全国初中数学竞赛试题及答案(2003年).pdf

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1、中国数学教育网http:/第 1 页http:/http:/共 7 页2003 年全国初中数学联合竞赛决赛试题一、选择题（每小题7 分，共 42 分）1、221217223。A 542B421 C5 D1 2、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是个。A0 B1 C3 D5 3、若函数 ykx(k0)与函数 yx1的图象相交于 A、C 两点，AB 垂直 x 轴于B，则 ABC 的面积为。A1 B2 Ck Dk24、满足等式 x2003xy2003y2003xyxy2003 的正整数对的个数是。A1 B2 C3 D4 5、设 ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 AD AB1

2、 3。若在边 AC 上取一点 E，使四边形 DECB 的面积为43，则EAEC的值为。A21B31C41D516、如图，在平行四边形ABCD 中，过 A、B、C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD相切，若 AB4，BE5，则 ED 的长为。A3 B4 C415D516二、填空题（每小题7 分，共 28 分）1、抛物线 yaxbxc 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C。若 ABC 是直角三角形，则 ac。2、设 m 是整数，且方程3x2mx2=0 的两根都大于59而小于73，则m=_。3、如图，AA1、BB1分别是 EAB、DBC 的平分线，若 AA1BB1AB，则 BAC 的

3、度数为。4、已知正整数 a、b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105 倍，BCDAEADEB1CA1B中国数学教育网http:/第 2 页http:/http:/共 7 页那么 a、b 中较大的数是。三、（本题满分 20 分）在 ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点 E、F，使 DEDF；过 E，F 分别作 CA、CB 的垂线，相交于P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。求证：DEM DFN；PAE PBF。四、（本题满分 20 分）已知实数 a、b、c、d 互不相等，且 aa1bb1cc1d+d1x，试求 x 的值。五、已知：四边形ABCD

4、的面积为 32，AB、CD、AC 的长都是整数，且它们的和为 16。这样的四边形有几个？求这样的四边形边长的平方和的最小值。CEABFPDNM中国数学教育网http:/第 3 页http:/http:/共 7 页试题说明：这是 2004 年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题，请关注。2003 年全国初中数学联赛答案：第一试一、1、(D)；2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360o，故外角中钝角的个数不超过 3 个，即内角中锐角最多不超过3 个。3、(A)；设 A(yx,)，则1

5、xy，故1122ABOSxy。又因为ABO 与 CBO同底等高，因此，21ABCABOSS4、(B)；由已知等式可得(2003)(2003)0 xyxy而20030 xy，所以，20030 xy。故2003xy又因为 2003 为质数，必有12003xy或20031xy5、(B)；如图 3，连结 BE，31144ADES设CExAC，则1ABESx。111,344ADExSx。故13CEEA6、(D)；如图 4，连结 AC、CE。EDCBA中国数学教育网http:/第 4 页http:/http:/共 7 页由 AE BC，知四边形 ABCE 是等腰梯形。故 ACBE5。又因为 Dc AB，D

6、C 与圆相切，所以，BAC ACD ABC。则 ACBCAD5，DCAB4 因为2DCAD DE，故2165DCDEAD二、1、1；设 A12(,0),(,0)xB x。由 ABC 是直角三角形可知12,x x必异号。则120cx xa由射影定理知2OCAOBO，即212ccxxa；故1,1acac2、4；由题设可知，2299320553332077mm解得813342145m。故4m3、12o；设 BAC 的度数为 x因ABBB，故2,4B BDxCBDx又ABAA，则AA BABA CBDx4。因为1(180)2A ABx故1(180)441802xxx，解得12xo4、225；设(ba,

7、)d，且mda，ndb，其中nm，m与 n互质。于是ba,的最小公倍数为 mnd。依题意有120105mdndmndd，即3()23 5(1)3 57(2)mn dmnEDCBA中国数学教育网http:/第 5 页http:/http:/共 7 页又mn，据式(2)可得1051mn353mn215mn157mn根据式(1)，只能取157mn，可求得15d故两个数中较大的数是225md。第二试A 卷一、解：设前后两个二位数分别为yx,，10,99x y有2()100 xyxy；即222(50)()0 xyxyy当224(50)4()4(250099)0yyyy即2500990y，则25y时，方程

8、有实数解50250099xyy由于y2500必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故 y 仅可取 25；此时，30 x或20故所求四位数为 2025 或 3025 二、(1)如图，据题设可知，DM BN，DMBN，DN AM，DNAM 故 AMD BND 因为 M、N 分别是 Rt AEP 和 Rt BFP 斜边的中点，所以，EMAMDN，FNBNDM 又已知 DEDF，故 DEM FDN(2)由上述三角形全等可知 EMD FND，则 AME BNF 而 AME、BNF 均为等腰三角形，所以，PAE PBF PNMFEDCBA中国数学教育网http:/第 6 页

9、http:/http:/共 7 页三、解：由已知有1axb；1bxc；1cxd；1dxa由式解出1bxa式代入式得21xacxax将式代入得211xaxxaxd即32(1)(2)10dxadxda xad由式得axad1，代入式得3()(2)0daxx由已知0da，故320 xx若0 x，则由式可得ca，矛盾。故有22,2xxB 卷一、同(A 卷)第一题的解答。二、如图，分别取 AP、BP 的中点 M、N。连结 EM、DM、FN、DN。由 D 是 AB 的中点，则DM BN，DMBN，DN AM，DNAM。故 AMD BND。又因为 M、N 分别是 Rt AEP、Rt BFP 斜边的中点，所以

10、，EMAMDN，FNBNDM。因为 DEDF，则DEM FDN 故 EMD FND，从而，AME BNF 而 AME、BNF 均为等腰三角形，故 PAE PBF 三、(1)如图，记 ABa，CDb，ACl，并设ABC 的边PFENMDCBA1h2hlbaDCBA中国数学教育网http:/第 7 页http:/http:/共 7 页AB 上的高为1h，ADC 的边 DC 上的高为2h。则ABCDABCADCSSS四边形1211()()22h ah bl ab仅当12hhl时等号成立。即在四边形ABCD 中，当 AC AB，AC CD 时等号成立。由已知可得64()l ab又由题设16abl，可得264(16)64(8)64lll于是，8,8lab，且这时 AC AB，AC CD 因此，这样的四边形有如下4 下：7,1 ba，8;2,6,8labl3,5,8;4,8ablabl它们都是以 AC 为高的梯形或平行四边形。(2)又由 AB a，CDa8，则2222228,8(8)BCaADa因此，这样的四边形的边长的平方和为22222(8)1284(4)192aaa故当4ba时，平方和最小，且为192(C)卷一、同(A 卷)第三题的解答。二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B 卷)第二题三、同(B 卷)第三题解答。MCNFEDBAP