数学竞赛专题讲座七年级第3讲数轴—数与形的第一次碰撞(含答案).pdf

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1、第三讲数轴数与形的第一次碰撞为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想数形结合思想利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：1运用数轴直观地表示有理数；2运用数轴形象地解释相反数；3运用数轴

2、准确地比较有理数的大小；4运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题例题讲解【例 1】(1)数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是2，且A、B两点的距离为3，那么点B对应的数是 (江苏省竞赛题)(2)在 数 轴 上，点A、B分 别 表 示31和51，则 线 段AB的 中 点 所 表 示 的 数是 (江苏省竞赛题)（3）点A、B分别是数3，21在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到BA，且 线 段BA的 中 点 对 应 的 数 是3，则 点A对 应 的 数 是 _，点A移 动 的 距 离 是_ (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)确定B点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点

3、所表示的数与所选两点所表示的数的联系；（3）在平移的过程中，线段AB的长度不变，即BAAB【例 2】如图，在数轴上有六个点，且EFDECDBCAB，则与点C所表示的数最接近的整数是_思路点拨利用数轴提供的信息，求出AF的长度【例 3】比较a与a1的大小思路点拨因为a表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由aaa11、无意义得出011，a，据此 3 个数把数轴分为6 个部分【例 4】阅读下面材料并回答问题(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB当A、B两点中有一点在

4、原点时，不妨设点A在原点，如图1，babOBAB当A、B两点都不在原点时，如图 2，点A、B都在原点的右边baababOAOBAB；如图 3，点A、B都在原点的左边，baababOAOBAB；如图 4，点A、B在原点的两边，baababOAOBAB)(；综上，数轴上A、B两点之间的距离baAB(2)回答下列问题：数轴上表示2 和 5 的两点之间的距离是，数轴上表示2 和 5 的两点之间的距离是，数轴上表示1 和 3 的两点之间的距离是；数轴上表示x和 1 的两点A和B之间的距离是 ,如果2AB那么x为_；当代数式21xx取最小值时，相应的x的取值范围是(南京市中考题)思路点拨阅读理解从数轴上看

5、，ba的意义链接：有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括：数轴上诸点所表示的数的正负性；数轴上的点到原点的距离 (1)字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围内赋予字母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”，但这种方法不能作为解题的规范过程(2)纯粹的代数方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚至简单化【例5】试求x-1 十x2+x3+,x1997的最小值 (天津市竞赛题)思路点拨由于 x 的任意性、无限

6、性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝对值的几何意义，利用数轴入手，借助【例4】的结论解题【例 6】(1)工作流水线上顺次排列5 个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?(2)如果工作台由5个改为 6 个，那么工具箱应如何放置能使6 个操作机器的人取工具所走的路程之和最短?(3)当流水线上有n个工作台时，怎样放置工具箱最适宜?思路点拨把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决本例的模型数轴，将问题转化为【例4】的形式求解链接：设1a、2a、3a、,na是数轴上依次排列的点表示的有理数当n为偶数时

7、，若122nnaxa，则naxaxax21的值最小；当n为奇数时，若21nax，则naxaxax21的值最小基础训练一、基础夯实：1.在数轴上表示数a 的点到原点的距离为,则 a-3=_.2.a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则1ab、1cb、1ac中最大的是 _.cab0c1ab0DCBA（第 2 题）（第 3 题）（第 4 题）3.(第 12 届“希望杯”邀请赛试题)有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示,若 m=a+b-b-1-a-c-1-c,则 1000m=_.4.如图,工作流程线上A、B、C、D 处各有 1 名工人,且 AB=BC=CD=1,现在工作流程线上安放一个工具箱,使

8、4 个人到工具箱的距离之和为最短,?则工具箱的安放位置是_.5.有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图，化简a+b-c-b 的结果为()A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c cab0DCBAODC BA（第 5 题）（第 6 题）（第 8 题）6.(第 15 届江苏省竞赛题)如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1 个单位,点 A、B、C、D对应的数分别是整数a,b,c,d,且 d-2a=10,那么数轴的原点应是().A.A点 B.B点 C.C点 D.D点7.x+1+x-1 的最小值是().A.2 B.0 C.1 D.-1 8.(第 18 届江苏省竞赛题)数 a、b

