数学分析习题集(20220301213559).pdf

《数学分析习题集(20220301213559).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析习题集(20220301213559).pdf（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、武汉科技学院理学院 1数学分析习题集 武汉科技学院理学院 武汉科技学院理学院 2目 录 第一章 实数集与函数 3 第二章 数列极限 5 第三章 函数极限 8 第四章 函数的连续性 10 第五章 导数与微分 12 第六章 微分中值定理及其应用 14 第七章 实数的完备性 18 第八章 不定积分 20 第九章 定积分 22 第十章 定积分的应用 25 第十一章 反常积分 26 武汉科技学院理学院 3第一章实数集与函数 一：典型习题.1.设a为有理数，为无理数.证明：xxa为无理数.2.证明:对任何有Rx4|3|2|1|-+-+-+xxxx.3.设集合,21|+=NnxxSn.求的上、下确界，并用确

2、界的定义加以证明.S4.证明：若数集E的上(下)确界存在，则它必唯一存在.5.设是非空数集，证明：RBA?,BABBAsupinfinf?；如果x.8.设为n个正实数，证明：nxxx,21)(1111212121nnnnxxxnxxxxxxn+.武汉科技学院理学院 4二：考研荟萃.1.(中国人民大学)设249)3lg(1)(xxxf-+-=，求的定义域和.)(xf)7(-ff2.(南京邮电大学，兰州铁道学院)已知21)(xxxf+=，设=)(xfn(个)，求.)(xfffnf)(xfn3.(清华大学)设函数在)(xf),(+-上是奇函数，且对任何 值均有af=)1(x)2()()2(fxfxf

3、=-+.试用a表示与；)2(f)5(f 问a取何值时，是以 2 为周期的周期函数.)(xf4.(北京科技大学)叙述数集A的上确界的定义.并证明：对任意有界数列，总有,nnyxsupsupsupnnnnyxyx+.武汉科技学院理学院 5第二章 数列极限 一：典型习题.1.利用数列极限的定义证明0)sin(lim2=nnn.2.证明：02lim=nnn，02lim2=nnn，02lim3=nnn.3.设对于数列，有nxaxnn=2lim，axnn=+12lim，证明.axnn=lim4求下列极限：32221limnnn+；)211()211)(211(lim242nn+；)2122321(lim2

4、nnn-+；)2(42)12(31limnnn?-?；)cos1(coslimnnn-+.5.证明下列各题：若，则0,0ba),max(limbabannnn=+；若是正实数数列，nx0lim=axnn，则有 axxxnxxxnnnnn=+2121limlim；数列不存在极限.sin n武汉科技学院理学院 66.利用单调有界性证明：若101 x，且,2,1),1(1=-=+nxxxnnn，则；1lim=nnnx 设，且0,011=byax,2,1),(21,11=+=+nyxyyxxnnnnnn，则nnnnyx=limlim.二：考研荟萃.1.(北京大学)求；2)!(lim-nnn,1limn

5、nna+a为正实数；nnnnnn)12()1(1lim-+.2.(武汉大学，华中师范大学)设22,2,10211nnacacac+=+，证明：数列收敛，并求其极限.na3.(北京师范大学)设|)(supbxaxf=.证明：存在bxan 使成立.axfnn=)(lim4.(华中师范大学)求=+nknknnk12lim.5.(北京航空航天大学)叙述数列收敛的柯西原理，并证明：数列=nkknkx12sin，为收敛数列.),2,1(+n6.(华中科技大学)(有界变差数列收敛定理)若数列满足条件：nxMxxxxxxnnnn-+-+-|12211，)3,2(=n，则称为有界变差数列.试证明：有界变差数列一

