2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题评阅要点.pdf

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1、2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点 本要点仅供参考，各赛区应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅本题考察的重点是：从决策问题的海量的、不完全的、甚至错漏（带有噪音、错误、异型）的数据中分析出决策的逻辑结构和提取有用的数据（附录中许多数据是没有用的！）以及依赖数据信息，进而构建数学模型的能力。本题的资源优化配置模型是规划问题，其中也包括一些预测模型。因此，理解并且实现优化问题的基础结构是取得基本分值 的必要条件。1、目标函数的构成成分主要包括 销售额表达式（注意如果作者利用了附录数据说明中的假设，则赢利与销售额等价），可以以课程为单位，也可以以学科为单位；包括由市场信息

2、产生的对于不同课程的调控因子（竞争力系数）；由于数据说明中的提示，也应该包括每个课程的申报需求量的“计划准确性因子”（学生用词会不同）。当然，前两点更重要些。2、约束条件构成对于出版社来说，所谓产能主要是人力资源，即策划、编辑和版面设计人员的分布形成主要约束；此外，书号总量（500）也应该作为约束条件；同时，在数据说明中指出的“满足申请书号量的一半”也应该以约束方式表达。3、规划变量可以以每个课程的书号数量，也可以以学科的书号数 作为变量，但是得到的结果会有所不同。实现以上三点，对于问题的理解是比较全面的，应该得到基本分值。进一步提高的分值来源于实现上述三点的具体模型的考虑和建模水平。1）如果

3、注意到数据说明中提示的，同一课程的教材在价格和销售量的同一性，销售额表达式是比较容易表示的：构造每个课程的、用书号数表达的销售额，然后将所有书号的销售额的表达式累加，形成总社的销售额的基本表达式，这是目标函数的主体部分。2）市场信息产生的对于不同课程的调控因子（也称竞争力系数）的表示，是一个信息不足情况下的决策模型。主要是满意度 和市场占有率 的恰当表示和计算（由附件2），以及两个指标的联合形成竞争力系数问题，这里既可以使用拟合模型，也可以使用各种多因素分析模型等等，方法不同。对这个问题解决的优劣，可以导致明显的评分差别。其中应该特别注意需求信息是否重复使用的问题，也就是说，如果在构造销售额表

4、达式时已经使用了课程的销售数据，则不同课程的支持强度的不同，主要由市场竞争力参数表达。3）在优化问题中，应该恰当地表示“计划准确性因子”，数据给出的计划销量和实际销量之比应该是比较合适的表示。4）加上前述约束条件构成适当的规划问题。比较好的实现以上四点，应该得到80%的分值。最后剩余分值是：计算出结果，创造性，论文表述和格式。注 1 以下给出建模所需信息和附录数据表的关系：在问卷调查表的调查目的中提示了满意度和市场占有率是竞争力的主要组成，也提示了数据依据（附录1）；课程级销售额以及销售额与利润的等价性关系（附录3），满意度和市场占有份额由问卷调查数据表检索计算产生（附录 2），各个课程的需求

5、的书号数（附录 4）和“计划准确性因子”（附录 3），人力资源（附录5）。其中附录1 只是让学生了解市场调查的方法。注 2 学生会提出附录5 和 4 之间在书号数与人力资源上的差别，事实上人力资源和分配到的书号数没有直接的单一因果联系（如临时雇用人员、临时增加书号等）。附录 4 的书号总和的计算错误是实际数据的错误，但是与解题无关（学生采用哪组数据应该都是可以的）。附件：对问题更详细的分析过程（供参考）本题背景是：某出版社总社汇总各个分社提交的出版需求计划，然后根据市场信息、在总社产能允许的条件下，将给定数量的书号进行分配，以期在此分配方案下，出版的图书产生最好的经济效益。由于企业的生产是市场

