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1、2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题(本题满分42 分,每小题7 分)1.设71a,则32312612aaa(A)A.24.B.25.C.4 710.D.4 712.2在 ABC中,最大角A是最小角C 的两倍,且AB 7,AC 8,则BC(C)A.7 2.B.10.C.105.D.7 3.3 用 x表 示 不 大 于x的 最 大 整 数,则 方 程22 30 xx的 解 的 个 数 为(C)A.1.B.2.C.3.D.4.4设正方形ABCD 的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它
2、们的面积相等的概率为(B)A.314.B.37.C.12.D.47.5如图,在矩形ABCD 中,AB 3,BC2,以 BC 为直径在矩形内作半圆,自点A 作半圆的切线 AE,则sinCBE(D)A.63.B.23.C.13.D.1010.6 设n是 大 于1909的 正 整 数,使 得19092009nn为 完 全 平 方 数 的n的 个 数 是(B)A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空题(本题满分28 分,每小题7 分)1已知t是实数,若,a b是关于x的一元二次方程2210 xxt的两个非负实根,则22(1)(1)ab的最小值是 _3_.DABCE2 设 D 是 ABC 的边 AB 上
3、的一点,作DE/BC 交 AC 于点 E,作 DF/AC 交 BC 于点 F,已知 ADE、DBF 的面积分别为m和n,则四边形DECF 的面积为 _2 mn_.3 如果实数,a b满足条件221ab,22|12|21ababa,则ab_1_.4已知,a b是正整数,且满足15152()ab是整数,则这样的有序数对(,)a b共有 _7_对.第二试(A)一(本题满分20 分)已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C.设 ABC 的外接圆的圆心为点P.(1)证明:P 与y轴的另一个交点为定点.(2)如果 AB 恰好为 P 的直径且2ABCS,求b和c的值.
4、解(1)易求得点C的坐标为(0,)c,设1A(,0)x,2B(,0)x,则12xxb,12x xc.设 P 与y轴的另一个交点为D,由于 AB、CD 是 P 的两条相交弦,它们的交点为点O,所以 OA OBOCOD,则121x xcOA OBODOCcc.因为0c,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D 在y轴的正半轴上,所以点D 为定点,它的坐标为(0,1).(2)因为 ABCD,如果 AB 恰好为 P 的直径,则C、D 关于点 O 对称,所以点C的坐标为(0,1),即1c.又222121212()4()44ABxxxxx xbcb,所以2114 1222ABCSAB OCb,解得2 3b.二(
5、本题满分25 分)设 CD 是直角三角形ABC 的斜边 AD 上的高,1I、2I分别是 ADC、BDC 的内心,AC3,BC4,求1I2I.解作1IEAB 于 E,2IFAB 于 F.在直角三角形ABC 中,AC 3,BC 4,22AB=AC+BC5.又 CDAB,由射影定理可得2AC9A D=AB5,故16BD=ABAD5,2212CD=ACAD5.因为1IE 为直角三角形ACD 的内切圆的半径,所以1I E13(ADCDAC)25.连接 D1I、D2I,则 D1I、D2I分别是 ADC 和 BDC 的平分线,所以1IDC1IDA 2IDC 2IDB 45 ,故 1ID2I 90 ,所 以1
6、ID 2ID,1113I E3 25DIsinADIsin455.同理,可求得24I F5,242D I5.所以1I2I2212D ID I2.三(本题满分25 分)已知,a b c为正数,满足如下两个条件:32abc14bcacababcbccaab证明:以,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法 1 将两式相乘,得()()8bcacababcabcbccaab,即222222()()()8bcacababcbccaab,即222222()()()440bcacababcbccaab,FEI1I2DBAC即222222()()()0bcacababcbccaab,即()()()()()()
7、0bca bcacab cababcabcbccaab,即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc,即222()20bcaababcabc,即22()()0bcacababc,即()()()0bcacabcababc,所以0bca或0cab或0cab,即bac或cab或cba.因此,以,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法 2 结合式,由式可得32232232214abcbccaab,变形,得222110242()4abcabc又由式得2()1024abc,即22210242()abcabbcca,代入式,得11024210242()4abbccaabc,即1 6()4
