第21届全国中学生物理竞赛预复赛试卷及答案.pdf

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1、1 2004 年第 21 届全国中学生物理竞赛预复赛题试卷及答案目录第 21 届全国中学生物理竞赛预赛题试卷 1第 21 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答 3第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题试卷 11 第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 14 1 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛题试卷本卷共九题，满分140分。一、（15分）填空1a原子大小的数量级为_m。b原子核大小的数量级为_m。c氦原子的质量约为_kg。d一个可见光光子的能量的数量级为_J。e在标准状态下，1cm3气体中的分子数约为_。（普朗克常量h6.631034Js 阿伏加德罗常量NA6.021023 mol1）2已知

2、某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80。试判断下列说法是否正确，并简述理由。a 反射光子数为入射光子数的80；b每个反射光子的能量是入射光子能量的80。二、（15分）质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角30 的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次，m1悬空，m2放在斜面上，用t表示 m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。第二次，将m1和m2位置互换，使 m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3。求 ml与m2之比。三、（15分）测定电子荷质比（电荷q与质量 m之比

3、qm）的实验装置如图所示。真空玻璃管内，阴极K发出的电子，经阳极 A与阴极 K之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C、D间的区域。若两极板C、D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O点；若在两极板间加上电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点。现已知极板的长度l 5.00cm，C、D间的距离 d l.50cm，极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为L 12.50cm，U 200V，P点到 O点的距离3.0yOPcm；B 6.3

4、104T。试求电子的荷质比。（不计重力影响）。四、（15分）要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经75.0 到东经 135.0 之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径R06.37106m。地球表面处的重力加速度g9.80m/s2。五、（15分）如图所示，两条平行的长直金属细导轨 KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为 l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为 m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为 R。杆 cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆

5、cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。导轨和金属细杆都处于匀强磁2004.9.5 2 场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B。现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及 cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的 C点，球面的半径R1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距 O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折

6、射率n11.56，酒的折射率 n21.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。七、（15分）如图所示，B是质量为 mB、半径为 R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为 mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放 A，A、B便开始运动。设A 杆的位置用表示，为碗面的球心O至 A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与 B 速度的大小（表示成的函数）。八、（17分）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0

7、的电阻和 2.0的电阻构成的无穷组合电路相接。求图中 10 F的电容器与E点相接的极板上的电荷量。九、（18 分）如图所示，定滑轮B、C 与动滑轮D 组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D 上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2 和 3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条坚直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）。已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断栓住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1 向上运动，直到砝码1 与弹簧分离。假

8、设砝码1 在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1 从与弹簧分离至再次接触经历的时间。3 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答一、1.a.1010b.1015c.6.61027d.1019e.2.710192.a正确，b不正确。理由：反射时光频率不变，这表明每个光子能量h不变。评分标准：本题15分，第 1问10分，每一空 2分。第二问 5分，其中结论占2分，理由占 3分。二、第一次，小物块受力情况如图所示，设T1为绳中张力，a1为两物块加速度的大小，l为斜面长，则有111 1m gTm a（1）1221sinTm gm a（2）2112la t（3）第二次，m1与m2交换位置设绳

9、中张力为T2，两物块加速度的大小为a2，则有2222m gTm a（4）2112sinTm gm a(5)22123tla(6)由（1）、（2）式注意到30 得1211222()mmagmm（7）由（4）、（5）式注意到30 得2121222()mmagmm（8）由（3）、（6）式得219aa（9）由（7）、（8）、（9）式可解得121119mm（10）评分标准：本题 15分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式各 2分，求得（10）式再给 3分。三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度4 为l的极板区域所需的时间t1l/v0（

10、1）当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE方向垂直于极板由C指向 D，电子的加速度qEam（2）而UEd（3）因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间 t1内垂直于极板方向的位移21112yat（4）电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度vy at1（5）设电子离开极板区域后，电子到达荧光屏上P点所需时间为t2t2（Ll/2）/v0（6）在t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移y2 vyt2（7）P点离开 O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移yy1+y2（8）由以上各式得电子的荷质比为20vqymUlLd（9）加上磁场 B

11、后，荧光屏上的光点重新回到O点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，即qEqv0B（l0）注意到（3）式，可得电子射入平行板电容器的速度0UvBd（11）代人（9）式得2qUymB lLd（12）代入有关数据求得111.6 10qmC/kg（13）评分标准：本题 15分（l）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各 1分，（10）式3分，（12）、（13）式各 2分。四、如图所示，圆为地球赤道，S为卫星所在处，用R表示卫星运动轨道的半径。由万有引力定律、牛顿运动定律和卫星周期T（亦即地球自转周期）可得222MmGmRTR（1）式中 M为地球质量，G

