高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇.pdf

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1、1 高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总编者：邬小军【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos()sinxxttyyt为参数00(,)xy为直线上的定点，t为直线上任一点(,)x y到定点00(,)xy的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos()sinxarybr为参数(a,b)为圆心，r 为半径；椭圆22221xyab的参数方程是cos()sinxayb为参数；双曲线2222-1xyab的参数方程是sec()tanxayb为参数；抛物线22ypx的参数方程是22()2xpttypt为参数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P

2、的极坐标为(,)，直角坐标为(,)x y，则cosx,siny,222xy,tanyx。【题型 1】参数方程和极坐标基本概念1点 M 的直角坐标是(1,3)，则点 M 的极坐标为（C ）A(2,)3 B(2,)3 C 2(2,)3 D(2,2),()3kkZ2圆5cos5 3sin的圆心坐标是（A ）A4(5,)3 B(5,)3 C(5,)3 D 5(5,)33已知 P为半圆 C：（为参数，0）上的点，点 A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点 M在射线 OP上，线段 OM 与 C的弧的长度均为3。1）以 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；2）求直线 AM的参数方程。解

3、：1）由已知，M点的极角为3，且 M点的极径等于3，故点 M的极坐标为（3，3）.2）M点的直角坐标为（3,66），A（0,1），故直线 AM的参数方程为2 1(1)636xtyt（t 为参数）4已知曲线 C的参数方程为sin51cos52yx(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。1)求曲线 c 的极坐标方程2)若直线l的极坐标方程为(sin+cos)=1，求直线l被曲线 c 截得的弦长。解：(1)曲线 c 的参数方程为sin51cos52yx(为参数)曲线 c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将sincosyx代入并化简得：=4cos+2sin 即曲

4、线 c 的极坐标方程为=4cos+2sin(2)l的直角坐标方程为 x+y-1=0 圆心 c 到直线l的距离为 d=22=2弦长为 225=23 .5 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴 已知曲线 C1的极坐标方程为 22sin（4），曲线 C2的极坐标方程为 sin a（a0），射线，4，4，2与曲线 C1分别交异于极点 O的四点 A，B，C，D（1）若曲线 C1关于曲线 C2对称，求 a 的值，并把曲线 C1和 C2化成直角坐标方程；（2）求OA OC OB OD 的值解：（1）1C：2)1()1(22yx，2C：ay，因为曲线1C关于曲线

5、2C对称，1a，2C：1y（2）)4sin(22|OA；cos22)2sin(22|OBsin22|OC，3)4cos(22)43sin(22|OD24|ODOBOCOA【题型 2】直线参数方程几何意义的应用1已知直线113:()24xtltyt为参数与直线2:245lxy相交于点 B，又点(1,2)A，则 AB52。2直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（C ）A98 B 1404 C 82 D 934 33在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为122322xtyt（t为参数），直线l与曲线C：22(2)1yx交于A，B两点.（1）求AB的长；（2）在

6、以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为32 2,4，求点P到线段AB中点M的距离.解：（1）直线 l 的参数方程为122322xtyt，（t 为参数），代入曲线 C的方程得24100tt设点 A，B对应的参数分别为12tt，则124tt，1 210t t，所以12|2 14ABtt（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(22)，所以点 P在直线 l 上，中点 M对应参数为1222tt，由参数 t 的几何意义，所以点P到线段 AB中点 M的距离|2PM4已知直线 l 经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线 l 的参数方程。（2）设 l 与圆422yx相

7、交与两点,A B，求点 P 到,A B两点的距离之积。4 解：（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt（2）把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022tttt1 22t t，则点 P 到,A B两点的距离之积为 25设经过点(1,0)P的直线l交曲线 C：2cos3sinxy(为参数)于 A、B两点（1）写出曲线 C的普通方程；（2）当直线l的倾斜角60o时，求|PAPB与|PAPB的值解：（1）C：22143xy（2）设l：11232xtyt（t 为参数）联立得：254120tt212121 216|45PAPBtt

8、ttt t，1 212|5PAPBt t6以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点M的极坐标为(3,)2，若直线l过点P，且倾斜 角为6，圆C以M为圆心，3为半径（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C相交于,A B两点，求PAPB解：（1）直线l的参数方程为31,212,2xtyt为参数）t(，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为sin6.（2）把31,212,2xtyt代入22(3)9xy，得2(31)70tt，1 27t t，设点,A B对应的参数分别为12,tt，则12,PAtPBt,7.PAPB7以平

9、面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的5 长度为长度单位建立极坐标系.已知直线l的参数方程为2312xtyt（t为参数），曲线C的极坐标方程为2sin4cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于AB、两点，求AB.解：(1)Q由cos4sin2，既cos4sin22曲线C的直角坐标方程为xy42.(2)Ql的参数方程为代入24yx，整理的07842tt，所以122tt，1 274t t所以14374134)(132)3(212212122t tttttAB.【题型 3】两类最值问题1已知曲线C：2219xy，以坐标原点为极点，x轴的正

10、半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()24.（1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.解：（1）曲线C的参数方程为3cossinxy（为参数），直线l的直角坐标方程为20 xy（2）设(3cos,sin)P，P到直线l的距离10 cos()23cossin222d（其中为锐角，且1tan3）当cos()1时，P到直线l的距离的最大值max52d2已知曲线C的极坐标方程为2sincos10，曲线13cos:2sinxCy（为参数）（1）求曲线1C的普通方程；（2）若点M在曲线1C上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值

11、解：（1）曲线1C的普通方程是：22194xy（2）曲线C的普通方程是：2100 xy设点(3cos,2sin)M，由点到直线的距离公式得：6 3cos4sin1015cos()1055d其中34cos,sin550时，min5d，此时9 8(,)5 5M3在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程是22222xtyt（t 为参数），以原点 O为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为42cos()4.（1）将圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与圆 C交于 A，B两点，点 P的坐标为(2,0)，试求11PAPB的值.解：（1）由4 2 cos

12、()4，展开化为2242(cossin)4(cossin)2，将cossinxy代入,得22440 xyxy，所以，圆 C的直角坐标方程是22440 xyxy.（2）把直线l的参数方程22222xtyt（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：22 240tt.设 A，B两点对应的参数分别为12,t t，则12122 2,40tttt，所以212121 2()42 6ttttt t.12121211112 6642ttPAPBtttt.4已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,A B C D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,A B C D的直角坐标；7（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围.解：（1）点,A B C D的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636点,A B C D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设00(,)P xy；则002cos()3sinxy为参数2222224416tPAPBPCPDxy23220sin32,52