6、导向的，因此市场信息是对分社计划进行调整的主要依据，同时要考虑产能的限制。这是一个资源配置的决策问题，因此需要分析决策的信息依据以及决策的逻辑过程。1、决策的总体结构市场信息决策部门分社计划信息决策结果各个分社提出的出版需求计划是决策的基础，而市场信息是调整分社计划达到效益最大化的主要调节依据。在以上总体结构下，需要将各个分社的计划信息和市场信息的信息产生结构分析清楚。2、分社计划信息在附录 4 中给出了各个分社06 年申请的书号计划数，即分社所属课程的计划数的列表。该出版社中，分社是按学科划分的，学科之下又有若干课程，问题的决策对象可以分两级：课程级以及学科级。也就是说，可以以课程作为基本分

7、配对象，学科数据可以通过汇总得到；也可以先将数据汇总到学科，然后以学科作为配置单位。两种方法计算结果会有所不同。3、市场信息相关的市场信息主要包括两个方面：需求信息和竞争力信息，包括它们的变化趋势。31 需求信息。课程级的销售额是决策的目标函数的基础组分（附录4 中提示了销售额与盈利的等价性）。在根据课程级的需求计划计算销售额时，需要用过去五年该课程的实际销售量去预测当年的销售量。这样就已经考虑了市场的需求信息，因此在总社的进一步分析中不必要重复使用这类市场信息。另一方面，由于分社有夸大需求的倾向（附录 4 提示），将课程级的计划销售量与实际销售量之比作为“计划准确性系数”，在课程级的销售额中

8、作为权重是恰当的考虑。3 2 竞争力信息。企业在战略决策中的主要原则是：重点支持竞争力强、竞争力发展趋势强的产品（题目中已经提示）。虽然企业也要关注现实竞争力不强、但有潜力的产品，但这不是主要的决策原则，这是一个恰当的简化。竞争力因素很多，但是对于本题，由于只给出了两方面的数据（A.对教材的课程级的满意度，B.该出版社的课程级的市场占有率），因此也只有用这两个数据产生对于各个课程的不同的竞争力系数，这是总社的主要调控手段，应体现在规划问题的目标函数中。4、建模过程如何从给定数据中提取需要的每项市场信息，是本题建模的关键之一。4 1 市场需求信息。这里主要是课程级的需求量预测。从历年的销售数据，

9、即已经出版过的同课程的历年销售数据，可得到目标函数的主要表达式：（课程级销量*平均书价）/当年的该课程的获得书号数=该课程的书号的平均销售额4 2 产品满意度。在问卷调查中的本出版社的满意度（课程级）的均值除以所有出版社的满意值的均值，可以作为该课程的满意度，这里“度”是率的含意。43 市场份额占有率。在问卷调查的统计中已经给出了关于课程与出版社市场份额分布表，而通过五年的市场份额分布表可以回归出预测的市场份额占有率。4 4 竞争力系数。以上两点可以产生单一的竞争力系数（通过模型方法）加入到目标函数中，例如，可以从五年的历史数据拟合得到加权系数，再进行加权求和等，方法各异。由以上 4 点以及考

10、虑到3.1 中的“计划准确性系数”，可以构成规划的目标函数。4 5 约束条件：该社的产能即人力资源的约束，书号总量的限制以及至少满足申请数一半的要求（附录4），即可得到规划问题的完整表示。5、决策的逻辑结构2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题评阅要点问题（1）利用附件1 的数据预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。1 分析数据随机取若干个病人，画出他们CD4 和 HIV 浓度随时间变化的图形（折线），可以看出CD4 大致有先增后减的趋势，HIV 有先减后增的趋势，启示应建立时间的二次函数模型（若先用一次函数模型，应与二次函数模型做统计分析比较）。附件 1中个别病人缺CD4 或

11、 HIV 数据（数据表中为空），计算时应注意。2建立模型可能有以下形式的回归模型：1）总体回归模型用全部数据拟合一个模型，如 yij=b0+b1tij+b2tij2，tij为第 i 病人第j 次测量时间，yij为第 i 病人第 j 次测量值（CD4，HIV）或测量值与初始值之比。一次与二次函数模型比较，二次较优。用数据估计b0,b1,b2,对 CD4，b20,t=-b1/2b2达到最大；对HIV，b20,b10,t=-b1/2b2达到最小。一般在2530（周）CD4 达到最大、HIV 达到最小。可以合理地确定最佳治疗终止时间。2)个人回归模型用每个病人的数据拟合一个模型，如上式（bk改为 bi

