初二数学竞赛试卷.pdf

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1、2003 年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷第2 试(考试时间：2003 年 12 月 28 日 9:30 一一 11:30)一、选择题（每小题6 分，共 30 分）1如图，三个图形的周长相等，则（）（A）cab （B）abc （C）acb （D）cba 2a2aaabbbcccccccc2已知 ab，那么)()(3bxax的值等于（）（A）)()(bxaxax（B）)()(bxaxax（C）)()()(bxaxax（D）)()(bxaxax3若关于 x 的方程|x-2|-1|=a有三个整数解，则 a 的值是（）（A）0（B）1（C）2（D）3 4AD与 BE是 ABC的角平分线，D，E分别在 B

2、C，AC上，若 AD=AB，BE=BC，则 C=（）（A）69（B）0)9623(（C）0)13900(（D）不能确定5已知正数a,b 满足 a3b+ab3-2a2b+2ab2=7ab-8，a2-b2=（）（A）1（B）3（C）5（D）不能确定二、填空题（每小题6 分，共 30 分）6如图，三角形数表第82 行的第 3 个数是 _.7.如图,16 9 的矩形分成四块后可拼成一个正方形,该正方形的周长为_.8.已知naaa,21是正整数,且naaa21,1021naaa,2422221naaa则),(21naaa_.9.今 天 是 星 期 日,若 明 天 是 第一 天,则 第20033-2002

3、3+20013-20003+-23+13天 是 星 期_.10.在 22 的正方形表中填入4 个不同的非零平方数,使每一行、每一列的和都是平方数。（注：平方数是指一个整数的平方）三、解答题（每小题20 分，共 60 分）11数学集训队教练要将一份资料复印给23 名队员，校内复印店规定300 页以内每页1 角ABCDE 12345678910111213141516（第6题）953351016第7题5 分，超过部分每页1 角，这 23 份资料一起复印的费用正好是单份复印时的20 倍，问这份复印资料共有几页？12在 ABC中,ACB=90，是 AB上一点，M是 CD的中点，若BMDAMD，求证：A

4、CDCDA2。ABCDM 13 平面上给定3 个点，证明：可以作出4 个同心圆，使（）这4 个圆的半径都是其中最小圆半径的整数倍；（）这4 个圆所成的3 个圆环中，每个含有一个已知点。2003 年宁波市至诚杯初二数学竞赛参考答案及评分标准一、选择题（每小题6 分，共 30 分）1A 2.D 3.B 4.C 5.B 二、填空题（每小题6 分，共 30 分）6.6564 7.48 8.(1,1,2,3,3)或(1,1,1,1,2,4)（对一个给3 分）9.一 10.152 202 362 482（注意：答案不唯一）二、解答题（每小题20 分，共 60 分）11 解：设这份资料共A页，单份复印费为P

5、1，23 份复印费为P2，则 P2=2OP1。）A300 P1=30015+（A 300）10=10A+1500 P2=30015+（23A 300）10=230A+1500=20P1=20（10A+1500）-530A=191500,A=1950=950）A300，23A300 P1=15A P2=30015+（23A300）10=230A+1500=20P1=2015A 70A=1500，无解。）23A300，P2=1523A=23 P120 P1，无解。A=950 12证明过A作 CD的平行线，交BC的延长线于P,连 AP，交 BM的延长线于N,则CM=MD，PN=NA，PCA=900，

6、CN=PN=NA。ACM=CAN=NCA，NCM=2 ACM （1）MAN=AMD=BMD=MNA MA=MN MD=MC，MA=MN，AMD=BMD=NMC，MAD MNC MDA=MCN （2）由（1）与（2）得 CDA=2 ACD 13.解：连接两个已知点的线段有3 条，作它们的垂直平分线，在这些垂直平分线及已知外，任取一点O为圆心。设 O到这 3 个已知的距离为d1,d2,d3,则它们两两不等且都大于0。不妨假设0d1d2d3，则存在有理数r1，r2，r3，使得 d1r1d2 r 2d3r3，将它们通分得r1=P1/M，r2=P2/M，r3=P3/M，这里 M是它们分母的公倍数。我们可以区M足够大，使1/Md1，令 r0=1/M，则以 r0，r1，r2，r3为半径的同心圆满足所有的要求.NPMDCBA