2017全国卷1理科数学试题详细解.pdf

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1、1 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学解析人李跃华注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合131xAx xBx，则（）A0ABx xBABRC1ABx xDAB【答案】A【解析】1Ax x，310 xBxx x0A

2、Bx x，1ABx x，选 A 2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A14B8C12D4【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为224，圆的面积为2 1，图中黑色部分的概率为2则此点取自黑色部分的概率为248故选 B 2 3.设有下面四个命题（）1p：若复数z 满足1zR，则zR；2p：若复数z 满足2zR，则zR；3p：若复数12zz，满足12z zR，则12zz；4p：若复数zR，则zRA13pp，B14pp，C23pp，D24pp，【

3、答案】B【解析】1:p设zabi，则2211abizabiabR，得到0b，所以zR.故1P正确；2:p若 z21，满足2zR，而zi，不满足2zR，故2p不正确；3:p若1z1，2z2，则12z z2，满足12zzR，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p不正确；4:p实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p正确；4.记nS为等差数列na的前n项和，若4562448aaS，则na的公差为（）A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】45113424aaadad61656482Sad联立求得11272461548adad3 得21 1524d624d4d选 C 5.函数fx 在

4、，单调递减，且为奇函数 若11f，则满足121fx的x的取值范围是（）A22，B1 1，C04，D13，【答案】D【解析】因为fx为奇函数，所以111ff，于是121fx等价于121ffxf|又fx在，单调递减121x3x1 故选 D3 6.62111xx展开式中2x 的系数为A15B20C30D35【答案】C.【解析】66622111+1111xxxxx对61x的2x 项系数为2665C152对6211xx的2x 项系数为46C=15，2x 的系数为151530故选 C 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、

5、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面24226S梯6212S全梯故选 B 8.右面程序框图是为了求出满足321000nn的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入4 A1000A和1nnB1000A和2nnC1000A和1nnD1000A和2nn【答案】D【答案】因为要求A大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出“”中不能输入A1000排除 A、B 又要求 n为偶数，且n 初始值为0，“”中 n依次加 2可保证其为偶故选 D 9.已知曲线1:cosCyx，22:sin2

6、3Cyx，则下面结论正确的是（）A把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2CB把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2CC把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2CD把1C上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C【答案】D【解析】1:cosCyx，22:sin 23Cyx首先曲线1C、2C统一为一三角函数名，可将1:cosCyx用诱导公式处理coscossin222yxx

7、x横坐标变换需将1变成2，5 即112sinsin 2sin 2224C 上各坐短它原yxyxx点横标缩来2sin 2sin233yxx注意的系数，在右平移需将2提到括号外面，这时4x平移至3x，根据“左加右减”原则，“4x”到“3x”需加上12，即再向左平移1210.已知F为抛物线C：24yx的交点，过F作两条互相垂直1l，2l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D，E两点，ABDE 的最小值为（）A16B14C12D10【答案】A【解析】设AB倾斜角为作1AK垂直准线，2AK垂直x轴易知11cos22AFGFAKAKAFPPGPP（几何关系）（抛物线特性）cosAFPAF同理1c

8、osPAF，1cosPBF22221cossinPPAB又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为22222cossin2PPDE而24yx，即2P22112sincosABDEP2222sincos4sincos224sincos241sin 2421616sin 2，当4取等号即ABDE最小值为16，故选 A 6 11.设x，y，z 为正数，且235xyz，则（）A235xyzB523zxyC352yzxD325yxz【答案】D【答案】取对数：ln 2ln3ln5xy.ln 33ln 22xy23xyln 2ln 5xz则ln55ln 22xz25xz325yxz，故选 D 12.几位大学生响应国

9、家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，,，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：100N且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D110【答案】A【解析】设首项为第1 组，接下来两项为第2 组，再接下来三项为第3 组，以此类推设第n组的项数为n，则n组的项数和为12nn由题，100N，令11002nn14n