6、定收敛.nx7.(四川大学)(压缩变差数列收敛定理)若数列满足条件：，nx|211-nnnnxxrxx)10;,4,3(=rn，则称为压缩 nx武汉科技学院理学院 7变差数列(简称为压缩数列).试证明：任意压缩数列一定收敛.8.(浙江大学)求)(sinlim22nnn+.9.(清华大学)设R中数列满足,nnba,2,1,1=-=+nqabannn，其中.证明：若有界，则有界；10?-+aaaaxxxx.3.讨论下列函数的极限是否存在，若存在，则求出其极限：|sin12)(41xxeexfxx+=，当时；0 x axxxgcos1)(-=，|0a，当时.0 x4.若0)(6sinlim30=?+

7、xxxfxx，求30)(6limxxfx+.5.求xxxxxxsincossin1lim0-+.6.设,sin2sinsin)(21nxaxaxaxfn+=其中是常数，且 naaa,21，有，证明：Rx?|sin|)(|xxf1|2|21+nnaaa.7.求xxnxxxnaaa1210lim?+.8.已知51lim231=-+xbaxxx，求的值.ba,武汉科技学院理学院 99.设当时，0 x1)1(312-+ax与1cos-x是等价无穷小，求常数.a二：考研荟萃.1.(武汉大学)求极限20)1ln(limxxxexx+-.2.(厦门大学)求极限1tan1tan1lim0-+xxexx.3.(

8、中国科技大学)求极限22116sin41limxxx-.4.(湖北大学，天津大学)设函数在)(xf),0(+上满足)()2(xfxf=，且.证明：Axfx=+)(lim),0(,)(+xAxf.5.(复旦大学)求极限?+-+-xxxxexxxcsc22023sinsinlim；当时，求是多少阶无穷小量(0 x)1ln()cos(sin12xx+-为参数).武汉科技学院理学院 10第四章 函数的连续性 一：典型习题.1.设函数对一切)(xfIxx21,，满足等式)()()(2121xfxfxxf+=+，且)(xf在连续，证明：在任意0=x)(xfIx连续.2.设函数在连续，且)(xf0=x0)0

9、(=f，已知|)(|)(|xfxg，证明：函数在也连续)(xg0=x3.证明：若在内连续，且 存在，则 在内必有界.)(xf),(+-)(limxfx)(xf),(+-4.设对任意，有，且在和连续，证明：在)(xf),(+-x)()(2xfxf=)(xf0=x1=x)(xf),(+-为常数.5.确定的值，使ba,)1)()(-=xaxbexfx有无穷间断点0=x和可去间断点.1=x6.设函数在上连续，且)(xf2,0a)2()0(aff=，证明：在上至少存在一点,0a，使)()(axff+=.7.证明：若函数在上连续，)(xf,babxxxan?，使，当0 x?),(),(00+-xxbax时

10、，；1|)(|)(|0+xfxf 在内有界.)(xf),(ba武汉科技学院理学院 119.函数在区间)(xfI上一致连续的充要条件是：Iyxnn?,，当 0)(lim=-nnnyx时，有0)()(lim=-nnnyfxf.10.证明：若函数在)(xfR上连续，Ryx?,，有 10|,|)()(|ba),(ba?，使.)()1(abebeaeab-=-4.设函数在点的某一邻域内可导，且其导数在处连续，而)(xf0 xx=)(xf 0 x),2,1(0=naaa8.设41)1ln(lim2=+cxcexx，确定c.9.利用泰勒公式求下列极限：22220sin112limxxxxx+-+；?-11)

11、2(tanlim430 xxexxx.10.设有二阶导数，且)(xf)()(21)(hxfhxfxf-+，试证：.0)(xf11.设在)(xfR上二阶可微，且有NxfMxf)(,)(0.写出)(),(hxfhxf-+关于的有拉格朗日余项的泰勒公式；h 证明：0?h，有2)(hNhMxf+；证明：MNxf2)(.12.设在上连续，在)(xf),+a),+a内可导，且0)(kxf(为常数)，又.证明：k0)(?iibax，),2,1(=i，且，则：.=nii11=?niiiniiixfxf11)(15.利用函数的凸性，证明：yxeeeyxyx+,)(212.二：考研荟萃.1.(华中师范大学)设在上

