf是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4 f的同态核是1G的不变子群；2G的不变子群的逆象是1G的不变子群；1G的子群的象是2G的子群；1G的不变子群的象是2G的不变子群。8、设21:RRf是环同态满射，baf)(，那么下列错误的结论为（4 ）3 若a是零元，则b是零元

31、；若a是单位元，则b是单位元；若a不是零因子，则b不是零因子；若2R是不交换的，则1R不交换。9、下列正确的命题是（4）1 欧氏环一定是唯一分解环；主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环；唯一分解环必是欧氏环。10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（1 ）4 FIIEIE:；IEFIEF:；IFFEFI:；FIIEFE:。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空 1 分，共 10 分）1、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1 a 。3、设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两

32、个类，如果jiAA，那么jiAA 0 。4、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出一个 5-循环置换)31425(，那么1。7、若I是有 单 位 元 的环R的 由a生 成 的 主 理 想，那 么I中 的 元 素 可 以 表 达 为x 。8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么IR是一个域当且仅当I是一个最大理想。9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内

33、容写在预备的横线上面。指出错误 1 分，更正错误 2 分。每小题 3 分，共 15 分）1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在naaa21里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么0S。S=I或 S=R 4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d都是a和b的最大公因子，11 那么必有dd。一定有最大公因子；d 和 d只能差一个单位因子5、叫 做 域F的 一 个 代 数 元，如 果 存 在

34、F的 都 不 等 于 零 的 元naaa,10使 得010nnaaa。不都等于零的元五、计算题（共 15 分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换34124321,43124321,34214321,432143214321组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及14131211,和G的所有子群。2、设5,4,3,2,1,06Z是模 6 的剩余类环，且xZxgxf6)(),(。如果253)(3xxxf、354)(2xxxg，计算)()(xgxf、)()(xgxf和)()(xgxf以及它们的次数。六、证明题（每小题10 分，共 40分）1、设a和b是一个群G的两个元且baab，

35、又设a的阶ma，b的阶nb，并且1),(nm，证明：ab的阶mnab。2、设R为实数集，0,aRba，令RxbaxxRRfba,:),(，将R的所有这样的变换构成一个集合0,),(aRbafGba，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。3、设1I和2I为环R的两个理想，试证21II和2121,IbIabaII都是R的理想。4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代数试卷参考解答一、判断题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题1、1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1。2

36、、a。3、。4、nm。5、变换群。6、13524。7、Ryxayxiiii,。8、一个最大理想。9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。10、E的每一个元都是 F 上的一个代数元。四、改错题1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在naaa21里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么0S。S=I 或 S=R 4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d都是a和b的最大公因子，12

37、 那么必有 d=d。一定有最大公因子；d 和 d只能差一个单位因子5、叫 做 域F的 一 个 代 数 元，如 果 存 在F的 都 不 等 于 零 的 元naaa,10使 得010nnaaa。不都等于零的元测验题一、填空题（42 分）1、设集合M与M分别有代数运算与，且MM，则当满足结合律时，也满足结合律；当满足交换律时，也满足交换律。2、对群中任意元素1)(,abba有=；3、设群 G 中元素 a的阶是 n，n|m 则ma=e；4、设a是任意一个循环群，若|a，则a与整数加群同构；若na|，则a与n 次单位根群；同构；5、设G=a为6阶 循 环 群，则G的 生 成 元 有5,aa；543242

38、3,aaaaaeaaeaee；子群有；6、n 次对称群nS的阶是n!;；置换)24)(1378(的阶是4；7、设2314432114324321，则7、23144321；8、设)25)(136()235)(14(，则1；9、设 H 是有限群 G 的一个子群，则|G|=|H|:(G:H)；10、任意一个群都同一个双射）变换群；同构。二、证明题（24）1.设 G 为 n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程exn。1、已知|nG，|a|=k,则k|n 13 令 n=kq,则eaaaqkkqn)(即 G 中每个元素都满足方程exn1、叙述群 G 的一个非空子集 H 作成子群的充要条件，并证明群

39、G 的任意两个子群 H与 K 的交KH仍然是 G 的一个子群。2、证明:如果群 G 中每个元素都满足方程ex2，则 G 必为交换群。三、解答题（34）1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4baba作成群。2、写出三次对称群3S的所有子群并写出3S关于子群 H=（1），（23）的所有左陪集和所有右陪集。基础测试参考答案：一、填空题14 1、满足结合律；满足交换律；2、11ab；3、e；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,aa；5432423,aaaaaeaaeaee；6、n!;4 7、231443218、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已

40、知|nG，|a|=k,则k|n 令 n=kq,则eaaaqkkqn)(即 G 中每个元素都满足方程exn2、充要条件：HaHaHabHba1;,；证明：已知 H、K 为 G 的子群，令 Q 为 H 与 K 的交设Hba,则KbaHba,H 是 G 的子群，有HabK 是 G 的子群，有KabQabHaKaHaHa11，可知由定理且，则15 综上所述，H 也是 G 的子群。3、证：baabababaaaaaaaGabGba111121)(;,由消元法得G 是交换群。三、解答题1、解：设 G 是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G 中任意元素)()(,cba

41、cbacba，有（2）G 中有元素 e，它对 G 中每个元素aaea，都有（3）对 G 中每个元素eaaaGa11,，使中有元素在则 G 对代数运算作成一个群。对任意整数 a,b，显然 a+b+4 由 a,b唯一确定，故为 G 的代数运算。（a b）c=(a+b+4)c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a(b c)=a+b+c+8 即（a b）c=a(b c)满足结合律a 均有（-4）a=-4+a+4=a 故-4 为 G 的左单位元。（-8-a）a=-8-a+a+4=-4 故-8-a 是 a 的左逆元。16 2、解：6|3S其子群的阶数只能是1，2，3，6 1 阶子群（1）2 阶子群（1）（12）（1）（13）（1）（23）3 阶子群（1）（123）（132）6 阶子群3S左陪集：（1）H=（1）（23）=（23）H（12）H=（12）（123）=（123）H（13）H=（13）（132）=（132）H 右陪集：H（1）=（1）（23）=H（23）H（13）=（13）（23）=H（123）H（12）=（12）（132）=H（132）