历届全国大学生数学竞赛预赛试题.pdf

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1、全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5 分，共 20 分）1计算()ln(1)d d1Dyxyxx yxy_，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.2设)(xf是连续函数，且满足220()3()d2f xxf xx，则()f x_.3曲面2222xzy平行平面022zyx的切平面方程是_.4设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy_.二、（5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.三、（15 分）设函数)(xf连续，10(

2、)()g xf xt dt，且Axxfx)(lim0，A为常数，求()g x并讨论)(xg在0 x处的连续性.四、（15 分）已知平面区域0,0|),(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、（10 分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10 分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10 x时，0y，又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,，使此图形绕x轴旋

3、转一周而成的旋转体的体积V最小.七、（15 分）已知)(xun满足1()()1,2,nxnnuxuxxen，且neun)1(，求函数项级数1)(nnxu之和.八、（10 分）求1x时，与02nnx等价的无穷大量.2010 年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（25 分，每小题5 分）（1）设22(1)(1)(1)nnxaaa，其中|1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex.（3）设0s，求0(1,2,)sxnnIex dx n.（4）设函数()f t有二阶连续导数，221,(,)rxyg x yfr，求2222ggxy.（5）求直线10:0 xylz与直线2213:4

4、21xyzl的距离.二、（15 分）设函数()f x在(,)上具有二阶导数，并且()0fx，lim()0 xfx，lim()0 xfx，且存在一点0 x，使得0()0f x.证明：方程()0f x在(,)恰有两个实根.三、（15 分）设函数()yf x由参数方程22(1)()xtttyt所确定，且22d3d4(1)yxt，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t.四、（15 分）设10,nnnkkaSa，证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散.五、（15 分）设l是过原点、方向为(,)，（其中22

5、21)的直线，均匀椭球2222221xyzabc（其中0cba，密度为1）绕l旋转.（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值.六、(15 分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422d()d0Lxy xxyxy的值为常数.（1）设L为正向闭曲线22(2)1xy，证明422d()d0Lxy xxyxy；（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d()dCxy xxyxy.2011 年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、计算下列各题（本题共3 小题，每小题各5 分，共 15 分）（1）求11

6、 cos0sinlimxxxx；（2）.求111lim.12nnnnn；（3）已知2ln 1arctanttxeyte，求22ddyx.二、（本题10 分）求方程24 d1 d0 xyxxyy的通解.三、（本题15 分）设函数()f x在0 x的某邻域内具有二阶连续导数，且0,0,0fff均不为 0，证明：存在唯一一组实数123,k kk，使得12320230lim0hk f hk fhk fhfh.四、（本题 17 分）设2221222:1xyzabc，其中0abc，2222:zxy，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（本题 16 分）已知S是空间曲线

7、22310 xyz绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）（取上侧），是S在(,)P x y z点处的切平面，(,)x y z是原点到切平面的距离，,表示S的正法向的方向余弦.计算：（1）d,SzSx y z；（2）3dSzxyzS六、（本题12 分）设()f x是在(,)内的可微函数，且()()fxmf x，其中01m，任取实数0a，定义1ln(),1,2,.nnaf an，证明：11()nnnaa绝对收敛.七、（本题 15 分）是否存在区间0,2上的连续可微函数()f x，满足(0)(2)1ff，()1fx，20()d1f xx?请说明理由.2012 年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非

8、数学类）一、（本大题共5 小题，每小题6 分，共 30 分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限21lim(!)nnn.（2）求通过直线2320:55430 xyzlxyz的两个互相垂直的平面1和2，使其中一个平面过点(4,3,1).（3）已知函数(,)axbyzu xy e，且20ux y.确定常数a和b，使函数(,)zz xy满足方程20zzzzxyxy.（4）设函数()uu x连续可微，(2)1u，且3(2)d()dLxyu xx u u y在右半平面与路径无关，求(,)u x y.（5）求极限13sinlimdcosxxxtxttt.二、（本题10 分）计算20sindxex

9、x.三、（本题10 分）求方程21sin2501xxx的近似解，精确到0.001.四、（本题 12 分）设函数()yf x二阶可导，且()0fx，(0)0f，(0)0f，求330()lim()sinxx f uf xu，其中u是曲线()yf x上点(,()P xf x处的切线在x轴上的截距.五、（本题 12 分）求最小实数C，使得满足10()d1f xx的连续函数()f x都有10()fx dxC.六、（本题12 分）设()f x为连续函数，0t.区域是由抛物面22zxy和球面2222xyzt(0)z所围起来的部分.定义三重积分222()()dF tf xyzv，求()F t的导数()Ft.七

10、、（本题14 分）设1nna与1nnb为正项级数，证明：（1）若111lim0nnnnnaabb，则级数1nna收敛；（2）若111lim0nnnnnaabb，且级数1nnb发散，则级数1nna发散.2013 年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6 分，共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限2lim 1sin14nnn.2.证明广义积分0sindxxx不是绝对收敛的.3.设函数()yy x由323322xx yy确定，求()y x的极值.4.过曲线3(0)yx x上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标.二、（满分12