8、 0 9 6a b ca b b c c a.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160,所以16a或16b或16c.结合式可得bac或cab或cba.因此,以,abc为三边长可构成一个直角三角形.第二试(B)一(本题满分20 分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二(本题满分25 分)已知 ABC 中,ACB 90,AB 边上的高线CH与 ABC 的两条内角平分线AM、BN 分别交于P、Q 两点.PM、QN 的中点分别为 E、F.求证:EFAB.解因为 BN 是 ABC 的平分线,所以ABNCBN.又因为 CHAB,所以CQNBQH
9、90ABN90CBNCNB,因此CQNC.又 F 是 QN 的中点,所以CFQN,所以CFB90CHB,因此 C、F、H、B 四点共圆.又FBH=FBC,所以 FCFH,故点 F 在 CH 的中垂线上.同理可证,点E 在 CH 的中垂线上.因此 EFCH.又 ABCH,所以 EFAB.三(本题满分25 分)题目和解答与(A)卷第三题相同.第二试(C)一(本题满分20 分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二(本题满分25 分)题目和解答与(B)卷第二题相同.三(本题满分25 分)已知,a b c为正数,满足如下两个条件:32abc14bcacababcbccaab是否存在以,abc为三边长的三角
10、形?如果存在,求出三角形的最大内角.解法 1 将两式相乘,得()()8bcacababcabcbccaab,即222222()()()8bcacababcbccaab,即222222()()()440bcacababcbccaab,FQEPHNMACB即222222()()()0bcacababcbccaab,即()()()()()()0bca bcacab cababcabcbccaab,即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc,即222()20bcaababcabc,即22()()0bcacababc,即()()()0bcacabcababc,所以0bca或0cab或
11、0cab,即bac或cab或cba.因此,以,abc为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90.解法 2 结合式,由式可得32232232214abcbccaab,变形,得222110242()4abcabc又由式得2()1024abc,即22210242()abcabbcca,代入式,得11024210242()4abbccaabc,即1 6()4 0 9 6a b ca b b c c a.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160,所以16a或16b或16c.结合式可得bac或cab或cba.因此,以,abc为三边长可构
12、成一个直角三角形,它的最大内角为90.第一试一、选择题(本题满分42 分,每小题7 分)1.设71a,则32312612aaa(A)A.24.B.25.C.4 710.D.4 712.2 在 ABC中,最大角A 是最小角C 的两倍,且AB 7,AC 8,则BC(C)A.7 2.B.10.C.105.D.7 3.3 用 x表 示 不 大 于x的 最 大 整 数,则 方 程2230 xx的 解 的 个 数 为(C )A.1.B.2.C.3.D.4.4设正方形ABCD 的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为(B)A.314.B.37
13、.C.12.D.47.5如图,在矩形ABCD 中,AB 3,BC 2,以 BC 为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sinCBE(D)A.63.B.23.C.13.D.1010.6 设n是 大 于1909 的 正 整 数,使 得19092009nn为 完 全 平 方 数 的n的 个 数 是(B)A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空题(本题满分28 分,每小题7 分)1已知t是实数,若,a b是关于x的一元二次方程2210 xxt的两个非负实根,则22(1)(1)ab的最小值是 _3_.2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点,作DE/BC 交 AC 于点 E,作 DF/AC
14、 交 BC 于点 F,已知 ADE、DBF 的面积分别为m和n,则四边形DECF 的面积为 _2 mn_.DABCE3 如 果 实 数,a b满 足 条 件221ab,22|12|21ababa,则ab_1_.4已知,a b是正整数,且满足15152()ab是整数,则这样的有序数对(,)a b共有_7_对.第二试(A)一(本题满分20 分)已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为 A、B,与y轴的交点为C.设 ABC 的外接圆的圆心为点P.(1)证明:P与y轴的另一个交点为定点.(2)如果 AB 恰好为 P 的直径且2ABCS,求b和c的值.解(1)易求得点C的坐标为(0,)c
15、,设1A(,0)x,2B(,0)x,则12xxb,12x xc.设 P与y轴的另一个交点为D,由于 AB、CD 是 P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以 OA OBOCOD,则121x xcOAOBODOCcc.因为0c,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D 在y轴的正半轴上,所以点D 为定点,它的坐标为(0,1).(2)因为 AB CD,如果 AB 恰好为 P 的直径,则C、D 关于点 O 对称,所以点C的坐标为(0,1),即1c.又222121212()4()44ABxxxxx xbcb,所以2114 1222ABCSAB OCb,解得2 3b.二(本题满分25 分)设 CD 是直角三角形