12、二阶可导，过点与点)(xf,ba)(,(afaA)(,(bfbB的直线与曲线)(xfy=相交于，其中.)(,(cfcCbca证明：在中至少存在一点),(ba，使0)(=f.2.(中国科学院)设10yx或yx.3.(厦门大学)设在)(xf),0+上具有连续二阶导数，又设，0)0(f.则在区间),0,0)(,0)0(+xxff?-)0()0(,0ff内至少存在一个，使0)(=f.4.(中山大学)证明：)20(,2tansin+xxxx.5.(北京大学)设在)(xf),0+上可微，且满足不等式：),0(,112ln)(02+?+xxxxxf 试证明：存在一点),0(+，使得211122)(+-+=f

13、.(东北师范大学)若在)(xf),(+a内可导，且Axfx=+)(lim，则 Axxfx=+)(lim.武汉科技学院理学院 177.(华中科技大学)设在上连续，在内可微，)(xf 1,0)1,0(0)(xf0)0(),10(=fx.证明：存在)1,0(,，使得)()(,1ff=+.8.(浙江大学)设在上连续，在内可微，且)(),(xgxf,ba)(xg),(ba0)(=ag，若有实数0，使得),(,)()()()(baxxgxgxfxg+成立，证明：.0)(xg9.(复旦大学)设定义在)(xf)(,0 xfc存在且单调下降，.请 0)0(=f用拉格朗日定理证明：对于cbaba+0，恒有)()(

14、)(bfafbaf+10.(北京科技大学)设在上连续，在内可微.证明：存在)(xf2,1)2,1()2,1(，使得)(21)1()2(2fff=-.武汉科技学院理学院 18第七章 实数的完备性 一：典型习题.1.证明：为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.nxnx2.设在内连续，且f),(ba0)(lim)(lim=-+xfxfbxax.证明：在内有最大值或最小值.f),(ba3.设在内连续，又有，使f,ba,baxn?Axfnn=)(lim.证明：存在 ，使得.,0bax Axf=)(04.设函数和都在区间fgI上一致连续.若I为有限区间，证明gf?在I上一致连续；若I为无限区间

15、，举例说明gf?在I上不一定一致连续.5.设定义在上.证明：若对内任一收敛数列，极限 f),(ba),(banx)(limnnxf都存在，则在上一致连续.f),(ba6.设函数在上连续，且有斜渐近线，即有数和，使得：f),+abc0)(lim=-+cbxxfx.证明：在上一致连续.f),+a武汉科技学院理学院 19二：考研荟萃.1.(哈尔滨工业大学)设在上有定义，且在每一点处极限存在.证明：在上有界.)(xf,ba)(xf,ba2.(北京科技大学)证明：若一组开区间覆盖区间，则存在一正数1,0，使得中任何两点1,0 xx,，满足 xF1)0(=F.当时,有0 xxxFxf2sin)()(2=求

16、.)(xf4.已知的一个原函数为)(xfxxxsin1sin+，计算 dxxfxf)()(.5.已知，计算cxdxxf+=2)(dxxxf)1(2-.6.计算下列积分：dxx2sin12；dxxx+)cos(sin44；dxxeaexxx?-21；+dxeexx113；-+-+dxxxxxx221232；(6)dxxxx?-211；dxxax)sin(sin+dxxxx)ln(lnln1；dxxxx2211tan+；+-dxxxnn112；+dxxxxcossinsin；+dxxxxxex1)1(ln22arctan；dxxax-222；dxxax+221；武汉科技学院理学院 21dxaxx-

17、2221；dxx+111；dxeexx-+111；dxxxx+ln1ln；dxxx+)1(128；xdxx arcsin2.7.计算不定积分：+dxxfxfxfxfxf)()()()(ln)(ln2.8.建立下列不定积分的递推公式：；xdxxInncos=dxxInn=arcsin.9.计算下列不定积分：()dxxxx+-22223；()dxxx+2311；()dxxxx-+43sincos1sin；+dxxx1222.武汉科技学院理学院 22二：考研荟萃.1.(北京大学)试求不定积分()-dxxx44sincos与()+dxxx44sincos，进而求出不定积分与xdx4cosxdx4sin