12、为万有引力常量，m为卫星质量另有5 20GMRg（2）由图可知RcosR0（3）由以上各式可解得1/32024arccosRT g（4）取T 23小时 56分4秒（或近似取T24小时），代入数值，可得81.3（5）由此可知，卫星的定位范围在东经135.0 81.3 53.7 到75.0 81.3 156.3 之间的上空。评分标准：本题 15分（1）、（2）、（3）式各 2分，（4）、（5）式共 2分，得出最后结论再给7分。五、用 E 和 I分别表示 abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知E Bl（v2v1）（1）2IRE（2）令F表示磁场对每根杆的安培力

13、的大小，则FIBl（3）令a1和a2分别表示 ab杆cd杆和物体 M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知Fma1（4）MgTma2（5）TFma2（6）由以上各式解得2 2211()2B lvvaRm（7）2 22122()2()MgRB lvvaMm R（8）评分标准：本题 15分（l）式 3分，（2）式 2分，（3）式 3分，（4）、（5）、（6）式各 1分，（7）、（8）式各2分。六、把酒杯放平，分析成像问题。1未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n01。在图 1中，P为画片中心，由P发出经过球心 C的光线 PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与 PO成

14、角的另一光线PA在A处折射。设 A处入射角为 i，折射角为 r，半径 CA与PO的夹角为，由折射定律和几何关系可得图 1 6 n1sinin0sinr（1）i+（2）在 PAC中，由正弦定理，有sinsinRPCi（3）考虑近轴光线成像，、i、r 都是小角度，则有10nrin（4）RiPC（5）由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及4.8PCPOCOcm可得1.31i（6）r 1.56i（7）由（6）、（7）式有r（8）由上式及图 1可知，折射线将与PO延长线相交于P，P 即为 P点的实像画面将成实像于P处。在 CAP中，由正弦定理有sinsinRCPr（9）又有r +(10)考虑

15、到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得rCPRr(11)又有OPCPR（12）由以上各式并代入数据，可得7.9OPcm（13）由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知 O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。2斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图 2所示，考虑到近轴光线有2nrin（14）代入 n1和 n2的值，可得r1.16i（15）图 2 7 与（6）式比较，可知r（16）由上式及图 2可知，折射线将与OP延长线相交于 P，P即为 P点的虚像。画面将成虚像于P处

16、。计算可得rCPRr（17）又有OPCPR（18）由以上各式并代入数据得13OPcm（19）由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P 处，距 O点 13cm即距杯口 21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。评分标准：本题 15分求得（13）式给 5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给 5分，说明“看到”再给3分。七、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以B为参考系，从B观测，则 A杆保持在竖直方向，它

17、与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得AAsinVv（1）BAcosVv（2）因而BAcotvv（3）由能量守恒A22B BAA121cos2m gRm vm v（4）由（3）、（4）两式及 mB 2mA得A22cossin1cosgRv（5）B22coscos1cosgRv（6）评分标准：本题（15）分（1）、（2）式各 3分，（4）式 5分，（5）、（6）两式各 2分。八、设 B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题图中通有电流的电路可以

18、简化为图1中的电路。B、C右方的电路又可简化为图2的电路，其中B CR是虚线右方电路的等效电阻。由于B、C 右方的电路与 B、C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有8 BCB CRR（1）由电阻串、并联公式可得212B CBCB CRRR（2）由式（1）、（2）两式得220BCBCRR解得RBC2.0（3）图1所示回路中的电流为201024A=0.10 A1030182I（4）电流沿顺时针方向。设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图 3所示。由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即Q1Q2Q30（5）A、

19、E两点间的电势差3113EAQQUUCC（6）又有(10300.10)V=7.0 VEAUU（7）B、E两点间的电势差3223BEQQUUCC（8）又有(24200.10)V=26 VBEUU（9）根据（5）、（6）、（7）、（8）、（9）式并代入 C1、C2和C3之值后可得Q31.3 104C（10）即电容器 C3与 E点相接的极板带负电，电荷量为1.3104C。评分标准：本题 17分求得（3）式给 3分，（4）式 1分，（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）式各 2分，指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分。九、设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为t，在这段时间内，各砝码和