11、 分）计算定积分2sinarctand1cosxxxeIxx.三、（满分 12 分）设fx在0 x处存在二阶导数(0)f，且0l i m0 xfxx.证明：级数11nfn收敛.四、（满分12 分）设(),()0()f xfxmaxb，证明2sin()dbaf xxm.五、（满 分14分）设是 一 个 光 滑 封 闭 曲 面，方 向 朝 外.给 定 第 二 型 的 曲 面 积 分333d d2d d3d dIxxy zyyz xzzx y.试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值.六、（满分14 分）设22dd()()aaCy xx yIrxy，其中a为常数，曲线C为椭圆222xxyyr，取正

12、向.求极限lim()arIr.七、（满分14 分）判断级数1111212nnnn的敛散性，若收敛，求其和.2014 年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（共有5 小题，每题6 分，共 30 分）1.已知1xye 和1xyxe 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.2.设有曲面22:2S zxy 和平面022:zyxL.则与L平行的S的切平面方程是.3.设函数()yy x 由方程21sind4y xtxt 所确定.求0ddxyx.4.设1(1)!nnkkxk，则nnxlim.5.已知130()lim 1xxf xxex，则20)(limxxfx.二、（本题 12 分）

13、设n为正整数，计算21d1cos lnddneIxxx.三、（本题14 分）设函数()fx 在1,0上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f xA，|()|fxB.证明：对任意 1,0 x，有22|)(|BAxf.四、（本题 14 分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R.证明该球缺体积为2)3(3hhR，球冠面积为Rh2；（2）设球体12)1()1()1(222zyx被平面6:zyxP所截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分d dd dd dIx y zy z xz x y.五、（本题15 分）设f在,ba上 非负 连 续，严格 单增，且存 在,baxn，使 得b

14、annndxxfabxf)(1)(.求nnxlim.六、（本题 15 分）设2222212nnnnAnnnn，求nnAn4lim.2015 年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题6 分，共 5 小题，满分30 分）（1）极限2222sinsinsinlim12nnnnnnnn.（2）设函数,zz x y由方程,0zzFxyyx所决定，其中,F u v具有连续偏导数，且0uvxFyF则zzxyxy.（3）曲面221zxy在点1,1,3M的切平面与曲面所围区域的体积是.（4）函数3,5,00,0,5xfxx在5,5的傅立叶级数在0 x收敛的是.（5）设区间0,上的函数u

15、x定义域为20 xtu xedt，则u x的初等函数表达式是.二、（12 分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.三、（12 分）设fx在,a b内二次可导，且存在常数,，使得对于,xa b，有fxfxfx，则fx在,a b内无穷次可导.四、（14 分）求幂级数30211!nnnxn的收敛域及其和函数.五、（16 分）设函数fx在0,1上连续，且11000,1fx dxxfx dx.试证：（1）00,1x使04fx；（2）10,1x使14fx.五、（16 分）设,fx y在221xy上有连续的二阶偏导数，且2222xxxyyyfffM.若0,00,0,00,00 xyfff，证明：2

16、21,4xyMfx y dxdy.2016 年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5 分，满分30 分）1、若fx在点xa可导，且0f a，则1limnnfanf a_.2、若10f，1f存在，求极限220sincostan3lim1 sinxxfxxxIex.3、设fx有连续导数，且12f，记2xzf e y，若zzx，求fx在0 x的表达式.4、设sin2xfxex，求02na，40f.5、求曲面222xzy平行于平面220 xyz的切平面方程.二、（14 分）设fx在0,1上可导，00f，且当0,1x，01fx，试证当0,1a，2300ddaafxxfxx.三、

17、（14 分）某物体所在的空间区域为222:22xyzxyz，密度函数为222xyz，求质量222d d dMxyzx y z.四、（14 分）设函数fx在闭区间0,1上具有连续导数，00f，11f，证明：10111lim2nnkknfx dxfnn.五、（14 分）设函数fx在闭区间0,1上连续，且10d0Ifxx，证明：在0,1内存在不同的两点12,x x，使得12112fxfxI.六、（14 分）设fx在,可导，且23fxfxfx.用 Fourier级数理论证明fx为常数.2017 年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、1.已知可导函数满足xxtdttfxxf01sin)(2)

18、(cos，则()f x=_.2求nnn22sinlim.3.设(,)wf u v具有二阶连续偏导数，且=+u xcy v x cy，其中c为非零常数.则21xxyywwc=_.4.设()f x有二阶导数连续，且(0)(0)0,(0)6fff，则240(sin)limxfxx=_.5.不定积分sin2sin2(1sin)xexIdxx=_.6.记曲面222zxy和224zxy围成空间区域为V，则三重积分Vzdxdydz=_.二、（本题满分14 分)设二元函数(,)f x y在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度，定义一元函数()(cos,sin)gtf tt.若对任何都有(0)0dgdt且22(0)0d gdt.证明)0,0(f是(,)f x y的极小值.三、(本题满分14 分)设曲线为在2221xyz，1xz，0,0,0 xyz上从(1,0,0)A到(0,0,1)B的一段.求曲线积分xdzzdyydxI.四、(本 题 满分15分)设函数()0f x且在实轴上连续，若对任意实数t，有|()1txef x dx，则,()a b ab，2()2babaf x dx.五、(本题满分15 分)设na为一个数列，p为固定的正整数。若limn pnnaa，其中为常数，证明limnnanp.