18、.2.(华东师范大学)计算：dxxxx+23cos1sincos 3.(复旦大学)求不定积分dxxxx-+11ln.4.(山东大学)求积分.dxx4tan5.(清华大学)计算-)1(2xdxexexx.6.(上海交通大学)求dxxxx+2211；+dxxxxcos1sin.武汉科技学院理学院 23第九章 定积分 一：典型习题.1.证明：若函数在上无界，则在上不可积.)(xf,ba)(xf,ba2.证明：若函数在上黎曼可积，且，则?区间)(xf,babadxxf0)(,ba?，在,上.0)(xf3.设函数在上可积，证明：在上可积.)(xf,ba)(xfe,ba4.利用定积分求下列极限：?+222

19、2212111limnnnnn；?-+nnnnnn4)1(tan42tan4tan1lim；nnnnfnfnfn?211lim，其中在上连续，且；)(xf 1,00)(xf =+ninnin1)cos(21sinlim.5.比较下列定积分的大小：+101dxxx和；+10)1ln(dxx 和.-02cos2xdxex-202cos2xdxex6.设，证明：存在0 x10qpqp，则有不等式：qbaqpbabapdxxgdxxfdxxgxf11)()()()(?=11.(施瓦茨积分不等式)设函数和在上证明：)(xf)(xg,ba212212)()(|)()(|?=bababadxxgdxxfdx

20、xgxf.12.(闵可夫斯基积分不等式)证明：若函数和在上非负)(xf)(xg,ba连续，且，则有不等式：1ppbappbappbapdxxgdxxfdxxgxf111)()()()(?+?+.13.求下列极限:dtetxextxx-0222lim；dxxnnn?+111ln1lim；-xxxdttttdtt00230)sin(lim2.14.确定，使得：cba,()0(/1lnsinlim20=+-cctdttxaxxbx.15.求下列函数的导数:；()dttxxcossin2cos ，求duuxt=202sin4costy=dxdy.武汉科技学院理学院 25第十章 定积分的应用 1.求内摆

21、线所围成的图形的面积.)0(sin,cos33=ataytax2.求两椭圆12222=+byax与)0,0(12222=+baaybx所围公共部分的面积.3.导出曲边梯形bxaxfy),(0绕轴旋转所得立体的体积公式为 .y=badxxxfV)(24.求由平面曲线20),0)(cos1(),sin(-=-=tatayttax，绕轴旋转所围成立体的体积.x5.求平面曲线30),0(3sin3=aar的弧长.6.求的值，使椭圆ba,tbytaxsin,cos=的周长等于正弦函数在xysin=20 x上一段的长.7.求平面曲线，绕轴旋转所得旋转曲面的面积.)()(222arrayx=aar武汉科技学

22、院理学院 26第十一章 定积分的应用 1.计算下列非正常积分：+021xxdx；+-dxexxx|)|(|20sinlnxdx；-101)2(xxdx；-312lndxx.2.证明：+01cosdxxx收敛，且11cos0+dxxx.3.讨论下列非正常积分的收敛性：)0(sin1+pdxxxp；)0(112?+-+pdxxppxx；+-0)0(coskxdxekxdxxxm+02sin.4.设在)(xf),1 +上连续，),1+?x，有，且 0)(xf-=+xxfxln)(lnlim.证明：若1，则收敛.+1)(dxxf5.设且单调减少，证明：与的敛散性相同.0)(xf+adxxf)(+axdxxf2sin)(6.设dttxfx=01cos)(，求)0(f.7.设)(x为有界的周期函数，周期为T，且=TcdxxT0)(1.证明：cdtttnnn=+2)(lim.