20、砝码托盘的受力情况如图1所示：图中，F表示 t 时间内任意时刻弹簧的弹力，T 表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉图 3 图 1 图 2 图 1 9 力。因 D的质量忽略不计，有T02T（1）在时间 t 内任一时刻，法码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码 2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有1mgFIImv（2）2mgTIImv（3）2mgTIImv（4）02mgFTIIImv（5）式中 IF、Img、IT、IT0分别代表力 F、mg、T、T0

21、在 t 时间内冲量的大小。注意到式（1），有IT02IT（6）由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得2113vv（7）在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动。以 l1表示在 t 时间内弹簧上端向上运动的距离，l2表示其下端向下运动的距离。由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的 13，故有2113ll（8）另有120lll（9）在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有22201212211132222klmvmvmg lmg lmg l（10）由（7）、（8）、（9）、（10）式得221003

22、122vklmglm（11）砝码 1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有v1 gt1（12）砝码 2、3和托盘的受力情况如图2所示，以 a表示加速度的大小，有mgTma（13）mgTma（14）T0mgma（15）T02T（16）由（14）、（15）和（16）式得13ag（17）托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有图 2 10 v2 at2（18）由（7）、（12）、（17）和（18）式，得112vttg（19）即砝码 1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到

23、分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇。题中要求的时间12tt总（20）由（11）、（12）、（20）式得20023122tklgmmgl总评分标准：本题 18 分求得（7）式给 5 分，求得（11）式给 5 分，（17）、（19）、（20）、（21）式各 2 分。11 第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题试卷本卷共七题，满分140 分.一、(20 分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数dPStkN，其中 t 为渗透持续时间，S 为薄膜的面积，d 为薄膜的厚度，P为薄膜两侧气体的压强差k 称为该薄膜材料在该温度下对该

24、气体的透气系数透气系数愈小，材料的气密性能愈好图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图EFGI为渗透室，U 形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U 形管内横截面积A0.150cm2 实验中，首先测得薄膜的厚度d=0.66mm，再将薄膜固定于图中CC处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积30cm00.25V，下面部分连同U形管左管水面以上部分的总容积为V1，薄膜能够透气的面积S=1.00cm2打开开关 K1、K2与大气相通，大气的压强P11.00atm，此时U 形管右管中气柱长度cm00.20H，31cm00.5V关闭K1、K2后，打开开关K3，对渗透室上部分迅速充气至气

25、体压强atm00.20P，关闭K3并开始计时两小时后，U 形管左管中的水面高度下降了cm00.2H实验过程中，始终保持温度为C0求该薄膜材料在C0时对空气的透气系数（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定，在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值P来代替公式中的P普适气体常量R=8.31Jmol-1K-1，1.00atm=1.013 105Pa）二、(20 分)两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的 2 倍，卫星通过近地点时的速度RGM 43v，式中 M 为地

26、球质量，G 为引力常量 卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）三、(15 分)子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命s100.260宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批子，以 v=0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若 t=0 时刻的粒子数为N(0),t 时刻剩余的粒子数为N(t)，则有tNtNe0，式中 为相对该惯性系粒子的平均寿命若能到达地面的子数为原来的5，试估算子产生处相对于地面的高

27、度 h不考虑重力和地磁场对子运动的影响四、(20 分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所题号一二三四五六七总分得分阅卷人K3K2P1V1C C?P0V0E F G I H K1L S1S

28、3P S2h h 12 述的简化了的情况来说明如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为=arctan41的圆锥形光束请使用三个完全相同的、焦距为f=1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以 S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L=12.0 h 处的 P 点（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距）1求出组合透镜中每个透镜光心的位置2说明对

29、三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据五、(20 分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P1和 P2处，放置电量分别为 q1和 q2的点电荷，q1q2q，两点电荷到球心的距离均为a由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于2q空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电

30、量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1q与 q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由 q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2q与 q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0 这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1q、2q和 q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强1试根据上述条件，确定假想等效电荷1q、2q的位置及电量2 求空腔内部任意点A 的电势 UA 已知 A 点到球心O 的距离为r，OA与1O

31、P的夹角为六、(20 分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A、B、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B 之间，B、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）已知杆 AB 与 BC 的夹角为，/2DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直现令A、B、C 一起以共同的速度v 沿平行于 AB 连线方向向DE 运动，已知在 C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于 DE 方向的速度由v 变为 0 这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小七、（25 分）如图所示，有二平行金属导轨，相距 l，