12、k,k=0,1,2），计算 bik的均值和均方差，用均值同1）可得 CD4 的最大点和HIV 的最小点，一般为 2030（周）。可对 CD4 统计 b2i0（存在正最大点）及b2i0（不存在最大点）的频率，对HIV 统计 b2i0,b1i0（存在正最小点）及b2i0（不存在最小点）的频率，在一定条件下可以作为终止治疗与继续治疗的概率（一般为0.60.8 与 0.30.2）；也可用bik的均值和均方差在一定分布的假定下直接计算这些概率。3）分段时序模型对 yij用 j 以前的资料如yi，j-1,tij-ti，j-1，j-1 段的斜率等为变量建立模型（j=3,4,5,6），由数据估计系数，预测yi

13、j，然后对CD4 统计预测的yij大于实际的 yi，j-1的频率，对 HIV 统计预测的yij小于实际的yi，j-1的频率，由此得到应终止治疗的时段。4）纵向数据回归模型（处理这类问题的专门方法）将模型2）的 bik分解为固定效应参数bk,与随机效应参数ik之和（k=0,1,2），设ik服从零均值正态分布，利用极大似然估计可以得到bk的估计值及ik的方差。bk的估计值用于计算CD4 的最大点和 HIV 的最小点，它与ik的方差一起可以像2）一样在正态分布假定下计算终止治疗与继续治疗的概率。注 1 建立几种模型相互比较、验证者较优。注 2不能只有模型，不做统计分析；对模型结果进行统计分析，考虑与

14、数据拟合程度、注意去除异常数据者较优。注 3注意到有一些数据是当出现CD4 下降、HIV 上升就及时结束的，并做出适当考虑者较优。注 4注意到题目中“艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少要有效地降低CD4 减少的速度”，并对结果做出适当考虑者较优。问题（2）利用附件2 的数据，评价4 种疗法的优劣，并对较好疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。回归模型方法1分析数据对于每种疗法随机取若干个病人，画出他们CD4 随时间变化的图形（折线），可以看出疗法13 的 CD4 基本上水平，略有下降，而疗法4 有先增后减的趋势。启示应建立时间的一次与二次

15、函数模型，经统计分析比较，确定哪种较优。2建立模型1）回归模型可以引入 4（或 3）个 0-1 变量表示4 种疗法建立统一模型，或者对每种疗法各建立一个模型（一般来说前者较优）；仍可利用问题（1）中的各种模型。以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法13 用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4 在减少，从数值看疗法3 优于疗法 2 和 1；疗法 4 用二次模型较优，即CD4 先增后减，在t=20 左右达到最大。可以通过4 条回归曲线进行比较，显示疗法4 在 30 周之前明显优于其它。年龄的处理：简单地增加年龄变量；按年龄分组，考虑不同年龄的影响。2）用假设检验做疗

16、法有无显著性差异的两两比较用 1 个 0-1 变量构造两种疗法的统一模型，可以用t 检验作回归系数是否为零的假设检验（与回归系数置信区间是否含零点等价）。结果是疗法1 与 2 无显著性差异，而疗法 1 与 3，2 与 3，3 与 4 均有显著性差异。注注意问题（1）的几个注。线性规划模型方法1 数据分析考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如1425 岁,2535 岁,3545 岁及 45 岁以上 4 组。每组中按照4 种疗法和4 个治疗阶段（如010 周，1020 周，2030 周，3040 周），构造 16 个决策单元。取4 种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4 值与开

17、始治疗时CD4 值的比值为输出。2.建立模型利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价。计算结果：对第1 年龄组疗法 2 和 4 在整个治疗中效率较高，在第4 阶段仍然有效；对第2 年龄组疗法1 在第 1，2阶段有效；对第 3 年龄组疗法1，2，3 在第 1 阶段有效；对第 4年龄组疗法1，2 在第 1，2 阶段有效。表明只有1425 岁的年 4 种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法。由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测。若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决

