2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案.pdf

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1、九年级数学第 1 页 共 6 页（第 4 题图）A B C N M（第 2 题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2013 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分1.从长度是2cm，2cm，4cm，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（）A41 B31 C21 D12如图，M 是 ABC 的边 BC 的中点，AN 平分 BAC，ANBN 于

2、N，且 AB=10，BC=15，MN=3，则 ABC 的周长为（）A38 B39 C40 D.41 3已知1xy，且有09201152xx，05201192yy，则yx的值等于（）A95 B59 C52011 D920114已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（）A6 B.7 C8 D9 5设a，b，c是 ABC 的三边长，二次函数2)2(2bacxxbay在1x时取最小值b58，则 ABC 是（）A等腰三角形 B锐角三角形C钝

3、角三角形 D直角三角形6计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的 2 个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的 3 个连续存储单元已依次存入数据e，d，c，取出数据的顺序是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1 个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A5 种B6 种 C10 种 D12 种baedc（1）（2）（第 5 题图）九年级数学第 2 页 共 6 页二、填空题（本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分）7若04122xx，则满足该方程的所有根之和为 .8（人教版考

4、生做）如图 A，在ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交AD 于 E，且与 CD相切，若AB=4，BE=5，则 DE 的长为8（北师大版考生做）如图 B，等边三角形ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE，AE 与 CD 交于点 F，AG CD 于点 G，则FGAF9已知012aa，且3222322324axaaxaa，则x10元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8 元和 9 元两种.若两人购买商品一共花费了172 元，则其中单价为9元的商品有件11如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡

5、面CD 和地面BC上，如果CD 与地面成o45，A=o60，CD=4m，BC=)2264(m，则电线杆AB的长为m12实数x与y，使得yx，yx，xy，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(yx为三、解答题（本大题共3 个小题，每小题20 分，共 60 分）13.（本题满分20 分）已知：)()()(axcxcxbxbxax是完全平方式求证：cba(第 11 题图)A B C D（第 8 题图 A）B C D A E GFECBA（第 8 题图 B）D 九年级数学第 3 页 共 6 页14.（本题满分20 分）如图，将OA=6，AB=4 的矩形 OABC 放置在平面直角

6、坐标系中，动点 M，N 以每秒个单位的速度分别从点A，C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O运动，点N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作 NPBC，交OB 于点 P，连接 MP（1）点 B 的坐标为；用含 t 的式子表示点P 的坐标为；（2）记 OMP 的面积为S，求 S与 t 的函数关系式（0 t 6）；并求 t 为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T，使直线MT 把 ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC 面积的31？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由OABCPNMxyOABCxy（

7、备用图）(第 14 题图)九年级数学第 4 页 共 6 页15.（本题满分20 分）对于给定的抛物线baxxy2，使实数p，q适合于)(2qbap.（1）证明：抛物线qpxxy2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02baxx与02qpxx中至少有一个方程有实数根.九年级数学第 5 页 共 6 页2013年九年级试卷 参考答案一、选择题（每小题5 分，共 30 分）16 C D B A D C 二、填空题（每小题5 分，共 30 分）：7.62；8.A：516；B：12；9.4；10.12；11.26；12.)1,21()1,21(.三、解答题：（每题 20 分，共 60 分）13.证明：

8、把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式 3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc 它是完全平方式，0.即 4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0.2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必须且只需：000accbba解这个方程组，得cba.14.解：（1）（6，4）；（2,3tt）.（其中写对B 点得 1 分）,3 分（2）SOMP=12OM23t，S=12（6-t）23t=213t+2t 21(3)33t（0 t 6）当3t时，S有最大值,8 分（3）存在由（2）得：当 S有最大值时，点M、N 的坐标分别为：M（

9、3，0），N（3，4），则直线 ON 的函数关系式为：43yx设点 T 的坐标为（0，b），则直线MT 的函数关系式为：3byxb，解方程组433yxbyxb得3444bxbbyb直线 ON 与 MT 的交点 R 的坐标为34(,)44bbbb SOCN 12436，SORT 13SOCN 2 ,10 分一、当点 T 在点 O、C 之间时，分割出的三角形是OR1T1，二、如图，作R1D1y 轴，D1为垂足，九年级数学第 6 页 共 6 页则 SOR1T112?RD1?OT 12?34bb?b2.234160bb，b=22 133.b1 22 133，b2 22 133（不合题意，舍去）此时点

10、T1的坐标为（0，22 133）.,15 分 当点 T 在 OC 的延长线上时，分割出的三角形是R2NE，如图，设 MT 交 CN 于点 E，点 E 的纵坐标为4，由得点E 的横坐标为312bb，作 R2D2CN 交 CN 于点 D2，则SR2NE12?EN?D2=12?312(3)bb?4(4)4bb96(4)bb2.24480bb，b=4164482 1322.b12 132，b22 132（不合题意，舍去）此时点T2的坐标为（0，2 132）综上所述，在y 轴上存在点T1（0，22 133），T2（0，2 132）符合条件,20 分15.证明：（1）)(2qbapbapq2代入抛物线qpxxy2中，得0)2(2axpbxy得0202axbxy解得：4422bayax，故抛物线qpxxy2通过定点)44,2(2baa,10 分（2）bapq22，)2(2224222bappqpqp=bapp422=baaapp42222=)4()(22baap0)()4()4(222apbaqpqp42与ba42中至少有一个非负.02baxx与02qpxx中至少有一个方程有实数根.,20 分OABCxy（备用图）NMPR2T1T2R1ED2D1