9、、c、d 所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示,那么 a+c 与 b+d 的大小关系是().A.a+cb+d D.不确定的9.(北京市“迎春杯”竞赛题)已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1,点 A与原点O的距离为3,求所有满足条件的点B与原点 O的距离的和.10.已知两数a、b,如果 a 比 b 大,试判断 a与 b的大小.二、能力拓展11.有理数 a、b 满足 a0,b0,a0,b0,则使 x-a+x-b=a-b 成立的 x 的取值范围是_.(武汉市选拔赛题)15.(2003年河南省竞赛题)如图,A、B、C、D、E 为数轴上的五个点,且 AB=BC=CD=DE,则图中与 P

10、?点表示的数比较接近的一个数是().EDCBAP A.-1 B.1 C.3 D.5 16.设 y=x-1 +x+1,则下面四个结论中正确的是().A.y没有最小值 B.只有一个x 使 y 取最小值 C.有限个 x(不止一个)使 y 取最小值；D.有无穷多个x 使 y 取最小值17.不相等的有理数a、b、c 在数轴上对应点分别为A、B、C,若 a-b+b-?c =a-c,那么点 B().A.在 A、C点右边；B.在 A、C点左边；C.在 A、C点之间；D.以上均有可能18.试求 x-2+x-4+,+x-6+x-2000 的最小值.19.电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从 K0向左跳 1 个单

11、位到 K1,第二步由 K1向右跳 2 个单位到 K2,第三步由K2向左跳 3 个单位到K3,第四步由K3向右跳 4 个单位到K4,?按以上规律跳了 100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94,?试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数.三、综合创新20.如图,在数轴上(未标出原点及单位长度)点 A为线段 BC的中点,已知点 A、B、C对应的三个数 a、b、c 之积是负数，这三个数之和与其中一数相等，设p 为 a、b、c 三数中两数的比值，求p 的最大值和最小值。CBA21.(湖北省荆州市竞赛题)某城镇沿环形路上依次排列有五所小学:A1、A2、A3、A4、A5,?它们顺次有

12、电脑15 台、7 台、11 台、3 台、14 台,为使各校的电脑数相同,?允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最少总台数.答案：1.0 或-6 2.1cb 3.-2000 4.放 B、C(含 B、C)之间任一处 5.A 6.B 7.A 8.?A 9.12 提示:点 A表示的数为3 或-3,满足条件的点B共有 4 个.10.当点 B在原点的右边时,0bb;当点 A在原点的左边时,ba?0,则 ab;当点A、B 分别在原点的右、左两侧时,b0a,这时无法比较a与 b的大小关系;当点 A正好在原点位置时,ba;当点 B?正好在原点位置时,0=bb.11.

13、b-aa-b.12.4 13.2m 14.bx a 15.C 16.D 17.C 18.500000 提示:当 1000 x1002 时,原式有最小值,这个最小值为:(1002-2)+(1004-4)+,+(2000-1000)=500000.19.-30.06 提示:设 k0点表示的有理数为x,则 k1、k2,k100点所表示的有理数分别为x-1,x-1+2,x-1+2-3,x-1+2-3+4,-99+100,由题意得:x-1+2-3+?4-?,-?99+100=19.94,解得 x=-30.06.20.由图知 abc0,知 b0ac 或 bac0，0b，0ba，将四个数a，b，a，b按由小

14、到大的顺序排列是_ (江苏省首届数学文化节基础闯关题)3如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3 个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上的数字0 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、,所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、,所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系（1）圆周上的数字a与数轴上的数5 对应，则a=_；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周为正整数）nn(圈后，并落在圆周上数字1 所对应的位置，这个整数是_（用含n的代数式表示）（江西省中考题）4在数轴上任取一条

15、长度为911999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）A1998 B1999 C2000 D2001 (重庆市竞赛题)5在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示有下面四个结论：0abc；cacbba；0)()(accbba；bca1其中，正确的结论有（）个A4 B3 C2 D 1（“希望杯”邀请赛试题）6在数轴上，若点 N与点 O距离是点N与 30 所对应点之间距离的 4倍，则点N表示的数是 _（河南省竞赛题）7一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3 步后退 2 步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1 步，并且每步的距离为1 个单位长，nx表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：33x；15x；104103xx；20082007xx其中，正确的结论的序号是（）A、B、C、D、（镇江市中考题）数缺形时少直观，形缺数时难入微华罗庚343221012021001203210543210Acba1-10