10、 且*nN，即N出现在第13 组之后第 n 组的和为122112nnn组总共的和为2 122212nnnn若要使前N项和为 2 的整数幂，则12nnN项的和 21k应与2n互为相反数即*21214kn knN，2log3kn295nk，则2912954402N故选 A 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13.已知向量a，b的夹角为60，2a，1b，则2ab_7【答案】2 3【解析】22222(2)22cos602ababaabb221222222444122122 3ab14.设x，y满足约束条件21210 xyxyxy，则32zxy 的最小值为 _【答案】5不等式组21

11、210 xyxyxy表示的平面区域如图所示yx2x+y+1=0 x+2y-1=01CBA由32zxy 得322zyx，求 z 的最小值，即求直线322zyx的纵截距的最大值当直线322zyx过图中点A时，纵截距最大由2121xyxy解得A点坐标为(1,1)，此时3(1)215z15.已知双曲线2222:xyCab，（0a，0b）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若60MAN，则C的离心率为_【答案】2 33【解析】如图，8 OAa，ANAMb60MAN，32APb，222234OPOAPAab2232tan34bAPOPab又 tanba，22

12、3234bbaab，解得223ab2212 31133bea16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为元O上的点，DBC，ECA，FAB分别是一BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm）的最大值为_【答案】4 15【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，ODBC36OGBC，即OG的长度与BC的长度或成正比设OGx，则2 3BCx，5DGx三棱锥的高22225 102510hDGOGxxxx2

13、12 3 33 32ABCSxx则21325103ABCVShxx45=32510 xx9 令452510fxxx，5(0,)2x，3410050fxxx令0fx，即4320 xx，2x则280fxf则38045V 体积最大值为34 15cm三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA（1）求sinsinBC；（2）若6coscos1BC，3a，求ABC的周长【解析】本题

14、主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）ABC面积23sinaSA.且1sin2SbcA21sin3sin2abcAA223sin2abcA由正弦定理得223sinsinsinsin2ABCA，由sin0A得2sinsin3BC.（2）由（1）得2sinsin3BC，1coscos6BCABC1coscos cossinsinCcoscos2ABCBCBBC又0A，60A，3sin2A，1cos2A由余弦定理得2229abcbc由正弦定理得sinsinabBA，sinsinacCA10 22sinsin8sinabcBCA由 得33bc333abc，即ABC周长

15、为33318.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD中，且90BAPCDP（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值【解析】（1）证明：90BAPCDPPAAB，PDCD又ABCD，PDAB又PDPAP，PD、PA平面 PAD AB平面 PAD，又 AB平面 PAB平面 PAB平面 PAD（2）取 AD 中点 O，BC 中点 E，连接 PO，OE ABCD四边形 ABCD 为平行四边形 OEAB由（1）知，AB平面 PAD OE平面 PAD，又 PO、AD平面 PAD OEPO，OEAD又 PAPD，POADPO、OE、AD两两垂

16、直以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设2PA，0 02D，、220B，、002P，、2 02C，022PD，、222PB，、2 2 0 0BC，设 nxyz,为平面 PBC 的法向量由00n PBn BC，得22202 20 xyzx令1y，则2z，0 x，可得平面PBC 的一个法向量012n,90APD，PDPA又知 AB平面 PAD，PD平面 PAD PDAB，又PAABA PD平面 PAB11 即PD是平面 PAB的一个法向量，022PD,23cos32 3PD nPDnPDn,由图知二面角APBC 为钝角，所以它的余弦值为3319.（12 分）为了抽检某种零件的一

17、条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N，（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在33，之外的零件数，求1P X 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在33，之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.951 0.1 29.969.9610.019.929.981 0.0 410

18、.269.911 0.1 3 10.029.2210.0410.059.95经计算得1619.97iixx，16162221111160.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1216i，用样本平均数x作为的估计值?，用样本标准差s作为的估计值?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除?33，之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2N，,则330.997 4PZ160.997 40.9592，0.0080.09【解析】（1）由题可知尺寸落在33，之内的概率为0.9974，落在33，之外的概率为0.002600161