16、ABC 的斜边 AD 上的高,1I、2I分别是ADC、BDC的内心,AC3,BC4,求1I2I.解作1IEAB 于 E,2IFAB 于 F.在直角三角形ABC 中,AC 3,BC4,22AB=AC+BC5.FEI1I2DBAC又 CD AB,由射影定理可得2AC9A D=AB5,故16BD=ABAD5,2212CD=ACAD5.因为1IE 为直角三角形ACD 的内切圆的半径,所以1I E13(ADCDAC)25.连接 D1I、D2I,则 D1I、D2I分别是 ADC 和 BDC 的平分线,所以1IDC1IDA 2IDC 2IDB 45 ,故 1ID2I 90 ,所 以1ID 2ID,1113I
17、 E3 25DIsinADIsin455.同理,可求得24I F5,24 2D I5.所以1I2I2212D ID I2.三(本题满分25 分)已知,a b c为正数,满足如下两个条件:32abc14bcacababcbccaab证明:以,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法 1将两式相乘,得()()8bcacababcabcbccaab,即222222()()()8bcacababcbccaab,即222222()()()440bcacababcbccaab,即222222()()()0bcacababcbccaab,即()()()()()()0bca bcacab cababcabcb
18、ccaab,即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc,即222()20bcaababcabc,即22()()0bcacababc,即()()()0bcacab cababc,所以0bca或0cab或0cab,即b a c或cab或cba.因此,以,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法 2结合式,由式可得32232232214abcbccaab,变形,得222110242()4abcabc又由式得2()1024abc,即22210242()abcabbcca,代入式,得11024210242()4abbccaabc,即16()abcabbcca.3(16)(16)(16
19、)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160,所以16a或16b或16c.结合式可得bac或cab或cba.因此,以,abc为三边长可构成一个直角三角形.第二试(B)一(本题满分20 分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二(本题满分25 分)已知 ABC 中,ACB 90,AB 边上的高线CH 与 ABC 的两条内角平分线AM、BN 分别交于P、Q 两点.PM、QN 的中点分别为 E、F.求证:EFAB.解因为 BN 是 ABC 的平分线,所以ABNCBN.又因为 CHAB,所以CQNBQH90ABN90CBNCNB,因此CQNC.又 F 是 QN 的中点,
20、所以CFQN,所以CFB90CHB,因此 C、F、H、B四点共圆.又FBH=FBC,所以 FCFH,故点 F 在 CH 的中垂线上.同理可证,点E 在 CH 的中垂线上.因此 EFCH.又 AB CH,所以 EF AB.三(本题满分25 分)题目和解答与(A)卷第三题相同.第二试(C)FQEPHNMACB一(本题满分20 分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二(本题满分25 分)题目和解答与(B)卷第二题相同.三(本题满分25 分)已知,a b c为正数,满足如下两个条件:32abc14bcacababcbccaab是否存在以,abc为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.解法 1将
21、两式相乘,得()()8bcacababcabcbccaab,即222222()()()8bcacababcbccaab,即222222()()()440bcacababcbccaab,即222222()()()0bcacababcbccaab,即()()()()()()0bca bcacab cababcabcbccaab,即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc,即222()20bcaababcabc,即22()()0bcacababc,即()()()0bcacab cababc,所以0bca或0cab或0cab,即b a c或cab或cba.因此,以,abc为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90.解法 2结合式,由式可得32232232214abcbccaab,变形,得222110242()4abcabc又由式得2()1024abc,即22210242()abcabbcca,代入式,得11024210242()4abbccaabc,即16()abcabbcca.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160,所以16a或16b或16c.结合式可得bac或cab或cba.因此,以,abc为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90.
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