高中数学竞赛平面几何基本定理(20220317002807).pdf

《高中数学竞赛平面几何基本定理(20220317002807).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛平面几何基本定理(20220317002807).pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有)(22222BPAPACAB；中线长：222222acbma4 垂线定理：2222BDBCADACCDAB高线长：CbBcAabccpbpappahasinsinsin)()(25 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成

2、的两条线段与这个角的两边对应成比例如 ABC 中，AD 平分 BAC，则ACABDCBD；（外角平分线定理）角平分线长：2cos2)(2Acbbcapbcpcbta（其中p为周长一半）6 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，（其中R为三角形外接圆半径）7 余弦定理：Cabbaccos22228 张角定理：ABDACACBADADBACsinsinsin9 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC 及其底边上B、C 两点间的一点D，则有 AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半（圆外角如何转化？）11 弦切角定理：弦切角

3、等于夹弧所对的圆周角12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD 中，ACBD，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14 点到圆的幂：设P 为 O 所在平面上任意一点，PO=d，O 的半径为 r，则 d2r2就是点 P 对于 O 的幂过 P任作一直线与O 交于点 A、B，则 P A PB=|d2r2|“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交

4、于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点15 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC BD=AB CD+AD BC，(逆命题成立)（广义托勒密定理）AB CD+AD BCAC BD16 蝴蝶定理：AB 是 O 的弦，M 是其中点，弦CD、EF 经过点 M，CF、DE 交 AB 于 P、Q，求证：MP=QM17 费马点：定理 1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定

5、理 2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点18 拿破仑三角形：在任意ABC 的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，则 AE、AB、CD 三线共点，并且AEBF CD，这个命题称为拿破仑定理以ABC 的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆 C1、A1、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1、A1、B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC 的三条边分别向ABC 的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2、A2、

6、B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2、A2、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理20 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上2

7、1 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则 d2=R22Rr22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和23 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1 的两部分；)3,3(CBACBAyyyxxxG重心性质：（1）设 G 为ABC 的重心，连结AG 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则1:2:GDAG；（2）设 G 为ABC 的重心，则ABCACGBCGABGSSSS31；（3）设 G 为ABC 的重心，过G 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 G 作 PFAC 交

8、AB 于 P，交 BC于 F，过 G 作 HK AB 交 AC 于 K，交 BC 于 H，则2;32ABKHCAFPBCDEABKHCAFPBCDE；（4）设 G 为ABC 的重心，则222222333GCABGBCAGABC；)(31222222CABCABGCGBGA；22222223PGGCGBGAPCPBPA（P 为ABC 内任意一点）；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GCGBGA最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为ABC 的重心）24 垂心：三角形的三条高线的交点；)coscoscoscoscoscos,coscosco

9、scoscoscos(CcBbAayCcyBbyAaCcBbAaxCcxBbxAaHCBACBA垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍；（2）垂心 H 关于ABC 的三边的对称点，均在ABC 的外接圆上；（3）ABC 的垂心为 H，则ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆；（4）设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则HCABCOABHCBOHACBAO,25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cbacybyaycbacxbxaxICBACBA内心性质：（1）设 I 为ABC 的内心，则I 到ABC 三边的距

10、离相等，反之亦然；（2）设 I 为ABC 的内心，则CAIBBAICABIC2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A 平分线交ABC外接圆于点K，I 为线段 AK 上的点且满足KI=KB，则 I 为ABC 的内心；（4）设I 为ABC 的内心，,cABbACaBCA平分线交BC 于 D，交ABC 外接圆于点K，则acbKDIKKIAKIDAI；（5）设 I 为ABC 的内心，,cABbACaBCI 在ABACBC,上的射影分别为FED,，内切圆半径为r，令)(21cbap，则prSABC；cpCDCEbpBFBDapA

11、FAE;；CIBIAIpabcr26 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin2sin2sin2sin2sin2sin,2sin2sin2sin2sin2sin2sin(CBACyByAyCBACxBxAxOCBACBA外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设 O 为ABC 的外心，则ABOC2或ABOC2360；（3）SabcR4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27 旁心：一内角平分线与两外 角平分线交点 旁切圆圆心；设ABC 的三 边,cABbACaBC令)(21cbap，分别与ABACBC,外侧相切