19、60C10.99740.99740.9592P X11010.95920.0408P XP X由题可知160.0026XB，160.00260.0416E X（2）（i）尺寸落在33，之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在33，之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理（ii）39.9730.2129.33439.9730.21210.606339.33410.606，12 9.229.33410.606，需对当天的生产过程检查因此剔除 9.22剔除数据之后：9.97169.2210.02152222222222222222 9.9510.0210.1210.029.9610.0

20、29.9610.0210.0110.029.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02150.0080.0080.0920.（12 分）已知椭圆C：22221xyab0ab，四点111P，201P，3312P，4312P，中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过2P点且与C相交于A、B两点，若直线2P A与直线2P B的斜率的和为1，证明：l过定点【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P、4P又4P横坐标为1，椭圆必不过1P，所以过

21、234PPP，三点将2330112PP，代入椭圆方程得222113141bab，解得24a，21b椭圆C的方程为：2214xy（2）当斜率不存在时，设:AAlxmA myB my，221121AAP AP Byykkmmm得2m，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设1lykxb b1122A xyB xy，联立22440ykxbxy，整理得222148440kxkbxb122814kbxxk，21224414bxxk则22121211P AP Byykkxx21212112xkxbxxkxbxx x13 222228888144414kbkkbkbkbk81141

22、1k bbb，又1b21bk，此时64k，存在 k 使得0成立直线l的方程为21ykxk当2x时，1y所以 l 过定点21，21.（12 分）已知函数2e2 exxfxaax（1）讨论fx的单调性；（2）若 fx 有两个零点，求a的取值范围【解析】（1）由于2e2 exxfxaax故22 e2 e1e12e1xxxxfxaaa 当0a时，e10 xa，2e10 x从而0fx恒成立fx 在R上单调递减 当0a时，令0fx，从而e10 xa，得lnxaxln a，ln aln a，fx0fx单调减极小值单调增综上，当0a时，()f x 在R上单调递减；当0a时，()f x 在(,ln)a 上单调递

23、减，在(ln,)a上单调递增（2）由（1）知，当0a时，fx在R上单调减，故fx在R上至多一个零点，不满足条件当0a时，min1ln1lnffaaa令11lng aaa令11ln0g aa aa，则2110gaaa从而g a在0，上单调增，而10g 故当 01a时，0g a 当1a时0g a 当1a时0g a若1a，则min11ln0fag aa，故0fx恒成立，从而fx无零点，不满足条件若1a，则min11ln0faa，故0fx仅有一个实根ln0 xa，不满足条件若 01a，则m i n11ln0faa，注意到ln0a22110eeeaaf14 故fx在1ln a，上有一个实根，而又31ln

24、1lnln aaa且33ln1ln133ln(1)ee2ln1aafaaaa3333132ln11ln10aaaaaa故fx在3lnln1aa，上有一个实根又 fx 在ln a，上单调减，在ln a，单调增，故fx 在R上至多两个实根又fx在1ln a，及3lnln1aa，上均至少有一个实数根，故fx在R上恰有两个实根综上，01a（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参考方程 在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cossinxy，（为参数），直线 l 的参数方程为41xatyt，（t为参数）（1

25、）若1a，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为17，求a【解析】（1）1a时，直线 l 的方程为430 xy曲线 C 的标准方程是2219xy，联立方程2243019xyxy，解得：30 xy或21252425xy，则 C 与 l 交点坐标是30，和21242525，（2）直线 l 一般式方程是440 xya设曲线 C 上点3cossinp，则P到 l 距离5sin43cos4sin41717aad，其中3tan4依题意得：17maxd，解得16a或8a15 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数2411fxxaxg xxx，（1）当1a时，求不等式fxg x的解集；（2）若不等式fxg x的解集包含11，求 a的取值范围【解析】（1）当1a时，24fxxx，是开口向下，对称轴12x的二次函数211121121xxg xxxxx，x，当(1,)x时，令242xxx，解得1712xg x在1，上单调递增，fx在1，上单调递减此时fxg x解集为17112，当1 1x，时，2g x，12fxf当1x，时，g x单调递减，fx单调递增，且112gf综上所述，fxg x解集17112，（2）依题意得：242xax在11，恒成立即220 xax在1 1，恒成立则只须2211201120aa，解出：11a故a取值范围是1 1，