32、位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）质量均为m 的两金属杆ab 和 cd 放在导轨上，与导轨垂直初始时刻，金属杆 ab 和 cd 分别位于x=x0和 x=0 处假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L今对金属杆ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量，A BCD E x O y v0c a b y d z r P2P1RA O a a 13 使它获得初速0v设导轨足够长，0 x也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距0 x，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数

33、L 是恒定不变的杆与导轨之间摩擦可不计求任意时刻两杆的位置xab和 xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t 的变化关系14 第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为V2=HA（1）p2=p1经过 2 小时，U 形管右管中空气的体积和压强分别为AHHV)(2（2）2222VVpp（3）渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为HAVV11（4）Hgpp221（5）式中为水的密度，g 为重力加速度由理想气体状态方程nRTpV可知，经过2 小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数RTVpRTVpn1111（6）在 2

34、个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数AnNN（7）式中 NA为阿伏伽德罗常量渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降下降了p 0VnRTp（8）经过 2 小时渗透室上部分中空气的压强为ppp00（9）测试过程的平均压强差)(211010pp()ppp（10）根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0时对空气的透气系数11111smPa104.2tSpNdk（11）评分标准：本题 20 分(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各 1 分，(6)式 3 分，(7)、(8)、(9)、(10)式各 2 分，(11)式 4分二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，

35、设待测量星体位于C处根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点B 处，只要位于A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和 AC 的夹角1，位于 B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和 BC 的夹角2，就可15 以计算出此时星体C 与地心的距离OC因卫星椭圆轨道长轴的长度远近rrAB(1)式中 r近、与 r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离由角动量守恒远远近近rmrvmv(2)式中 m 为卫星的质量由机械能守恒远远近近rGMmmrGMmm222121vv(3)已知Rr2近，RGM43近v得Rr6远(4)所以RRRAB862(5)在 ABC 中用正弦定理ABBC211si

36、nsin(6)所以ABBC211sinsin(7)地心与星体之间的距离为OC，在 BOC 中用余弦定理2222cos2BCrBCrOC远远(8)由式(4)、(5)、(7)得212121212sincossin24sinsin1692ROC(9)评分标准：本题 20 分(1)式 2 分，(2)、(3)式各 3 分，(6)、(8)式各 3 分，(9)式 6 分三、因子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命s100.260根据时间膨胀效应，在地球上观测到的子平均寿命为，201cv(1)代入数据得=1.4105s(2)相对地面，若子到达地面所需时间为t，则在 t 时刻剩余的子数为C A B O 116 t

37、NtNe0(3)根据题意有%5e0tNtN(4)对上式等号两边取e为底的对数得1005lnt(5)代入数据得s1019.45t(6)根据题意，可以把子的运动看作匀速直线运动，有thv(7)代入数据得m1024.14h(8)评分标准：本题 15 分(1)式或(2)式 6 分，(4)式或(5)式 4 分，(7)式 2 分，(8)式 3 分四、1考虑到使3个点光源的3 束光分别通过3 个透镜都成实像于P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于 z 轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3 个光源的连线，O2位于 z 轴上，如图1 所示图中MM表示组合透镜的平面，1S、2S、3S为三个光束中心光线与该

38、平面的交点22OS u 就是物距 根据透镜成像公式fuLu111(1)可解得4212fLLLu因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan h 即 u 2h在上式中取“”号，代入f 和 L 的值，算得hu)236(1.757h(2)此解满足上面的条件分别作 3 个点光源与P 点的连线为使3 个点光源都能同时成像于P 点，3 个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3 条连线上（如图1）由几何关系知，有hhhLuLOOOO854.0)24121(3221(3)即光心 O1的位置应在1S之下与1S的距离为hOOhOS146.02111

39、(4)同理，O3的位置应在3S之上与3S的距离为0.146h 处由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P 点2现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜z L S1P S2h h 1SS3O1O2(S2)O3图 1 MM u 17 因为三个透镜的半径r=0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于21OO32OO0.854h0 时，ab 杆位于其初始位置的右侧；当X0 时，ab 杆位于其初始位置的左侧代入(14)式，得XLBli2(16)这时作用于ab 杆的安培力XLlBiBlF222(17)ab 杆在