18、策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法。问题（3）如果病人需要考虑4 种疗法的成本，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。根据提供的价格疗法14 每天的费用分别为：1.60（取最大）,3.45,2.45,3.65，显然若经济允许应采用疗法4，否则可设定包含疗效和费用的决策函数，进行决策。考虑费用的线性规划模型将问题（2）中的输入改为4 种疗法的费用，计算结果是疗法2 的效率大大降低，而疗法 4 对第 1 年龄组仍然是最有效的；疗法1 对其它年龄组有效且费用低。可以类似地建立预测模型，并进行预测。2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛C

19、题评阅要点饮料罐(易拉罐)的最优设计涉及很多方面的问题：怎样的制造过程可以降低材料耗损(减少边角料等)、节约能源、用更少的部件来制作、改换材料以减轻重量或更为廉价、变更形状更便于制造和灌装、甚至换一种加工次序等等，其目的就是既要满足用户的需求又要降低成本。据命题人的了解(包括询问可口可乐公司有关人员)，该公司的易拉罐都是铝制的，罐的形状和尺寸有一个演变过程，现在用的两片罐的中心端面形状大致如下：这种罐的制作过程大致如下：先做成一个直圆柱(正圆柱)的杯子，再利用铝的延性，在加热条件下，把罐的侧边拉到一定的高度，略为收口等，便于和较厚的同质圆片焊接，内外涂层，灌装、测试、打包、外运等。在美国，这种

20、形状易拉罐各部分(以千分之一英寸为单位)的厚度大致如下：底部厚:8 11,侧壁厚:4,颈部厚:6,顶盖厚:9.据说在其他地方生产的易拉罐，各部分的厚度可以略有变化。本题主要测试学生在测量或间接获得数据的基础上，经过观察、分析做出合理的简化假设，形成数学模型，正确、合理并简捷地求解相应的数学问题，合理地验证自己的数学模型(合理地解释所测量的易拉罐的形状和尺寸)。特别是，希望学生发挥想象力做出有自己特色的设计建议。更重要的是，这种最优设计的数学建模也许是关键(或重要)的一步，但决不是全部，在有些情况下，物理、工程等考虑可能更重要(或不可忽略)，希望同学了解真正的最优设计是一个相当复杂的过程，数学不

21、可能单打独斗。命题人自己做的数学模型只是从所用材料最少的角度考虑的。在全国组委会的网站上公布的叶其孝教授在太原会议上的讲稿以及在有关杂志上发表的教学论文中，对直圆柱(即问题 2)的情形有比较详细但未必都是合理的解答，对选做本题的同学肯定会有影响，尽管这不是命题人所希望的。1 能够说明自己是怎么测量的，并列表说明(尽管有的数据可能误差较大)，应该说相当好；能够从网上查到比较准确的数据，并说明出处，表明了一种能力，也是相当好的；照抄叶其孝在太原会议上的讲稿(或其他文章)就不太好了。2根据如下的中心端面的形状，可以计算出易拉罐所用材料的总体积(目标函数)。罐内的体积已知(大于 355 立方厘米)为约

22、束条件之一。还应该有其他的约束条件，例如，顶盖有拉环，从而顶盖的直径也是有限制的，要能够用手握住，因此，罐的直径是有限制的，等等。3对于中心端面形状为的情形，如果还考虑材料的体积的话，可以有如下的做法。设饮料罐侧壁材料的厚度为 b,顶盖材料的厚度为ab,底部材料的厚度为db,饮料罐内的体积为V.圆台内部上底的半径为r,下底的半径为R,高为h.圆柱内部的半径为R,高为H.这里 r,R,h,H 为自变量,a,b,d,V 为参数.饮料罐所用材料的总体积(目标函数)为：约束条件和2 中的类似。这部分要求学生能够正确、合理和简捷地求解。能够分析所得计算结果。如果还能够从多元函数无约束极值的判定的充分条件

