1994年全国大学生数学建模竞赛.pdf

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1、1994 年全国大学生数学建模竞赛A 题 逢山开路要在一山区修建公路,首先测得一些地点的高程,数据见表1(平面区域48000,56000yx,表中数据为坐标点的高程,单位:米)。数据显示:在y=3200 处有一东西走向的山峰；从坐标(2400,2400)到(4800,0)有一西北-东南走向的山谷；在(2000,2800)附近有一山口湖,其最高水位略高于 1350 米,雨季在山谷中形成一溪流。经调查知,雨量最大时溪流水面宽度w 与(溪流最深处)的 x 坐标的关系可近似表示为w(x)=(x-2400 3/4)/2)+5(2400 x4000)。公 路 从 山 脚(0,800)处 开 始,经 居 民

2、 点(4000,2000)至 矿 区(2000,4000)。已知路段工程成本及对路段坡度(上升高程与水平距离之比)的限制如表 2。1)试给出一种线路设计方案,包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥梁、隧道),并估算该方案的总成本。2)如果居民点改为 3600 x4000,2000 y2400 的居民区,公路只须经过居民区即可,那么你的方案有什么改变。表一4800 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15 4400 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820

3、 690 540 380 300 21 4000 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35 3600 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 50 3200 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 155 2800 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380

4、1070 900 1050 1150 120 2400 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 110 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 95 1600 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 75 1200 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780

5、 750 650 55 800 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 35 400 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 32 0 730 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 25 y/x 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 560 表 二工程种类一般路段桥梁隧 道工程成本(元/米)

6、300 2000 1500(长度 300 米)3000(长度 300 米)对坡度 的限制0.125=0 0.100 B 题锁具装箱某厂生产一 种弹子锁 具,每个 锁具的 钥匙有 5 个槽,每个槽的 高度从1,2,3,4,5,6 6 个数(单位略)中任取一数。由于工艺及其它原因,制造锁具时对 5 个槽的高度还有两个限制:至少有 3 个不同的数；相邻两槽高度之差不能为 5。满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批，出来的所有互不相同的锁具称为一批。从顾客的利益出发,自然希望在每批锁具中 一把钥匙开一把锁，但是在当前工艺条件下,对于同一批中两个锁具是否能够互开,有以下试验结果:若二者相对应的

7、 5 个槽的高度中有 4 个相同,另一个的高度差为1,则可能互开；在其它情形下,不可能互开。原来,销售部门在一批锁具中随意地取每 60 个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱,他们抱怨购得的锁具会出现互相开的情形。现聘聘请你为顾问,回答并解决以下问题:1)每一批锁具有多少个,装多少箱；2)为销售部门提供一种方案,包括如何装箱(仍是 60 个锁具一箱),如何给箱子以标志,出售时如何利用这些标志,使团体顾客不再或减少抱怨；3)采取你提出的方案,团体顾客的购买量不超过多少箱,就可以保证一定不会出现互；4)按照原来的装箱办法,如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度(试对购买一、二箱者给出具体结果)。