2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学专业).pdf

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1、第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2010(150 分钟)一、（25 分，每小题5 分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中|1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIex dx n。（4）设函数()f t有二阶连续导数，221,(,)rxyg x yfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0 xylz与直线2213:421xyzl的距离。二、（15 分）设函数()f x在(,)上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0 x，使得0()0f x。证明：方程()0f x在(,)恰

2、有两个实根。三、（15 分）设函数()yf x由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。四、（15 分）设10,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。五、（15 分）设l是过原点、方向为(,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc，其中（0,cba密度为 1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值。六、(15 分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxx dyxy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxx dyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxx dyxy。