23、，Hesse 矩阵的正定性等方面进行分析，然后给出合理的结论和解释，这就相当好了。如果能够从其他角度考虑，而且目标函数、约束条件清楚，能够正确、合理和简捷地求解，给出合理的结论和解释，应该说更好了。4 要求学生发挥想象力做出自己的合理的最优设计。从材料总体积的角度考虑，可能有同学会研究中心端面形状为或更复杂的形状的易拉罐。也可以从顶盖圆片下料的角度研究，或者两者结合起来研究，甚至从其他角度来考虑问题。希望有同学会这样做，如果有模型，有说明，结果合理，应该加分。5 主要是想了解大专学生对数学建模的看法和认识，学生是否学到了数学建模的实质和关键步骤。全国组委会特别希望各赛区能够分别整理有独到见解、

24、模糊认识，甚至错误认识的短文，也包括对赛题的意见，以利于我们今后做好大专组(乙组)的命题工作。2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛D 题评阅要点问题（1）按照规程第133 条，当瓦斯相对涌出量不超过10m3/t，且绝对涌出量不超过 40m3/min 时为低瓦斯矿，否则为高瓦斯矿。设主巷道风速为(m/s），平均断面积为(m2)，平均瓦斯浓度为Cg(%)，则风量为 Q=60sv(m3/min），瓦斯绝对涌出量为G=QCg/100(m3/min）。又若煤矿日产量为Ag（t/d），则瓦斯相对涌出量为g=2460G/Ag（m3/t）。按照附表2 粗略估计，=5.2,=5，Cg=0.65,Ag=600

25、,则 G1010,为高瓦斯矿。问题（2）按照规程第168 条，回风巷和工作面的瓦斯浓度不能超过1%，根据附表 2 中的监测数据统计各工作面和各巷道瓦斯浓度超标的次数，以及煤尘与瓦斯混合超标的次数（参照附表1），它们的总和可以作为出现不安全事件的频数，该频数与总监测次数之比可以作为出现不安全事件的程度（概率）。问题（3）根据煤矿开采工作中的实际情况以及规程的实际要求，确定采煤工作面和巷道所需通风量的主要原则是：采煤工作面的瓦斯浓度不超过1%，其他有害气体都不超过规程规定（只考虑瓦斯和煤尘）；能够有效的排出瓦斯和矿尘，但又不能造成煤尘飞扬。1.确定瓦斯浓度与风速的关系各工作面和回风巷的瓦斯浓度与风

26、速、断面面积以及瓦斯涌出量有关，瓦斯涌出量是不可控、不确定的因素，断面面积视为常数，可设瓦斯浓度与风速成反比，利用附表2 各监测点瓦斯浓度和风速的数据，确定瓦斯浓度与风速的近似关系。2.确定煤尘浓度与风速的关系矿井中煤尘浓度与风速有直接关系，一般说来它们呈非线性关系，在风速不大时煤尘浓度随着风速的增加而变小，当风速较大时煤尘浓度随着风速的增加而变大。但是注意到在实际监测中风速变化范围很小，相对稳定，可以在这个较小的范围内视为近似的线性关系，用附表 2 的数据确定。3.确定最佳通风量所谓最佳通风量是指在保证各工作面和回风巷瓦斯浓度与煤尘浓度都不超标的情况下，寻求矿井的最小通风量，形成一个优化问题

27、：目标是总的通风量最小，约束条件包括：按照各井巷风量的分流情况及总通风量与总回风量基本守恒（实际上存在漏风）得到的关系；各工作面的瓦斯浓度不超过1%；在不同瓦斯浓度下煤尘浓度的允许范围；各工作面、巷道和总回风巷的风速标准；局部通风机的额定风量范围；以及巷道可能出现漏风的情况等。这是一个线性（或非线性）规划模型，求解可以得到总通风量、各工作面通风量和局部通风机的额定风量。结果原则上应比现在的总通风量（约1560m3/min）要大，安全性提高，并且按基本守恒原则分配到各工作面。注意：可能会有人在某些问题上采用现有的经验公式来研究，这样做定会涉及到一些具体的待定参数的确定问题，如果对这些待定参数的确定是合理的，则应该也是可行的方法。