12、的旁切圆圆心记为CBAIII,，其半径分别记为CBArrr,旁心性质：（1）,21,2190ACBICBIACBICBA（对于顶角B，C 也有类似的式子）；（2）)(21CAIIICBA；（3）设AAI的连线交ABC 的外接圆于D，则DCDBDIA（对于CBCIBI,有同样的结论）；（4）ABC 是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圆半径R 等于ABC 的直径为 2R28 三角形面积公式：CBARRabcCabahSaABCsinsinsin24sin21212)cotcot(cot4222CBAcba)()(cpbpapppr，其中ah表示 BC 边上的高，R为外接圆半径，r为内

13、切圆半径，)(21cbap29 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin2cos2cos4,2cos2sin2cos4,2cos2cos2sin4;2sin2sin2sin4CBARrCBARrCBARrCBARrcba.1111;2tan2tan,2tan2tan,2tan2tanrrrrBArrCArrCBrrcbacba30 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有1RBARQACQPCBP（逆定理也成立）31 梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC 的A 的外角平分线交边CA

14、 于 Q，C 的平分线交边AB 于 R，B 的平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线32 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC 的三个顶点A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB 的延长线交于点P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线33 塞瓦(Ceva)定理：设 X、Y、Z 分别为 ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZZBBXXCCYY A=134 塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边AB、AC 的交点分别是D、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS一定过边 BC 的中点 M35

15、塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC 的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点38 西摩松（Simson）定理：从ABC 的外接圆上任意一点P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则 D、E、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 关于西摩松线的定理1：ABC 的外接圆的两个端点P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其

16、交点在九点圆上41 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42 史坦纳定理：设ABC 的垂心为 H，其外接圆的任意点P，这时关于ABC 的点 P的西摩松线通过线段PH 的中心43 史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC、CA、AB 的对称点和ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点P 关于ABC 的镜象线44 牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线45 牛顿定理 2：圆

17、外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线46 笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线47 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线48 波朗杰、腾下定理：设ABC 的外接圆上的三点为P、Q、R，则 P、Q、R 关于ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2)49 波朗杰、腾下定理推论1：设 P、Q、R 为

18、ABC 的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC 的西摩松线交于一点，则 A、B、C 三点关于PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点50 波朗杰、腾下定理推论2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点51 波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC 的外接圆上的一点P 的关于ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R 的关于ABC 的西摩松线交于一点52 波朗杰、腾下定理推论4：从ABC 的顶点向边BC、CA、AB 引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边 BC、CA、AB

19、 的中点分别是L、M、N，则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上，这时L、M、N 点关于关于ABC 的西摩松线交于一点53 卡诺定理：通过ABC 的外接圆的一点P，引与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线54 奥倍尔定理：通过ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC 的外接圆的交点分别是L、M、N，在ABC 的外接圆上取一点P，则 PL、PM、PN 与ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线55 清宫定理：设P、Q 为ABC 的外接

20、圆的异于A、B、C 的两点，P 点的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线56 他拿定理：设P、Q 为关于ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线（反点：P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点，如果OC2=OQ OP 则称 P、Q 两点关于圆O 互为反点）57 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D

21、1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作 P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上58 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59 一个圆周上有n 个点，从其中任意n1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点61 康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D 四点及 M、N 两点，则 M 和 N 点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC 中的每一个的两条

22、西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做M、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线62 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点，则 M、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点这个点叫做M、N、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点63 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及 M、N、L 三点，则 M、N、L 三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上这条直线叫做M、N、L 三点关于五边形A、B、C、D、E 的康托尔

23、线64 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切65 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形这个三角形常被称作莫利正三角形66 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和 D、B 和 E、C 和 F，则这三线共点67 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的（或延长线的）交点共线68 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B 的距离之比为定比m：n（值不为 1）的点 P，位于将线段AB 分成m：n 的内分点

24、 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上这个圆称为阿波罗尼斯圆69 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆70 密格尔（Miquel）点：若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点71 葛尔刚（Gergonne）点：ABC 的内切圆分别切边AB、BC、CA 于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点72 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222ABCD4|RdRSSEF