40、初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab 杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质金属杆ab 的运动是简谐振动，振动的周期LlBmT2222(18)在任意时刻t，ab 杆离开其初始位置的位移tTAX2cos(19)A 为简谐振动的振幅，为初相位，都是待定的常量通过参考圆可求得ab 杆的振动速度tTTAu2sin2(20)(19)、(20)式分别表示任意时刻ab 杆离开初始位置的位移和运动速度现已知在t0 时刻，ab 杆位于初始位置，即X=0 速度00002121vvvvCVu23 故有cos0Asin220TAv解这两式，并注意到(18)式得23(21)2240

41、0mLBlTAvv(22)由此得 ab 杆的位移tTmLBltTmLBlX2sin22232cos2200vv（23）由(15)式可求得ab 杆在S系中的位置tTmLBlxx2sin222100abv(24)因相对质心，任意时刻ab 杆和 cd 杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S系中，cd 杆的位置tTmLBlxx2sin222100cdv(25)相对地面参考系S，质心以021vCV的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab 杆在地面参考系中的位置tmLBlmLBltxx2sin2221000abvv(26)cd 杆在 S系中的位置tmLBlmLBltx2sin222100cdvv（27

42、）回路中的电流由(16)式得tmLBlLmtTmLBlLBli2sin22sin22200vv(28)解法：当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab 杆的速度改变，使cd 杆运动设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和 v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为21vvBlE(1)令 u 表示 ab杆相对于cd 杆的速度，有24 BluLE(2)当回路中的电流i 变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有ti

43、LLE(3)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有0LEE由式(2)、(3)两式得tiLBlu(4)设在 t 时刻，金属杆ab 相对于 cd 杆的距离为x，在 tt 时刻，ab 相对于 cd 杆的距离为xx，则由速度的定义，有txu(5)代入(4)式得iLxBl(6)若将x视为 i 的函数，由(6)式可知，ix为常量，所以x与 i 的关系可以用一直线方程表示，即biBlLx(7)式中 b 为常数，其值待定现已知在t 时刻，金属杆ab 相对于 cd 杆的距离为0 x，这时 i=0，故得0 xiBlLx(8)或0 xxLBli(9)0 x表示 t 时刻金属杆ab 相对于 cd 杆的位置x表示在任意时

44、刻t 时 ab 杆相对于cd 杆的位置，故0 xx就是杆 ab 在 t 时刻相对于cd 杆的相对位置相对于它们在t 时刻的相对位置的位移，即从t到 tt 时间内 ab 杆相对于cd 杆的位移0 xxX(10)于是有XLBli(11)任意时刻t，ab 杆和 cd 杆因受安培力作用而分别有加速度aab和 acd，由牛顿定律有abmaiBl(12)cdmaiBl(13)两式相减并注意到(9)式得XLlBiBlaam22cdab22(14)式中cdabaa为金属杆ab 相对于 cd 杆的加速度，而X 是 ab杆相对 cd 杆相对位置的位移LlB222是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期2

45、5 LlBmT2222(15)在任意时刻t，ab 杆相对 cd 杆相对位置相对它们初始位置的位移tTAX2cos(16)A 为简谐振动的振幅，为初相位，都是待定的常量通过参考圆可求得X 随时间的变化率即速度TTAV2sin2(17)现已知在t0 时刻，杆位于初始位置，即X=0，速度0vV故有cos0Asin20TAv解这两式，并注意到(15)式得232200mLBlTAvv由此得tmLBlmLBltTmLBlX2sin2232cos200vv(18)因 t=0 时刻，cd 杆位于 x=0 处，ab 杆位于 x=x0处，两者的相对位置由x0表示；设 t 时刻，cd 杆位于x=xcd处，ab杆位于

46、 x=xab处，两者的相对位置由xabxcd表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为X=xabxcdx0(19)所以tmLBlmLBlxxx2sin200cdabv(20)(12)和(13)式相加,0cdabiBliBlaam得0cdabaa由此可知，两杆速度之和为一常数即v0，所以两杆的位置xab和 xcd之和应为xabxcd=x0 v0t(21)由(20)和(21)式相加和相减，注意到(15)式，得26 tmLBlmLBltxx2sin2221000abvv（22）tmLBlmLBltx2sin222100cdvv（23）由(11)、（19）(22)、(23)式得回路中电流tmLBlLmi2sin20v（24）评分标准：本题 25 分解法求得(16)式 8 分，(17)、(18)、(19)三式各 2 分(23)式 4 分，(24)、(25)二式各 2 分，(26)、(27)、(28)三式各 1 分解法的评分可参照解法评分标准中的相应式子给分